Zadanie 7. (0-1)
Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem
( )
(
)
3
1
6 3
f x
x
jest liczba
A. 3 6 3
B. 1 6 3
C. 2 3 1
D.
1
2 3
3
Informacja do zadań 8.-10.
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej
.f
Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt
(2,
4)
W =
. Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji
.f
Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,-4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu A. y=-4; B. x=-4; C. y=2; D. x=2.
Zadanie 7. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
funkcji dla danego argumentu. Posługuje się
poznanymi metodami rozwiązywania równań
do obliczenia, dla jakiego argumentu funkcja
przyjmuje daną wartość (4.2).
Wersja
I
Wersja
II
C
B
Miejsce zerowe funkcji to wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\). Przyrównujemy wzór funkcji do zera:
\n\\[3(x+1) - 6\\sqrt{3} = 0\\]
\nRozwijamy nawias (rozdzielamy mnożenie):
\\[3x + 3 - 6\\sqrt{3} = 0\\]
Przenosimy stałe na prawą stronę:
\\[3x = 6\\sqrt{3} - 3\\]
Dzielimy obie strony przez 3:
\\[x = \\frac{6\\sqrt{3} - 3}{3} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} - \\frac{3}{3}\\]
\\[\\boxed{x = 2\\sqrt{3} - 1}\\]
\nSprawdzamy, czy \\(x = 2\\sqrt{3} - 1\\) rzeczywiście zeruje funkcję:
\n\\[f(2\\sqrt{3} - 1) = 3\\bigl((2\\sqrt{3} - 1) + 1\\bigr) - 6\\sqrt{3}\\]
\n\\[= 3 \\cdot 2\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3}\\]
\n\\[= 6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3} = 0 \\checkmark\\]
\nWynik się zgadza - to na pewno miejsce zerowe.
\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego (f(x) = 0) i podstawowe działania algebraiczne (rozwijanie nawiasów, dzielenie przez liczbę).
\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A - \\(3 - 6\\sqrt{3}\\) | Uczeń oblicza wartość funkcji w x = 0, czyli f(0) = 3(0+1) - 6√3 = 3 - 6√3, zamiast rozwiązywać równanie f(x) = 0 |
| B - \\(1 - 6\\sqrt{3}\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: 3x = 3 - 6√3 (zamiast 6√3 - 3), co daje x = 1 - 2√3; lub mylenie kolejności odejmowania |
| D - \\(2\\sqrt{3} - \\dfrac{1}{3}\\) | Błędne rozwinięcie nawiasu: uczeń pisze \\(3(x+1) = 3x + 1\\) zamiast \\(3x + 3\\), co prowadzi do \\(3x = 6\\sqrt{3} - 1\\) i \\(x = \\frac{6\\sqrt{3}-1}{3} = 2\\sqrt{3} - \\frac{1}{3}\\) |
⚠️ Uwaga: Miejsce zerowe to x, dla którego f(x) = 0 - trzeba rozwiązać równanie, a nie obliczać f(0). To najczęstszy błąd!\n
⚠️ Uwaga: Rozwijając nawias \\(3(x+1)\\), mnoż każdy składnik przez 3: dostajemy \\(3x + 3\\), nie \\(3x + 1\\). Błąd o jeden składnik tutaj zmienia całkowicie wynik.\n
⚠️ Uwaga: Przy dzieleniu \\(\\frac{6\\sqrt{3} - 3}{3}\\) dziel oba składniki osobno: \\(\\frac{6\\sqrt{3}}{3} - \\frac{3}{3} = 2\\sqrt{3} - 1\\). Nie wolno dzielić tylko jednego członu.\n
Poprawna odpowiedź: C
\n\\[3(x+1) - 6\\sqrt{3} = 0\\]
\\[3x + 3 = 6\\sqrt{3}\\]
\\[3x = 6\\sqrt{3} - 3\\]
\\[x = 2\\sqrt{3} - 1.\\]
Po rozwinięciu: \\(f(x) = 3x + 3 - 6\\sqrt{3}\\). Miejsce zerowe:
\\[x = -\\dfrac{b}{a} = -\\dfrac{3 - 6\\sqrt{3}}{3} = -1 + 2\\sqrt{3} = 2\\sqrt{3} - 1.\\]
Sprawdzenie: \\(f(2\\sqrt{3}-1) = 3(2\\sqrt{3}-1+1) - 6\\sqrt{3} = 6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3} = 0\\) ✓.
\nPoprawna odpowiedź: C
\n3(x + 1) - 6 = 0
\n📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7
\n📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b), strona 7
\nWszystkie pozostałe odpowiedzi są błędne, ponieważ nie spełniają warunku f(x) = 0. Poprawną odpowiedzią jest 2√3 - 1.
"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"$$f(x) = 3(x+1) - 6\\sqrt{3} = 0$$
\n$$3(x+1) - 6\\sqrt{3} = 0$$
\n$$3(x+1) = 6\\sqrt{3}$$
\n$$x+1 = \\frac{6\\sqrt{3}}{3}$$
$$x+1 = 2\\sqrt{3}$$
$$x = 2\\sqrt{3} - 1$$
\n$$x = 2\\sqrt{3} - 1$$
\nZauważamy, że nasza odpowiedź $2\\sqrt{3} - 1$ zgadza się z opcją C.
\nOdpowiedź: $2\\sqrt{3} - 1$ jest miejscem zerowym funkcji, czyli prawidłowa odpowiedź to C.
"}]}