{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nPara liczb\ni\njest rozwiązaniem układu równań\n4\n2\n3\n2\nax\ny\nx\ny\na\n\n-\n\ndla\nA.\nB.\nC.\nD.\nPara liczb x=2 i y=2 jest rozwiązaniem układu równań {ax+y =4; -2x+3y=2a dla A. a=-1; B. a=1; C. a=-2; D. a=2.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nwykorzystuje interpretację geometryczną\nukładu równań pierwszego stopnia z dwiema\nniewiadomymi (3.2).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (\\(a = 1\\))\n\n## Sposób 1 - podstawienie do obu równań\n\nWiemy, że \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\) **spełnia oba równania układu**. Wystarczy więc podstawić te wartości i wyznaczyć \\(a\\).\n\n**Równanie pierwsze:**\n\\[ax + y = 4\\]\n\\[a \\cdot 2 + 2 = 4\\]\n\\[2a + 2 = 4\\]\n\\[2a = 2\\]\n\\[a = 1\\]\n\n**Sprawdzenie w równaniu drugim** (czy \\(a = 1\\) pasuje):\n\\[-2x + 3y = 2a\\]\n\\[-2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 2 = 2 \\cdot 1\\]\n\\[-4 + 6 = 2\\]\n\\[2 = 2 \\checkmark\\]\n\n**Zatem \\(a = 1\\).**\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie \\(a\\) z drugiego równania i weryfikacja w pierwszym\n\nTym razem zacznijmy od **równania drugiego**:\n\\[-2x + 3y = 2a\\]\n\\[-2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 2 = 2a\\]\n\\[-4 + 6 = 2a\\]\n\\[2 = 2a\\]\n\\[a = 1\\]\n\nWeryfikacja w równaniu pierwszym:\n\\[ax + y = 4 \\implies 1 \\cdot 2 + 2 = 4 \\implies 4 = 4 \\checkmark\\]\n\nOba równania są spełnione dla \\(a = 1\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie znanych wartości \\(x = 2\\), \\(y = 2\\) do równań i rozwiązanie prostego równania liniowego ze względu na \\(a\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(a = -1\\) | Błąd przy podstawieniu do równania pierwszego: np. \\(2a + 2 = 4 \\Rightarrow 2a = 6 \\Rightarrow a = 3\\) (zły kierunek), albo pomylenie znaku i wyliczenie \\(a = -1\\) zamiast \\(a = 1\\) |\n| C. \\(a = -2\\) | Podstawienie tylko do równania drugiego z błędem: \\(-4 + 6 = 2a \\Rightarrow 2 = 2a\\), ale pomyłka rachunkowa daje \\(a = -2\\) |\n| D. \\(a = 2\\) | Błąd w równaniu pierwszym: \\(2a + 2 = 4 \\Rightarrow 2a = 6 \\Rightarrow a = 3\\) albo po prostu odczytanie \\(a = y = 2\\) bez rachunku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podstawiaj do **obu** równań - jedno równanie może nie wystarczyć do jednoznacznego wyznaczenia \\(a\\) (a w zadaniach egzaminacyjnych bywa, że różne równania dają różne kandydatury na \\(a\\), co oznacza, że dana para nie jest rozwiązaniem).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(a\\) stoi przy \\(x\\) w pierwszym równaniu **i** przy prawej stronie drugiego równania (\\(2a\\)). To nieoczywiste - łatwo przeoczyć, że drugie równanie też zawiera \\(a\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \"para \\((x, y)\\) jest rozwiązaniem układu\" z \"wyznacz \\(x\\) i \\(y\\)\". Tu \\(x\\) i \\(y\\) są dane - szukamy parametru \\(a\\). To klasyczna zamiana ról!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie \\((2, 2)\\) do obu równań\nZ pierwszego: \\(2a + 2 = 4 \\Rightarrow 2a = 2 \\Rightarrow a = 1\\).\nZ drugiego: \\(-4 + 6 = 2a \\Rightarrow 2 = 2a \\Rightarrow a = 1\\).\nOba równania dają \\(a = 1\\) - spójne.