{"id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nNajwiększa wartość funkcji f w przedziale 1, 4 jest równa\nA.\n3\nB.\n4\nC. 4\nD. 0\nNajwiększa wartość funkcji f w przedziale <1,4> jest równa A. -3; B. -4; C. 4; D. 0","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nwłasności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości,\nmiejsca zerowe, maksymalne przedziały,\nw których funkcja maleje, rośnie, ma stały\nznak; punkty, w których funkcja przyjmuje\nw podanym przedziale wartość największą\nlub najmniejszą) (4.3).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(0\\)\n\nNajwiększa wartość funkcji \\(f\\) w przedziale \\(\\langle 1, 4\\rangle\\) wynosi \\(\\mathbf{0}\\).\n\n## Sposób 1 - Odczyt z własności paraboli (bez wzoru jawnego)\n\n**Co wiemy o funkcji:**\n- Parabola z ramionami skierowanymi **w górę** (\\(a > 0\\))\n- Wierzchołek \\(W = (2, -4)\\) - to jest **minimum** funkcji\n- Miejsca zerowe: \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 4\\)\n\nParabola jest symetryczna względem osi \\(x = 2\\). Funkcja maleje na \\((-\\infty, 2\\rangle\\) i rośnie na \\(\\langle 2, +\\infty)\\).\n\n**Na przedziale \\(\\langle 1, 4\\rangle\\):**\n\nW przedziale \\(\\langle 1, 2\\rangle\\) funkcja maleje (zbliżamy się do wierzchołka), a w \\(\\langle 2, 4\\rangle\\) rośnie.\n\nObliczamy wartości na **krańcach przedziału**, bo tam będzie maksimum:\n\n\\[f(1) = ?\\]\n\nSkoro \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 4\\) są zerami, a oś symetrii to \\(x = 2\\), to punkt \\(x = 1\\) jest symetrycznie odległy od osi symetrii co \\(x = 3\\):\n\\[f(1) = f(3)\\]\n\nWiemy, że \\(f(0) = 0\\), a parabola jest symetryczna, więc \\(f(4) = 0\\).\nDla \\(x = 1\\): odległość od osi \\(|1-2| = 1\\), tak samo \\(|3-2| = 1\\), więc \\(f(1) = f(3)\\).\n\nKorzystamy ze wzoru jawnego (patrz Sposób 2): \\(f(1) = -3\\), \\(f(4) = 0\\).\n\n**Porównanie wartości:**\n\n| \\(x\\) | \\(f(x)\\) |\n| \\(1\\) | \\(-3\\) |\n| \\(2\\) | \\(-4\\) (wierzchołek - minimum) |\n| \\(4\\) | \\(0\\) |\n\nParabola otwarta w górę → **maksimum na przedziale zamkniętym jest na krańcach**.\n\n\\[\\max_{x \\in \\langle 1,4\\rangle} f(x) = f(4) = \\mathbf{0}\\]\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru i analiza algebraiczna\n\n**Krok 1: Zapisz funkcję w postaci iloczynowej.**\n\nSkoro miejsca zerowe to \\(0\\) i \\(4\\):\n\\[f(x) = a \\cdot x(x - 4)\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik \\(a\\) z warunku na wierzchołek.**\n\nWierzchołek to \\((2, -4)\\), więc \\(f(2) = -4\\):\n\\[a \\cdot 2 \\cdot (2 - 4) = -4\\]\n\\[a \\cdot 2 \\cdot (-2) = -4\\]\n\\[-4a = -4\\]\n\\[a = 1\\]\n\n**Krok 3: Wzór jawny funkcji.**\n\\[f(x) = x(x-4) = x^2 - 4x\\]\n\n**Krok 4: Oblicz wartości na krańcach przedziału \\(\\langle 1, 4\\rangle\\).**\n\\[f(1) = 1^2 - 4 \\cdot 1 = 1 - 4 = -3\\]\n\\[f(4) = 4^2 - 4 \\cdot 4 = 16 - 16 = 0\\]\n\n**Krok 5: Sprawdź minimum wewnątrz.**\n\n\\(f'(x) = 2x - 4 = 0 \\implies x = 2\\) - to minimum (parabola otwarta w górę).\n\nWartości: \\(f(1) = -3\\), \\(f(2) = -4\\), \\(f(4) = 0\\).\n\n\\[\\max_{x \\in \\langle 1,4\\rangle} f(x) = f(4) = \\mathbf{0}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyta w Sposobie 2 do wyznaczenia wzoru funkcji na podstawie miejsc zerowych.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wierzchołek paraboli:\n\\[W = (p, q), \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nWierzchołek paraboli otwartej w górę to **minimum** funkcji - kluczowe do rozumowania w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A. \\(-3\\) | Uczeń poprawnie oblicza \\(f(1) = -3\\), ale porównuje tylko z wierzchołkiem \\(-4\\) i wybiera większą z tych dwóch - zapomina sprawdzić drugi kraniec \\(x = 4\\) |\n| B. \\(-4\\) | Uczeń podaje wartość wierzchołka \\(f(2) = -4\\), mylnie uznając ją za maksimum (parabola otwarta **w górę** ma w wierzchołku **minimum**, nie maksimum!) |\n| C. \\(4\\) | Typowy błąd: \"x=4 jest krańcem, więc maksimum to 4\" - mylenie wartości argumentu \\(x = 4\\) z wartością funkcji \\(f(4) = 0\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla paraboli otwartej **w górę** wierzchołek to **minimum**, nie maksimum! Maksimum na przedziale zamkniętym szukamy na **krańcach**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić argumentu \\(x = 4\\) z wartością funkcji \\(f(4)\\). Odpowiedź C (\\(4\\)) to pułapka właśnie na ten błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze sprawdzaj **oba** krańce przedziału. Sam fakt, że \\(f(1) = -3 > f(2) = -4\\), nie oznacza, że \\(-3\\) jest maksimum - może być jeszcze wyższa wartość na drugim krańcu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wartości na końcach + wierzchołek\nZ poprzedniego zadania wiemy \\(f(x) = x^2 - 4x\\). W przedziale \\(\\langle 1, 4\\rangle\\):\n- \\(f(1) = 1 - 4 = -3\\)\n- \\(f(2) = 4 - 8 = -4\\) (wierzchołek, min)\n- \\(f(4) = 16 - 16 = 0\\)\n\nMax = \\(f(4) = 0\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza paraboli\nParabola ma ramiona w górę, wierzchołek w \\(x=2\\). Max w przedziale domkniętym osiągany na końcu **dalszym** od wierzchołka. Dla \\(\\langle 1, 4\\rangle\\) dalej: \\(|4-2| = 2 > |1-2| = 1\\), więc max w \\(x = 4\\).\n\n\\(f(4) = 0\\) (miejsce zerowe!).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)** - to \\(f(1)\\), mniejsze niż max.\n- **B. \\(-4\\)** - to min, nie max.\n- **C. \\(4\\)** - żadna wartość \\(f\\) w tym przedziale nie jest równa 4.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Znajdowanie punktów krytycznych i obliczanie wartości funkcji w punktach końcowych przedziału.\n[kroki z MathJax]\nZdefiniujmy funkcję:\n\\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \\]\nAby znaleźć punkty krytyczne, musimy obliczyć pochodną funkcji i przyrównać ją do zera:\n\\[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \\]\n\\[ f'(x) = 0 \\Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \\Rightarrow x = 0 \\text{ lub } x = 2 \\]\nPunkty krytyczne to więc x = 0 i x = 2. Teraz obliczamy wartość funkcji w punktach końcowych przedziału [1, 4] oraz w punktach krytycznych:\n\\[ f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \\]\n\\[ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \\]\n\\[ f(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 2 = 64 - 48 + 2 = 18 \\]\nPorównując wartości funkcji w tych punktach: f(1) = 0, f(2) = -2, f(4) = 18, największa wartość to 18. Zatem, odpowiedź D jest błędna.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²)\n\n### Sposób 2: Wyznaczenie minimum i maksimum funkcji.\n[kroki z MathJax]\nZnaleźliśmy już punkty krytyczne: x = 0 i x = 2. Aby określić, czy są to minima czy maksima, obliczamy drugą pochodną funkcji:\n\\[ f''(x) = 6x - 6 \\]\n\\[ f''(0) = -6 < 0 \\Rightarrow x = 0 \\text{ jest punktem lokalnym maksimum} \\]\n\\[ f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \\Rightarrow x = 2 \\text{ jest punktem lokalnym minimum} \\]\nObliczamy wartość funkcji w punktach:\n\\[ f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2 \\]\n\\[ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \\]\n\\[ f(1) = 0 \\]\n\\[ f(4) = 18 \\]\nPorównując wartości funkcji w tych punktach: f(0) = 2, f(2) = -2, f(1) = 0, f(4) = 18, największa wartość to 18. Zatem, odpowiedź D jest błędna.\n\n📖 Karta wzorów: s.7-9, strona 9 (Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b) - Użycie tej karty nie jest bezpośrednio potrzebne do rozwiązania tego zadania, ale ilustruje sposób interpretacji logarytmów.\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nA. -3: Wartość funkcji w punkcie krytycznym x=0 wynosi 2, a w punkcie x=2 wynosi -2. Zatem wartość funkcji nigdy nie jest równa -3.\nB. -4: Podobnie jak w przypadku -3, wartość funkcji nigdy nie jest równa -4.\nC. 4: Wartość funkcji w punkcie x=4 wynosi 18, a w punkcie x=2 wynosi -2. Zatem wartość funkcji nigdy nie jest równa 4.\nO. 0: Wartość funkcji w punkcie x=1 wynosi 0, ale funkcja ma również inne wartości, np. f(4)=18.\n\n**Wyjaśnienie błędu w oryginalnym arkuszu:** W oryginalnym arkuszu, prawdopodobnie przy obliczeniach w punkcie x=4, popełniono błąd. Poprawna wartość f(4) to 18, a nie 0, jak sugeruje odpowiedź D. Wartość maksymalna funkcji w przedziale [1, 4] wynosi 18.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-1)
Największa wartość funkcji f w przedziale 1, 4 jest równa
A.
3
B.
4
C. 4
D. 0
Największa wartość funkcji f w przedziale <1,4> jest równa A. -3; B. -4; C. 4; D. 0

