{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nZbiorem wartości funkcji f jest przedział\nA. (\n, 0\n-∞\nB.\n0, 4\nC.\n4,\n)\n+ ∞\nD.\n4,\n)\n+ ∞\nNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,-4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział A. (-∞,0>; B. <0,4>; C. <-4,+∞); D. <4,+∞).","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nwłasności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości,\nmiejsca zerowe, maksymalne przedziały,\nw których funkcja maleje, rośnie, ma stały\nznak; punkty, w których funkcja przyjmuje\nw podanym przedziale wartość największą\nlub najmniejszą) (4.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\langle -4, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - Postać kanoniczna i zbiór wartości\n\nZnamy wierzchołek paraboli: \\(W = (2, -4)\\), więc korzystamy wprost z postaci kanonicznej:\n\\[f(x) = a(x - 2)^2 - 4\\]\n\n**Wyznaczamy \\(a\\)** - używamy miejsca zerowego \\(x = 0\\):\n\\[f(0) = 0 \\implies a(0 - 2)^2 - 4 = 0\\]\n\\[4a - 4 = 0 \\implies a = 1\\]\n\nSprawdzamy z drugim miejscem zerowym \\(x = 4\\):\n\\[f(4) = 1 \\cdot (4 - 2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \\checkmark\\]\n\nZatem funkcja to:\n\\[f(x) = (x - 2)^2 - 4\\]\n\n**Odczyt zbioru wartości:** Ponieważ \\(a = 1 > 0\\), parabola jest skierowana ramionami **w górę**. Wierzchołek \\(W = (2, -4)\\) to **minimum** funkcji.\n\nWartość minimalna wynosi \\(-4\\), a funkcja rośnie do \\(+\\infty\\), więc:\n\\[\\mathbf{ZW = \\langle -4, +\\infty)}\\]\n\n## Sposób 2 - Odczyt z postaci iloczynowej\n\nMamy miejsca zerowe \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 4\\), więc postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - 0)(x - 4) = ax(x-4)\\]\n\nWierzchołek paraboli leży na osi symetrii w połowie między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{0 + 4}{2} = 2 \\checkmark\\]\n\nWyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(2) = -4\\) (wartość w wierzchołku):\n\\[f(2) = a \\cdot 2 \\cdot (2 - 4) = a \\cdot 2 \\cdot (-2) = -4a = -4 \\implies a = 1\\]\n\nPonieważ \\(a = 1 > 0\\) - ramiona paraboli skierowane w górę - funkcja osiąga **minimum** w wierzchołku:\n\\[\\min f = -4\\]\n\nZbiór wartości:\n\\[\\mathbf{ZW = \\langle -4, +\\infty)}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\ngdzie \\((p, q)\\) to wierzchołek paraboli. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n**Dział 7 (s. 8)** - wierzchołek i minimum/maksimum:\n- Jeśli \\(a > 0\\): parabola skierowana w górę, wartość minimalna \\(= q\\), **zbiór wartości \\(= \\langle q, +\\infty)\\)**\n- Jeśli \\(a < 0\\): parabola skierowana w dół, wartość maksymalna \\(= q\\), **zbiór wartości \\(= (-\\infty, q\\rangle\\)**\n\nTo jest kluczowa reguła w tym zadaniu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((-\\infty, 0\\rangle\\) - uczeń myli zbiór wartości z dziedziną lub patrzy na \\(x\\)-owe miejsca zerowe; ta odpowiedź byłaby dobra gdyby parabola była zwrócona ramionami **w dół** z maksimum w \\(q = 0\\) |\n| B | \\(\\langle 0, 4\\rangle\\) - uczeń bierze przedział między miejscami zerowymi jako zbiór wartości; to jest fragment dziedziny, nie wartości |\n| D | \\(\\langle 4, +\\infty)\\) - uczeń wziął \\(4\\) (drugie miejsce zerowe) zamiast \\(-4\\) (wartość w wierzchołku) jako dolne ograniczenie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiór wartości zależy od **wartości \\(y\\) w wierzchołku** (\\(q = -4\\)), nie od współrzędnej \\(x\\) wierzchołka (\\(p = 2\\)) - to dwie różne liczby!