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\n- \\(a=1\\): I: \\(2+2=4\\) ✓, II: \\(-4+6=2\\) ✓\n- \\(a=-1\\): I: \\(-2+2=0\\ne 4\\) ✗\n- \\(a=-2\\): I: \\(-4+2=-2\\ne 4\\) ✗\n- \\(a=2\\): I: \\(4+2=6\\ne 4\\) ✗\n\nTylko **B** spełnia oba równania.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nKażde inne \\(a\\) nie spełnia co najmniej jednego z równań.\n\n**Technika:** najszybszy sposób - podstawić i sprawdzić.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Metoda podstawiania\n\n1. **Wyznaczmy 'y' z pierwszego równania:**\n\\[ax + y = 4 \\implies y = 4 - ax\\]\n2. **Podstawmy 'y' do drugiego równania:**\n\\[-2x + 3(4 - ax) = 2a\\]\n\\[-2x + 12 - 3ax = 2a\\]\n3. **Przekształćmy równanie:**\n\\[(-2 - 3a)x = 2a - 12\\]\n\\[x = \\frac{2a - 12}{-2 - 3a}\\]\n4. **Podstawmy x = 2 i y = 2 do równania, aby sprawdzić, czy jest to rozwiązanie:**\n\\[a(2) + 2 = 4 \\implies 2a + 2 = 4 \\implies 2a = 2 \\implies a = 1\\]\n\\[-2(2) + 3(2) = 2a \\implies -4 + 6 = 2a \\implies 2 = 2a \\implies a = 1\\]\nZatem, dla \\(a = 1\\) układ równań jest spełniony.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 2\n\n### Sposób 2: Metoda eliminacji\n\n1. **Pomnóż pierwsze równanie przez 3:**\n\\[3ax + 3y = 12\\]\n2. **Dodaj drugie równanie do otrzymanego:**\n\\[(3ax + 3y) + (-2x + 3y) = 12 + 2a\\]\n\\[(3a - 2)x + 6y = 12 + 2a\\]\n3. **Zauważmy, że chcemy, aby 'y' zostało wyeliminowane. Zatem, spróbujmy wyznaczyć 'y' z pierwszego równania:**\n\\[y = 4 - ax\\]\n4. **Podstawmy 'y' do drugiego równania:**\n\\[-2x + 3(4 - ax) = 2a\\]\n\\[-2x + 12 - 3ax = 2a\\]\n\\[(-2 - 3a)x = 2a - 12\\]\n\\[x = \\frac{2a - 12}{-2 - 3a}\\]\n5. **Podstawmy x = 2 i y = 2 do równania, aby sprawdzić, czy jest to rozwiązanie:**\n\\[a(2) + 2 = 4 \\implies 2a + 2 = 4 \\implies 2a = 2 \\implies a = 1\\]\n\\[-2(2) + 3(2) = 2a \\implies -4 + 6 = 2a \\implies 2 = 2a \\implies a = 1\\]\nZatem, dla \\(a = 1\\) układ równań jest spełniony.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 2\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(a = -1\\):** Podstawiając \\(a = -1\\) do równań, otrzymujemy:\n* \\(-x + y = 4\\)\n* \\(2x - 3y = -2\\)\nRozwiązanie tego układu to \\(x = 2\\) i \\(y = 0\\), co nie jest równoważne podanemu rozwiązaniu \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\).\n* **C. \\(a = -2\\):** Podstawiając \\(a = -2\\) do równań, otrzymujemy:\n* \\(-2x + y = 4\\)\n* \\(2x - 3y = -4\\)\nRozwiązanie tego układu to \\(x = 1\\) i \\(y = 2\\), co nie jest równoważne podanemu rozwiązaniu \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\).\n* **D. \\(a = 2\\):** Podstawiając \\(a = 2\\) do równań, otrzymujemy:\n* \\(2x + y = 4\\)\n* \\(-2x + 3y = 4\\)\nRozwiązanie tego układu to \\(x = 0\\) i \\(y = 4\\), co nie jest równoważne podanemu rozwiązaniu \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg","topics":"uklady_rownan","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Para liczb<br>i<br>jest rozwiązaniem układu równań<br>4<br>2<br>3<br>2<br>ax<br>y<br>x<br>y<br>a<br><br>-<br><br>dla<br>A.<br>B.<br>C.<br>D.<br>Para liczb x=2 i y=2 jest rozwiązaniem układu równań {ax+y =4; -2x+3y=2a dla A. a=-1; B. a=1; C. a=-2; D. a=2.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Równania i nierówności. Zdający</li></ol>\n<p>wykorzystuje interpretację geometryczną<br>układu równań pierwszego stopnia z dwiema<br>niewiadomymi (3.2).