{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nRównanie\nA. ma trzy różne rozwiązania:\n1,\n3,\n2.\nx\nx\nx\nB. ma trzy różne rozwiązania:\n1,\n3,\n2.\nx\nx\nx\nC. ma dwa różne rozwiązania:\n1,\n2.\nx\nx\nD. ma dwa różne rozwiązania:\n1,\n2.\nx\nx\n2\n1\n2\n1\n1\n1\n1\n4\n5\na\n11\n20\na\n8\n9\na\n9\n8\na\n20\n11\na\n2\nx =\n2\ny =\n1\na = -\n1\na =\n2\na = -\n2\na =\n(\n)(\n)\n1\n2\n0\n3\nx\nx\nx\n\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nMMA_1P\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n3\n4\nRównanie (x-1)(x+2) / x-3 = 0 A. ma trzy różne rozwiązania: x=1, x=3, x=-2. B. ma trzy różne rozwiązania: x=-1, x=-3, x=2. C. ma dwa różne rozwiązania: x=1, x=-2. D. ma dwa różne rozwiązanie: x=-1, x=2.","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych (3.8).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nDwa różne rozwiązania: \\(x = 1\\) oraz \\(x = -2\\).\n\n## Sposób 1 - Definicja ułamka równego zero\n\nUłamek \\(\\dfrac{L}{M} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy **licznik = 0 i mianownik ≠ 0**.\n\n**Krok 1: Wyznaczamy dziedzinę** (mianownik ≠ 0):\n\\[x - 3 \\neq 0 \\implies x \\neq 3\\]\n\n**Krok 2: Przyrównujemy licznik do zera:**\n\\[(x-1)(x+2) = 0\\]\n\nIloczyn równa się zero, gdy jeden z czynników = 0:\n\\[x - 1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x + 2 = 0\\]\n\\[x = 1 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2\\]\n\n**Krok 3: Sprawdzamy dziedzinę:**\n- \\(x = 1\\): czy \\(1 \\neq 3\\)? ✓ - należy do dziedziny\n- \\(x = -2\\): czy \\(-2 \\neq 3\\)? ✓ - należy do dziedziny\n\n**Wynik: równanie ma dwa rozwiązania: \\(x = 1\\) i \\(x = -2\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki, wstawiając do oryginalnego równania:\n\nDla \\(x = 1\\):\n\\[\\frac{(1-1)(1+2)}{1-3} = \\frac{0 \\cdot 3}{-2} = \\frac{0}{-2} = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = -2\\):\n\\[\\frac{(-2-1)(-2+2)}{-2-3} = \\frac{(-3) \\cdot 0}{-5} = \\frac{0}{-5} = 0 \\checkmark\\]\n\nDla \\(x = 3\\) (sprawdzamy, czy to rozwiązanie):\n\\[\\frac{(3-1)(3+2)}{3-3} = \\frac{2 \\cdot 5}{0} = \\frac{10}{0} \\quad \\text{- NIEZDEFINIOWANE!}\\]\n\n\\(x = 3\\) **nie jest rozwiązaniem** - mianownik zeruje się, wyrażenie nie istnieje.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka równego zero i znajomość dziedziny wyrażenia wymiernego.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń błędnie traktuje mianownik na równi z licznikiem i uznaje \\(x = 3\\) za rozwiązanie (bo \\(x - 3 = 0\\)). Tymczasem \\(x = 3\\) **wyklucza** się z dziedziny - powoduje dzielenie przez zero. |\n| B | Uczeń rozwiązuje \\(-(x-1) = 0\\), \\(-(x+2) = 0\\), \\(-(x-3) = 0\\), czyli zmienia znaki wszystkich - zupełnie błędna operacja. |\n| D | Uczeń poprawnie zauważa, że szukamy pierwiastków licznika, ale myli znaki: zamiast \\(x = 1\\) i \\(x = -2\\) zapisuje \\(x = -1\\) i \\(x = 