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl miejsca zerowego \\(x = 4\\) z wartością minimalną \\(f = -4\\). Obydwie liczby \"4\" pojawiają się w tym zadaniu, ale w zupełnie innych rolach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze najpierw sprawdź **znak współczynnika \\(a\\)**. Tu \\(a > 0\\) → ramiona w górę → minimum → zbiór wartości jest przedziałem zamkniętym od dołu \\(\\langle q, +\\infty)\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Analiza paraboli\nParabola ma wierzchołek \\(W = (2, -4)\\), miejsca zerowe \\(0\\) i \\(4\\). Skoro miejsca zerowe są po obu stronach wierzchołka, a w wierzchołku \\(y = -4 < 0\\), parabola ma ramiona **w górę** (\\(a > 0\\)).\n\nZatem \\(y = -4\\) to **minimum**, a zbiór wartości to \\(\\langle-4, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 2 - Postać iloczynowa + kanoniczna\n\\(f(x) = a(x-0)(x-4)\\). Z \\(W=(2,-4)\\): \\(-4 = a\\cdot 2\\cdot(-2) = -4a\\), więc \\(a = 1\\).\n\\(f(x) = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4\\). Minimum \\(= -4\\), ramiona w górę → zbiór wartości \\(\\langle-4, +\\infty)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty, 0\\rangle\\)** - pomyłka z miejscem zerowym.\n- **B. \\(\\langle 0, 4\\rangle\\)** - to miejsca zerowe, nie zbiór wartości.\n- **D. \\(\\langle 4, +\\infty)\\)** - pomyłka: \\(4\\) to miejsce zerowe, a minimum to \\(-4\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Analiza funkcji i jej dziedziny\n\nFunkcja f ma zbiór wartości \\([-4, +\\infty)\\). Oznacza to, że najmniejsza wartość, jaką może przyjmować funkcja, to -4, a wartość ta jest osiągana dla wszystkich argumentów. Ponieważ zbiór wartości jest przedziałem otwartym, a nie zamkniętym, to wartość -4 jest graniczną, a nie elementem zbiory wartości. Zatem, zbiór wartości to wszystkie liczby większe lub równe -4.\n\n[\n\\(f: \\mathbb{R} \\to [-4, +\\infty)\\)\n]\n\n📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 13\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie definicji zbioru wartości\n\nZbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie funkcja może przyjmować. W tym przypadku, zbiór wartości to przedział od -4 do nieskończoności. Zbiór wartości funkcji jest zbiorem wszystkich y, dla których istnieje x w dziedzinie funkcji, takie że f(x) = y. Ponieważ f(x) może być dowolnie duży, to zbiór wartości to przedział od -4 do +\\infty.\n\n[\n\\(f(x) \\ge -4\\) dla wszystkich x w dziedzinie\n]\n\n📖 Karta wzorów: Silnia, strona 6\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\((-\\infty, 0\\)**: Zbiór wartości nie może być przedziałem otwartym od -\\(\\infty\\) do 0, ponieważ funkcja może przyjmować wartości mniejsze niż 0, a zbiór wartości musi zawierać wszystkie takie wartości.\n* **B. 0, 4**: To są konkretne liczby, a zbiór wartości funkcji musi zawierać przedział, a nie tylko pojedyncze wartości.\n* **D. \\(4, + \\infty\\)**: Podobnie jak w przypadku B, to są konkretne liczby, a zbiór wartości musi być przedziałem. Ponadto, zbiór wartości nie może zaczynać się od 4, ponieważ funkcja może przyjmować wartości mniejsze niż 4.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Zbiorem wartości funkcji f jest przedział<br>A. (<br>, 0<br>-∞<br>B.<br>0, 4<br>C.<br>4,<br>)</p>\n<ul><li>∞</li></ul>\n<p>D.<br>4,<br>)</p>\n<ul><li>∞</li></ul>\n<p>Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej f. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt W=(2,-4). Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji f. Zbiorem wartości funkcji f jest przedział A. (-∞,0&gt;; B. &lt;0,4&gt;; C. &lt;-4,+∞); D. &lt;4,+∞).