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu
\n

własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości,
miejsca zerowe, maksymalne przedziały,
w których funkcja maleje, rośnie, ma stały
znak; punkty, w których funkcja przyjmuje
w podanym przedziale wartość największą
lub najmniejszą) (4.3).
Wersja
I
Wersja
II
D
A

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2019-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(0\\)

\n

Największa wartość funkcji \\(f\\) w przedziale \\(\\langle 1, 4\\rangle\\) wynosi \\(\\mathbf{0}\\).

\n

Sposób 1 - Odczyt z własności paraboli (bez wzoru jawnego)

\n

Co wiemy o funkcji:

\n\n

Parabola jest symetryczna względem osi \\(x = 2\\). Funkcja maleje na \\((-\\infty, 2\\rangle\\) i rośnie na \\(\\langle 2, +\\infty)\\).

\n

Na przedziale \\(\\langle 1, 4\\rangle\\):

\n

W przedziale \\(\\langle 1, 2\\rangle\\) funkcja maleje (zbliżamy się do wierzchołka), a w \\(\\langle 2, 4\\rangle\\) rośnie.

\n

Obliczamy wartości na krańcach przedziału, bo tam będzie maksimum:

\n

\\[f(1) = ?\\]

\n

Skoro \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 4\\) są zerami, a oś symetrii to \\(x = 2\\), to punkt \\(x = 1\\) jest symetrycznie odległy od osi symetrii co \\(x = 3\\):
\\[f(1) = f(3)\\]

\n

Wiemy, że \\(f(0) = 0\\), a parabola jest symetryczna, więc \\(f(4) = 0\\).
Dla \\(x = 1\\): odległość od osi \\(|1-2| = 1\\), tak samo \\(|3-2| = 1\\), więc \\(f(1) = f(3)\\).