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (\\(a = 1\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie do obu równań</h4>\n<p>Wiemy, że \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\) <strong>spełnia oba równania układu</strong>. Wystarczy więc podstawić te wartości i wyznaczyć \\(a\\).</p>\n<p><strong>Równanie pierwsze:</strong><br>\\[ax + y = 4\\]<br>\\[a \\cdot 2 + 2 = 4\\]<br>\\[2a + 2 = 4\\]<br>\\[2a = 2\\]<br>\\[a = 1\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie w równaniu drugim</strong> (czy \\(a = 1\\) pasuje):<br>\\[-2x + 3y = 2a\\]<br>\\[-2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 2 = 2 \\cdot 1\\]<br>\\[-4 + 6 = 2\\]<br>\\[2 = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(a = 1\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - wyznaczenie \\(a\\) z drugiego równania i weryfikacja w pierwszym</h4>\n<p>Tym razem zacznijmy od <strong>równania drugiego</strong>:<br>\\[-2x + 3y = 2a\\]<br>\\[-2 \\cdot 2 + 3 \\cdot 2 = 2a\\]<br>\\[-4 + 6 = 2a\\]<br>\\[2 = 2a\\]<br>\\[a = 1\\]</p>\n<p>Weryfikacja w równaniu pierwszym:<br>\\[ax + y = 4 \\implies 1 \\cdot 2 + 2 = 4 \\implies 4 = 4 \\checkmark\\]</p>\n<p>Oba równania są spełnione dla \\(a = 1\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy podstawienie znanych wartości \\(x = 2\\), \\(y = 2\\) do równań i rozwiązanie prostego równania liniowego ze względu na \\(a\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A. \\(a = -1\\) | Błąd przy podstawieniu do równania pierwszego: np. \\(2a + 2 = 4 \\Rightarrow 2a = 6 \\Rightarrow a = 3\\) (zły kierunek), albo pomylenie znaku i wyliczenie \\(a = -1\\) zamiast \\(a = 1\\) |<br>| C. \\(a = -2\\) | Podstawienie tylko do równania drugiego z błędem: \\(-4 + 6 = 2a \\Rightarrow 2 = 2a\\), ale pomyłka rachunkowa daje \\(a = -2\\) |<br>| D. \\(a = 2\\) | Błąd w równaniu pierwszym: \\(2a + 2 = 4 \\Rightarrow 2a = 6 \\Rightarrow a = 3\\) albo po prostu odczytanie \\(a = y = 2\\) bez rachunku |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Podstawiaj do <strong>obu</strong> równań - jedno równanie może nie wystarczyć do jednoznacznego wyznaczenia \\(a\\) (a w zadaniach egzaminacyjnych bywa, że różne równania dają różne kandydatury na \\(a\\), co oznacza, że dana para nie jest rozwiązaniem).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj, że \\(a\\) stoi przy \\(x\\) w pierwszym równaniu <strong>i</strong> przy prawej stronie drugiego równania (\\(2a\\)). To nieoczywiste - łatwo przeoczyć, że drugie równanie też zawiera \\(a\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl &quot;para \\((x, y)\\) jest rozwiązaniem układu&quot; z &quot;wyznacz \\(x\\) i \\(y\\)&quot;. Tu \\(x\\) i \\(y\\) są dane - szukamy parametru \\(a\\). To klasyczna zamiana ról!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie \\((2, 2)\\) do obu równań</h5>\n<p>Z pierwszego: \\(2a + 2 = 4 \\Rightarrow 2a = 2 \\Rightarrow a = 1\\).<br>Z drugiego: \\(-4 + 6 = 2a \\Rightarrow 2 = 2a \\Rightarrow a = 1\\).<br>Oba równania dają \\(a = 1\\) - spójne.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi</h5>\n<ul><li>\\(a=1\\): I: \\(2+2=4\\) ✓, II: \\(-4+6=2\\) ✓</li><li>\\(a=-1\\): I: \\(-2+2=0\\ne 4\\) ✗</li><li>\\(a=-2\\): I: \\(-4+2=-2\\ne 4\\) ✗</li><li>\\(a=2\\): I: \\(4+2=6\\ne 4\\) ✗</li></ul>\n<p>Tylko <strong>B</strong> spełnia oba równania.