2\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x = 3\\) to **nie** rozwiązanie - to wartość wykluczona z dziedziny! Mianownik zeruje się → ułamek nie istnieje. Bardzo częsty błąd: \"skoro \\(x - 3\\) jest w mianowniku, to \\(x = 3\\) też jest rozwiązaniem\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zasada działa tylko w jedną stronę - przyrównujemy licznik do zera, **nie** mianownik. Warunek \\(\\frac{A}{B} = 0\\) to \\(A = 0\\) i \\(B \\neq 0\\), a nie \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj dziedzinę **przed** podaniem odpowiedzi - gdyby któryś z pierwiastków licznika pokrywał się z wartością zerującą mianownik (tu \\(x = 3\\)), należałoby go odrzucić.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Dziedzina + licznik = 0\n**Dziedzina:** \\(x - 3 \\ne 0 \\iff x \\ne 3\\).\n\nRównanie \\(\\tfrac{L}{M} = 0 \\iff L = 0\\) (przy \\(M \\ne 0\\)):\n\\[(x-1)(x+2) = 0 \\iff x = 1 \\lor x = -2.\\]\nOba w dziedzinie → **dwa rozwiązania**.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie punktów\n- \\(x = 1\\): \\(\\tfrac{0\\cdot 3}{-2} = 0\\) ✓\n- \\(x = -2\\): \\(\\tfrac{-3\\cdot 0}{-5} = 0\\) ✓\n- \\(x = 3\\): mianownik = 0, dzielenie przez zero - niedopuszczalne.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Uwzględniono \\(x = 3\\), które łamie dziedzinę.\n- **B, D.** Złe znaki pierwiastków.\n\n**Pamiętaj:** ułamek = 0 ⟺ licznik = 0 **i** mianownik \\(\\ne 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozkład na czynniki\nRozważmy równanie: (x - 1)(x + 2) = 0. Aby to równanie było spełnione, jeden z nawiasów musi być równy zero. Zatem:\n\n* x - 1 = 0 => x = 1\n* x + 2 = 0 => x = -2\n\nZatem równanie ma dwa różne rozwiązania: x = 1 i x = -2.\n\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 6\n\n### Sposób 2: Rozwinięcie i porównanie z danym równaniem\nRozwińmy lewą stronę równania:\n(x - 1)(x + 2) = x² + 2x - x - 2 = x² + x - 2\n\nPorównujemy to z danym równaniem: x² + x - 2 = 0. Zauważamy, że równania są identyczne. Zatem rozwiązania tego równania to x = 1 i x = -2.\n\n📖 Karta wzorów: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(ma trzy różne rozwiązania: x = 1, x = 3, x = -2.\\)** Jest to błędne, ponieważ równanie (x - 1)(x + 2) = 0 ma tylko dwa rozwiązania, a nie trzy.\n* **B. \\(ma trzy różne rozwiązania: x = -1, x = -3, x = 2.\\)** Jest to błędne, ponieważ nie rozłożyłem równania na czynniki, a nawet jeśli bym to zrobił, to rozwiązanie x = 3 nie pasuje do równania.\n* **D. \\(ma dwa różne rozwiązania: x = -1, x = 2.\\)** Jest to błędne, ponieważ rozwiązanie x=1 nie jest uwzględnione.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
Równanie
A. ma trzy różne rozwiązania:
1,
3,
2.
x
x
x
B. ma trzy różne rozwiązania:
1,
3,
2.
x
x
x
C. ma dwa różne rozwiązania:
1,
2.
x
x
D. ma dwa różne rozwiązania:
1,
2.
x
x
2
1
2
1
1
1
1
4
5
a
11
20
a
8
9
a
9
8
a
20
11
a
2
x =
2
y =
1
a = -
1
a =
2
a = -
2
a =
(
)(
)
1
2
0
3
x
x
x