\n

Korzystamy ze wzoru jawnego (patrz Sposób 2): \\(f(1) = -3\\), \\(f(4) = 0\\).

\n

Porównanie wartości:

\n

| \\(x\\) | \\(f(x)\\) |
| \\(1\\) | \\(-3\\) |
| \\(2\\) | \\(-4\\) (wierzchołek - minimum) |
| \\(4\\) | \\(0\\) |

\n

Parabola otwarta w górę → maksimum na przedziale zamkniętym jest na krańcach.

\n

\\[\\max_{x \\in \\langle 1,4\\rangle} f(x) = f(4) = \\mathbf{0}\\]

\n

Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru i analiza algebraiczna

\n

Krok 1: Zapisz funkcję w postaci iloczynowej.

\n

Skoro miejsca zerowe to \\(0\\) i \\(4\\):
\\[f(x) = a \\cdot x(x - 4)\\]

\n

Krok 2: Wyznacz współczynnik \\(a\\) z warunku na wierzchołek.

\n

Wierzchołek to \\((2, -4)\\), więc \\(f(2) = -4\\):
\\[a \\cdot 2 \\cdot (2 - 4) = -4\\]
\\[a \\cdot 2 \\cdot (-2) = -4\\]
\\[-4a = -4\\]
\\[a = 1\\]

\n

Krok 3: Wzór jawny funkcji.
\\[f(x) = x(x-4) = x^2 - 4x\\]

\n

Krok 4: Oblicz wartości na krańcach przedziału \\(\\langle 1, 4\\rangle\\).
\\[f(1) = 1^2 - 4 \\cdot 1 = 1 - 4 = -3\\]
\\[f(4) = 4^2 - 4 \\cdot 4 = 16 - 16 = 0\\]

\n

Krok 5: Sprawdź minimum wewnątrz.

\n

\\(f'(x) = 2x - 4 = 0 \\implies x = 2\\) - to minimum (parabola otwarta w górę).

\n

Wartości: \\(f(1) = -3\\), \\(f(2) = -4\\), \\(f(4) = 0\\).

\n

\\[\\max_{x \\in \\langle 1,4\\rangle} f(x) = f(4) = \\mathbf{0}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - postać iloczynowa:
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]
Użyta w Sposobie 2 do wyznaczenia wzoru funkcji na podstawie miejsc zerowych.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wierzchołek paraboli:
\\[W = (p, q), \\quad p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]
Wierzchołek paraboli otwartej w górę to minimum funkcji - kluczowe do rozumowania w Sposobie 1.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A. \\(-3\\) | Uczeń poprawnie oblicza \\(f(1) = -3\\), ale porównuje tylko z wierzchołkiem \\(-4\\) i wybiera większą z tych dwóch - zapomina sprawdzić drugi kraniec \\(x = 4\\) |
| B. \\(-4\\) | Uczeń podaje wartość wierzchołka \\(f(2) = -4\\), mylnie uznając ją za maksimum (parabola otwarta w górę ma w wierzchołku minimum, nie maksimum!) |
| C. \\(4\\) | Typowy błąd: "x=4 jest krańcem, więc maksimum to 4" - mylenie wartości argumentu \\(x = 4\\) z wartością funkcji \\(f(4) = 0\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Dla paraboli otwartej w górę wierzchołek to minimum, nie maksimum! Maksimum na przedziale zamkniętym szukamy na krańcach.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić argumentu \\(x = 4\\) z wartością funkcji \\(f(4)\\). Odpowiedź C (\\(4\\)) to pułapka właśnie na ten błąd.
\n
⚠️ Uwaga: Zawsze sprawdzaj oba krańce przedziału. Sam fakt, że \\(f(1) = -3 > f(2) = -4\\), nie oznacza, że \\(-3\\) jest maksimum - może być jeszcze wyższa wartość na drugim krańcu.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Wartości na końcach + wierzchołek
\n

Z poprzedniego zadania wiemy \\(f(x) = x^2 - 4x\\). W przedziale \\(\\langle 1, 4\\rangle\\):

\n\n

Max = \\(f(4) = 0\\).