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<p>Każde inne \\(a\\) nie spełnia co najmniej jednego z równań.</p>\n<p><strong>Technika:</strong> najszybszy sposób - podstawić i sprawdzić.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Metoda podstawiania</h5>\n<ol><li><strong>Wyznaczmy &#x27;y&#x27; z pierwszego równania:</strong></li></ol>\n<p>\\[ax + y = 4 \\implies y = 4 - ax\\]</p>\n<ol><li><strong>Podstawmy &#x27;y&#x27; do drugiego równania:</strong></li></ol>\n<p>\\[-2x + 3(4 - ax) = 2a\\]<br>\\[-2x + 12 - 3ax = 2a\\]</p>\n<ol><li><strong>Przekształćmy równanie:</strong></li></ol>\n<p>\\[(-2 - 3a)x = 2a - 12\\]<br>\\[x = \\frac{2a - 12}{-2 - 3a}\\]</p>\n<ol><li><strong>Podstawmy x = 2 i y = 2 do równania, aby sprawdzić, czy jest to rozwiązanie:</strong></li></ol>\n<p>\\[a(2) + 2 = 4 \\implies 2a + 2 = 4 \\implies 2a = 2 \\implies a = 1\\]<br>\\[-2(2) + 3(2) = 2a \\implies -4 + 6 = 2a \\implies 2 = 2a \\implies a = 1\\]<br>Zatem, dla \\(a = 1\\) układ równań jest spełniony.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7, strona 2</p>\n<h5>Sposób 2: Metoda eliminacji</h5>\n<ol><li><strong>Pomnóż pierwsze równanie przez 3:</strong></li></ol>\n<p>\\[3ax + 3y = 12\\]</p>\n<ol><li><strong>Dodaj drugie równanie do otrzymanego:</strong></li></ol>\n<p>\\[(3ax + 3y) + (-2x + 3y) = 12 + 2a\\]<br>\\[(3a - 2)x + 6y = 12 + 2a\\]</p>\n<ol><li><strong>Zauważmy, że chcemy, aby &#x27;y&#x27; zostało wyeliminowane. Zatem, spróbujmy wyznaczyć &#x27;y&#x27; z pierwszego równania:</strong></li></ol>\n<p>\\[y = 4 - ax\\]</p>\n<ol><li><strong>Podstawmy &#x27;y&#x27; do drugiego równania:</strong></li></ol>\n<p>\\[-2x + 3(4 - ax) = 2a\\]<br>\\[-2x + 12 - 3ax = 2a\\]<br>\\[(-2 - 3a)x = 2a - 12\\]<br>\\[x = \\frac{2a - 12}{-2 - 3a}\\]</p>\n<ol><li><strong>Podstawmy x = 2 i y = 2 do równania, aby sprawdzić, czy jest to rozwiązanie:</strong></li></ol>\n<p>\\[a(2) + 2 = 4 \\implies 2a + 2 = 4 \\implies 2a = 2 \\implies a = 1\\]<br>\\[-2(2) + 3(2) = 2a \\implies -4 + 6 = 2a \\implies 2 = 2a \\implies a = 1\\]<br>Zatem, dla \\(a = 1\\) układ równań jest spełniony.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7, strona 2</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(a = -1\\):</strong> Podstawiając \\(a = -1\\) do równań, otrzymujemy:</li><li>\\(-x + y = 4\\)</li><li>\\(2x - 3y = -2\\)</li></ul>\n<p>Rozwiązanie tego układu to \\(x = 2\\) i \\(y = 0\\), co nie jest równoważne podanemu rozwiązaniu \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\).</p>\n<ul><li><strong>C. \\(a = -2\\):</strong> Podstawiając \\(a = -2\\) do równań, otrzymujemy:</li><li>\\(-2x + y = 4\\)</li><li>\\(2x - 3y = -4\\)</li></ul>\n<p>Rozwiązanie tego układu to \\(x = 1\\) i \\(y = 2\\), co nie jest równoważne podanemu rozwiązaniu \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\).</p>\n<ul><li><strong>D. \\(a = 2\\):</strong> Podstawiając \\(a = 2\\) do równań, otrzymujemy:</li><li>\\(2x + y = 4\\)</li><li>\\(-2x + 3y = 4\\)</li></ul>\n<p>Rozwiązanie tego układu to \\(x = 0\\) i \\(y = 4\\), co nie jest równoważne podanemu rozwiązaniu \\(x = 2\\) i \\(y = 2\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, podstawiając $a = 1$ do pierwszego równania otrzymujemy $2 + 2 = 4$, a do drugiego $-4 + 6 = 2$. Oba równania się zgadzają.</p>"}]}