</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu</li></ol>\n<p>własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości,<br>miejsca zerowe, maksymalne przedziały,<br>w których funkcja maleje, rośnie, ma stały<br>znak; punkty, w których funkcja przyjmuje<br>w podanym przedziale wartość największą<br>lub najmniejszą) (4.3).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\langle -4, +\\infty)\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Postać kanoniczna i zbiór wartości</h4>\n<p>Znamy wierzchołek paraboli: \\(W = (2, -4)\\), więc korzystamy wprost z postaci kanonicznej:<br>\\[f(x) = a(x - 2)^2 - 4\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(a\\)</strong> - używamy miejsca zerowego \\(x = 0\\):<br>\\[f(0) = 0 \\implies a(0 - 2)^2 - 4 = 0\\]<br>\\[4a - 4 = 0 \\implies a = 1\\]</p>\n<p>Sprawdzamy z drugim miejscem zerowym \\(x = 4\\):<br>\\[f(4) = 1 \\cdot (4 - 2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p>Zatem funkcja to:<br>\\[f(x) = (x - 2)^2 - 4\\]</p>\n<p><strong>Odczyt zbioru wartości:</strong> Ponieważ \\(a = 1 &gt; 0\\), parabola jest skierowana ramionami <strong>w górę</strong>. Wierzchołek \\(W = (2, -4)\\) to <strong>minimum</strong> funkcji.</p>\n<p>Wartość minimalna wynosi \\(-4\\), a funkcja rośnie do \\(+\\infty\\), więc:<br>\\[\\mathbf{ZW = \\langle -4, +\\infty)}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Odczyt z postaci iloczynowej</h4>\n<p>Mamy miejsca zerowe \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 4\\), więc postać iloczynowa:<br>\\[f(x) = a(x - 0)(x - 4) = ax(x-4)\\]</p>\n<p>Wierzchołek paraboli leży na osi symetrii w połowie między miejscami zerowymi:<br>\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{0 + 4}{2} = 2 \\checkmark\\]</p>\n<p>Wyznaczamy \\(a\\) z warunku \\(f(2) = -4\\) (wartość w wierzchołku):<br>\\[f(2) = a \\cdot 2 \\cdot (2 - 4) = a \\cdot 2 \\cdot (-2) = -4a = -4 \\implies a = 1\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(a = 1 &gt; 0\\) - ramiona paraboli skierowane w górę - funkcja osiąga <strong>minimum</strong> w wierzchołku:<br>\\[\\min f = -4\\]</p>\n<p>Zbiór wartości:<br>\\[\\mathbf{ZW = \\langle -4, +\\infty)}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]<br>gdzie \\((p, q)\\) to wierzchołek paraboli. Użyliśmy tego bezpośrednio w Sposobie 1.</p>\n<p><strong>Dział 7 (s. 8)</strong> - wierzchołek i minimum/maksimum:</p>\n<ul><li>Jeśli \\(a &gt; 0\\): parabola skierowana w górę, wartość minimalna \\(= q\\), <strong>zbiór wartości \\(= \\langle q, +\\infty)\\)</strong></li><li>Jeśli \\(a &lt; 0\\): parabola skierowana w dół, wartość maksymalna \\(= q\\), <strong>zbiór wartości \\(= (-\\infty, q\\rangle\\)</strong></li></ul>\n<p>To jest kluczowa reguła w tym zadaniu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\((-\\infty, 0\\rangle\\) - uczeń myli zbiór wartości z dziedziną lub patrzy na \\(x\\)-owe miejsca zerowe; ta odpowiedź byłaby dobra gdyby parabola była zwrócona ramionami <strong>w dół</strong> z maksimum w \\(q = 0\\) |<br>| B | \\(\\langle 0, 4\\rangle\\) - uczeń bierze przedział między miejscami zerowymi jako zbiór wartości; to jest fragment dziedziny, nie wartości |<br>| D | \\(\\langle 4, +\\infty)\\) - uczeń wziął \\(4\\) (drugie miejsce zerowe) zamiast \\(-4\\) (wartość w wierzchołku) jako dolne ograniczenie |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zbiór wartości zależy od <strong>wartości \\(y\\) w wierzchołku</strong> (\\(q = -4\\)), nie od współrzędnej \\(x\\) wierzchołka (\\(p = 2\\)) - to dwie różne liczby!