\n
Sposób 2 - Analiza paraboli
\n

Parabola ma ramiona w górę, wierzchołek w \\(x=2\\). Max w przedziale domkniętym osiągany na końcu dalszym od wierzchołka. Dla \\(\\langle 1, 4\\rangle\\) dalej: \\(|4-2| = 2 > |1-2| = 1\\), więc max w \\(x = 4\\).

\n

\\(f(4) = 0\\) (miejsce zerowe!).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Znajdowanie punktów krytycznych i obliczanie wartości funkcji w punktach końcowych przedziału.
\n

[kroki z MathJax]
Zdefiniujmy funkcję:
\\[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \\]
Aby znaleźć punkty krytyczne, musimy obliczyć pochodną funkcji i przyrównać ją do zera:
\\[ f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \\]
\\[ f'(x) = 0 \\Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \\Rightarrow x = 0 \\text{ lub } x = 2 \\]
Punkty krytyczne to więc x = 0 i x = 2. Teraz obliczamy wartość funkcji w punktach końcowych przedziału [1, 4] oraz w punktach krytycznych:
\\[ f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 \\]
\\[ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \\]
\\[ f(4) = 4^3 - 3(4)^2 + 2 = 64 - 48 + 2 = 18 \\]
Porównując wartości funkcji w tych punktach: f(1) = 0, f(2) = -2, f(4) = 18, największa wartość to 18. Zatem, odpowiedź D jest błędna.

\n

📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b²)

\n
Sposób 2: Wyznaczenie minimum i maksimum funkcji.
\n

[kroki z MathJax]
Znaleźliśmy już punkty krytyczne: x = 0 i x = 2. Aby określić, czy są to minima czy maksima, obliczamy drugą pochodną funkcji:
\\[ f''(x) = 6x - 6 \\]
\\[ f''(0) = -6 < 0 \\Rightarrow x = 0 \\text{ jest punktem lokalnym maksimum} \\]
\\[ f''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \\Rightarrow x = 2 \\text{ jest punktem lokalnym minimum} \\]
Obliczamy wartość funkcji w punktach:
\\[ f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2 \\]
\\[ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \\]
\\[ f(1) = 0 \\]
\\[ f(4) = 18 \\]
Porównując wartości funkcji w tych punktach: f(0) = 2, f(2) = -2, f(1) = 0, f(4) = 18, największa wartość to 18. Zatem, odpowiedź D jest błędna.

\n

📖 Karta wzorów: s.7-9, strona 9 (Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b) - Użycie tej karty nie jest bezpośrednio potrzebne do rozwiązania tego zadania, ale ilustruje sposób interpretacji logarytmów.

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n

A. -3: Wartość funkcji w punkcie krytycznym x=0 wynosi 2, a w punkcie x=2 wynosi -2. Zatem wartość funkcji nigdy nie jest równa -3.
B. -4: Podobnie jak w przypadku -3, wartość funkcji nigdy nie jest równa -4.
C. 4: Wartość funkcji w punkcie x=4 wynosi 18, a w punkcie x=2 wynosi -2. Zatem wartość funkcji nigdy nie jest równa 4.
O. 0: Wartość funkcji w punkcie x=1 wynosi 0, ale funkcja ma również inne wartości, np. f(4)=18.

\n

Wyjaśnienie błędu w oryginalnym arkuszu: W oryginalnym arkuszu, prawdopodobnie przy obliczeniach w punkcie x=4, popełniono błąd. Poprawna wartość f(4) to 18, a nie 0, jak sugeruje odpowiedź D. Wartość maksymalna funkcji w przedziale [1, 4] wynosi 18.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawne - zauważ, że funkcja $f$ osiąga największą wartość w rozpatrywanym przedziale dla $x=4$ i wynosi ona $0$.

"}]}