{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (1 pkt)\nLiczba\n2\nlog\n2 jest równa\nA. 2\nB. 4\nC.\nD.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nPoprawna\nodp. (1 p.)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję\nlogarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na\nlogarytm iloczynu, logarytm ilorazu\ni logarytm potęgi o wykładniku naturalnym\n(1.h).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(2\\))\n\n## Sposób 1 - zamiana podstawy na potęgę\n\n**Kluczowe spostrzeżenie:** podstawa logarytmu \\(\\sqrt{7} = 7^{\\frac{1}{2}}\\), więc możemy skorzystać ze wzoru na logarytm z potęgą.\n\nKorzystamy z definicji: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\)\n\nSzukamy \\(x\\) takiego, że:\n\\[(\\sqrt{7})^x = 7\\]\n\\[(7^{\\frac{1}{2}})^x = 7^1\\]\n\\[7^{\\frac{x}{2}} = 7^1\\]\n\nSkoro podstawy są równe, przyrównujemy wykładniki:\n\\[\\frac{x}{2} = 1 \\implies x = 2\\]\n\n**Zatem \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7 = 2\\).**\n\n## Sposób 2 - wzór na zmianę podstawy logarytmu\n\nZamieniamy logarytm na podstawę \\(7\\), używając wzoru na zmianę podstawy:\n\n\\[\\log_{\\sqrt{7}} 7 = \\frac{\\log_7 7}{\\log_7 \\sqrt{7}}\\]\n\nLiczymy licznik i mianownik osobno:\n\\[\\log_7 7 = 1\\]\n\\[\\log_7 \\sqrt{7} = \\log_7 7^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_7 7 = \\frac{1}{2}\\]\n\nZatem:\n\\[\\log_{\\sqrt{7}} 7 = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} = 2\\]\n\n**Wynik: \\(2\\). Oba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź A.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)**\n\nDefinicja logarytmu:\n\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1 do bezpośredniego wyznaczenia wartości.\n\nWzór na logarytm z potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do uproszczenia \\(\\log_7 \\sqrt{7} = \\frac{1}{2}\\).\n\nZmiana podstawy:\n\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do przejścia na wygodniejszą podstawę \\(7\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Uczeń myli wynik z argumentem logarytmu - wpisuje \\(7\\) zamiast go obliczać |\n| C | Uczeń myli wynik z podstawą logarytmu - wpisuje \\(\\sqrt{7}\\) |\n| D | Uczeń odwraca wynik: bierze \\(\\log_7 \\sqrt{7} = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7\\) - zamienia miejscami argument i podstawę |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zamiana miejscami podstawy i argumentu to klasyczny błąd! \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7 \\neq \\log_7 \\sqrt{7}\\). Pierwsze to \\(2\\), drugie to \\(\\frac{1}{2}\\) - czyli odpowiedź D to właśnie wynik tej pomyłki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(\\sqrt{7} = 7^{\\frac{1}{2}}\\). Gdy podstawa jest pierwiastkiem, zawsze warto zamienić ją na potęgę ułamkową - wtedy zadanie sprowadza się do porównywania wykładników.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Logarytm to **wykładnik** - \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7\\) pyta: „do jakiej potęgi podnieść \\(\\sqrt{7}\\), żeby dostać \\(7\\)?\". Intuicja: \\(\\sqrt{7} \\cdot \\sqrt{7} = 7\\), czyli podnosimy do potęgi \\(2\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Definicja logarytmu\n\\(\\log_{\\sqrt{7}} 7 = x \\iff (\\sqrt{7})^x = 7\\).\nZapisujemy \\(\\sqrt{7} = 7^{1/2}\\), więc \\((7^{1/2})^x = 7^1\\), czyli \\(\\tfrac{x}{2} = 1\\), stąd \\(x = 2\\).\n\n### Sposób 2 - Zamiana podstawy\n\\[\\log_{\\sqrt{7}} 7 = \\dfrac{\\log 7}{\\log \\sqrt{7}} = \\dfrac{\\log 7}{\\tfrac{1}{2}\\log 7} = 2.\\]\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(7\\)** - błąd: wartość argumentu, nie logarytmu.\n- **C. \\(\\sqrt{7}\\)** - pomylono podstawę i argument.\n- **D. \\(\\tfrac{1}{2}\\)** - to \\(\\log_7 \\sqrt{7}\\), nie \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7\\).\n\n**Trik:** \\(\\log_a b\\) i \\(\\log_b a\\) są wzajemnymi odwrotnościami.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (1 pkt)
Liczba
2
log
2 jest równa
A. 2
B. 4
C.
D.