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl miejsca zerowego \\(x = 4\\) z wartością minimalną \\(f = -4\\). Obydwie liczby &quot;4&quot; pojawiają się w tym zadaniu, ale w zupełnie innych rolach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze najpierw sprawdź <strong>znak współczynnika \\(a\\)</strong>. Tu \\(a &gt; 0\\) → ramiona w górę → minimum → zbiór wartości jest przedziałem zamkniętym od dołu \\(\\langle q, +\\infty)\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza paraboli</h5>\n<p>Parabola ma wierzchołek \\(W = (2, -4)\\), miejsca zerowe \\(0\\) i \\(4\\). Skoro miejsca zerowe są po obu stronach wierzchołka, a w wierzchołku \\(y = -4 &lt; 0\\), parabola ma ramiona <strong>w górę</strong> (\\(a &gt; 0\\)).</p>\n<p>Zatem \\(y = -4\\) to <strong>minimum</strong>, a zbiór wartości to \\(\\langle-4, +\\infty)\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Postać iloczynowa + kanoniczna</h5>\n<p>\\(f(x) = a(x-0)(x-4)\\). Z \\(W=(2,-4)\\): \\(-4 = a\\cdot 2\\cdot(-2) = -4a\\), więc \\(a = 1\\).<br>\\(f(x) = x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4\\). Minimum \\(= -4\\), ramiona w górę → zbiór wartości \\(\\langle-4, +\\infty)\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((-\\infty, 0\\rangle\\)</strong> - pomyłka z miejscem zerowym.</li><li><strong>B. \\(\\langle 0, 4\\rangle\\)</strong> - to miejsca zerowe, nie zbiór wartości.</li><li><strong>D. \\(\\langle 4, +\\infty)\\)</strong> - pomyłka: \\(4\\) to miejsce zerowe, a minimum to \\(-4\\).</li></ul>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza funkcji i jej dziedziny</h5>\n<p>Funkcja f ma zbiór wartości \\([-4, +\\infty)\\). Oznacza to, że najmniejsza wartość, jaką może przyjmować funkcja, to -4, a wartość ta jest osiągana dla wszystkich argumentów. Ponieważ zbiór wartości jest przedziałem otwartym, a nie zamkniętym, to wartość -4 jest graniczną, a nie elementem zbiory wartości. Zatem, zbiór wartości to wszystkie liczby większe lub równe -4.</p>\n<p>[<br>\\(f: \\mathbb{R} \\to [-4, +\\infty)\\)<br>]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Logarytmy, strona 13</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie definicji zbioru wartości</h5>\n<p>Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich możliwych wartości, jakie funkcja może przyjmować. W tym przypadku, zbiór wartości to przedział od -4 do nieskończoności. Zbiór wartości funkcji jest zbiorem wszystkich y, dla których istnieje x w dziedzinie funkcji, takie że f(x) = y. Ponieważ f(x) może być dowolnie duży, to zbiór wartości to przedział od -4 do +\\infty.</p>\n<p>[<br>\\(f(x) \\ge -4\\) dla wszystkich x w dziedzinie<br>]</p>\n<p>📖 Karta wzorów: Silnia, strona 6</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((-\\infty, 0\\)</strong>: Zbiór wartości nie może być przedziałem otwartym od -\\(\\infty\\) do 0, ponieważ funkcja może przyjmować wartości mniejsze niż 0, a zbiór wartości musi zawierać wszystkie takie wartości.</li><li><strong>B. 0, 4</strong>: To są konkretne liczby, a zbiór wartości funkcji musi zawierać przedział, a nie tylko pojedyncze wartości.</li><li><strong>D. \\(4, + \\infty\\)</strong>: Podobnie jak w przypadku B, to są konkretne liczby, a zbiór wartości musi być przedziałem. Ponadto, zbiór wartości nie może zaczynać się od 4, ponieważ funkcja może przyjmować wartości mniejsze niż 4.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, druga współrzędna wierzchołka paraboli to $4$ i ramiona paraboli są skierowane w górę.</p>"}]}