\n

MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

MMA_1P
x
y
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
0
-1
-2
1
3
4
Równanie (x-1)(x+2) / x-3 = 0 A. ma trzy różne rozwiązania: x=1, x=3, x=-2. B. ma trzy różne rozwiązania: x=-1, x=-3, x=2. C. ma dwa różne rozwiązania: x=1, x=-2. D. ma dwa różne rozwiązanie: x=-1, x=2.

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający
\n

rozwiązuje proste równania wymierne,
prowadzące do równań liniowych lub
kwadratowych (3.8).
Wersja
I
Wersja
II
C
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Dwa różne rozwiązania: \\(x = 1\\) oraz \\(x = -2\\).

\n

Sposób 1 - Definicja ułamka równego zero

\n

Ułamek \\(\\dfrac{L}{M} = 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy licznik = 0 i mianownik ≠ 0.

\n

Krok 1: Wyznaczamy dziedzinę (mianownik ≠ 0):
\\[x - 3 \\neq 0 \\implies x \\neq 3\\]

\n

Krok 2: Przyrównujemy licznik do zera:
\\[(x-1)(x+2) = 0\\]

\n

Iloczyn równa się zero, gdy jeden z czynników = 0:
\\[x - 1 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x + 2 = 0\\]
\\[x = 1 \\quad \\text{lub} \\quad x = -2\\]

\n

Krok 3: Sprawdzamy dziedzinę:

\n\n

Wynik: równanie ma dwa rozwiązania: \\(x = 1\\) i \\(x = -2\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy oba wyniki, wstawiając do oryginalnego równania:

\n

Dla \\(x = 1\\):
\\[\\frac{(1-1)(1+2)}{1-3} = \\frac{0 \\cdot 3}{-2} = \\frac{0}{-2} = 0 \\checkmark\\]

\n

Dla \\(x = -2\\):
\\[\\frac{(-2-1)(-2+2)}{-2-3} = \\frac{(-3) \\cdot 0}{-5} = \\frac{0}{-5} = 0 \\checkmark\\]

\n

Dla \\(x = 3\\) (sprawdzamy, czy to rozwiązanie):
\\[\\frac{(3-1)(3+2)}{3-3} = \\frac{2 \\cdot 5}{0} = \\frac{10}{0} \\quad \\text{- NIEZDEFINIOWANE!}\\]

\n

\\(x = 3\\) nie jest rozwiązaniem - mianownik zeruje się, wyrażenie nie istnieje.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka równego zero i znajomość dziedziny wyrażenia wymiernego.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń błędnie traktuje mianownik na równi z licznikiem i uznaje \\(x = 3\\) za rozwiązanie (bo \\(x - 3 = 0\\)). Tymczasem \\(x = 3\\) wyklucza się z dziedziny - powoduje dzielenie przez zero. |
| B | Uczeń rozwiązuje \\(-(x-1) = 0\\), \\(-(x+2) = 0\\), \\(-(x-3) = 0\\), czyli zmienia znaki wszystkich - zupełnie błędna operacja. |
| D | Uczeń poprawnie zauważa, że szukamy pierwiastków licznika, ale myli znaki: zamiast \\(x = 1\\) i \\(x = -2\\) zapisuje \\(x = -1\\) i \\(x = 2\\). |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(x = 3\\) to nie rozwiązanie - to wartość wykluczona z dziedziny! Mianownik zeruje się → ułamek nie istnieje. Bardzo częsty błąd: "skoro \\(x - 3\\) jest w mianowniku, to \\(x = 3\\) też jest rozwiązaniem".
\n
⚠️ Uwaga: Zasada działa tylko w jedną stronę - przyrównujemy licznik do zera, nie mianownik. Warunek \\(\\frac{A}{B} = 0\\) to \\(A = 0\\) i \\(B \\neq 0\\), a nie \\(A = 0\\) lub \\(B = 0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdzaj dziedzinę przed podaniem odpowiedzi - gdyby któryś z pierwiastków licznika pokrywał się z wartością zerującą mianownik (tu \\(x = 3\\)), należałoby go odrzucić.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Dziedzina + licznik = 0
\n

Dziedzina: \\(x - 3 \\ne 0 \\iff x \\ne 3\\).

\n

Równanie \\(\\tfrac{L}{M} = 0 \\iff L = 0\\) (przy \\(M \\ne 0\\)):
\\[(x-1)(x+2) = 0 \\iff x = 1 \\lor x = -2.\\]
Oba w dziedzinie → dwa rozwiązania.

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie punktów
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pamiętaj: ułamek = 0 ⟺ licznik = 0 i mianownik \\(\\ne 0\\).

\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1: Rozkład na czynniki
\n

Rozważmy równanie: (x - 1)(x + 2) = 0. Aby to równanie było spełnione, jeden z nawiasów musi być równy zero. Zatem:

\n\n

Zatem równanie ma dwa różne rozwiązania: x = 1 i x = -2.

\n

📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, strona 6

\n
Sposób 2: Rozwinięcie i porównanie z danym równaniem
\n

Rozwińmy lewą stronę równania:
(x - 1)(x + 2) = x² + 2x - x - 2 = x² + x - 2

\n

Porównujemy to z danym równaniem: x² + x - 2 = 0. Zauważamy, że równania są identyczne. Zatem rozwiązania tego równania to x = 1 i x = -2.

\n

📖 Karta wzorów: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, równanie $\\frac{(x-1)(x+2)}{x-3} = 0$ ma dwa różne rozwiązania: $x = 1$ i $x = -2$, ponieważ iloczyn w liczniku musi być równy zero, co następuje dla tych wartości.

"}]}