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
Poprawna
odp. (1 p.)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający zna definicję
\n

logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na
logarytm iloczynu, logarytm ilorazu
i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym
(1.h).
Wersja
I
Wersja
II
A
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A (\\(2\\))

\n

Sposób 1 - zamiana podstawy na potęgę

\n

Kluczowe spostrzeżenie: podstawa logarytmu \\(\\sqrt{7} = 7^{\\frac{1}{2}}\\), więc możemy skorzystać ze wzoru na logarytm z potęgą.

\n

Korzystamy z definicji: \\(\\log_a b = c \\iff a^c = b\\)

\n

Szukamy \\(x\\) takiego, że:
\\[(\\sqrt{7})^x = 7\\]
\\[(7^{\\frac{1}{2}})^x = 7^1\\]
\\[7^{\\frac{x}{2}} = 7^1\\]

\n

Skoro podstawy są równe, przyrównujemy wykładniki:
\\[\\frac{x}{2} = 1 \\implies x = 2\\]

\n

Zatem \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7 = 2\\).

\n

Sposób 2 - wzór na zmianę podstawy logarytmu

\n

Zamieniamy logarytm na podstawę \\(7\\), używając wzoru na zmianę podstawy:

\n

\\[\\log_{\\sqrt{7}} 7 = \\frac{\\log_7 7}{\\log_7 \\sqrt{7}}\\]

\n

Liczymy licznik i mianownik osobno:
\\[\\log_7 7 = 1\\]
\\[\\log_7 \\sqrt{7} = \\log_7 7^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\log_7 7 = \\frac{1}{2}\\]

\n

Zatem:
\\[\\log_{\\sqrt{7}} 7 = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} = 2\\]

\n

Wynik: \\(2\\). Oba sposoby dają ten sam wynik - odpowiedź A.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)

\n

Definicja logarytmu:
\\[\\log_a b = c \\iff a^c = b\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 1 do bezpośredniego wyznaczenia wartości.

\n

Wzór na logarytm z potęgi:
\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do uproszczenia \\(\\log_7 \\sqrt{7} = \\frac{1}{2}\\).

\n

Zmiana podstawy:
\\[\\log_b c = \\frac{\\log_a c}{\\log_a b}\\]
Użyliśmy jej w Sposobie 2 do przejścia na wygodniejszą podstawę \\(7\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Uczeń myli wynik z argumentem logarytmu - wpisuje \\(7\\) zamiast go obliczać |
| C | Uczeń myli wynik z podstawą logarytmu - wpisuje \\(\\sqrt{7}\\) |
| D | Uczeń odwraca wynik: bierze \\(\\log_7 \\sqrt{7} = \\frac{1}{2}\\) zamiast \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7\\) - zamienia miejscami argument i podstawę |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zamiana miejscami podstawy i argumentu to klasyczny błąd! \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7 \\neq \\log_7 \\sqrt{7}\\). Pierwsze to \\(2\\), drugie to \\(\\frac{1}{2}\\) - czyli odpowiedź D to właśnie wynik tej pomyłki.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(\\sqrt{7} = 7^{\\frac{1}{2}}\\). Gdy podstawa jest pierwiastkiem, zawsze warto zamienić ją na potęgę ułamkową - wtedy zadanie sprowadza się do porównywania wykładników.
\n
⚠️ Uwaga: Logarytm to wykładnik - \\(\\log_{\\sqrt{7}} 7\\) pyta: „do jakiej potęgi podnieść \\(\\sqrt{7}\\), żeby dostać \\(7\\)?". Intuicja: \\(\\sqrt{7} \\cdot \\sqrt{7} = 7\\), czyli podnosimy do potęgi \\(2\\).
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Definicja logarytmu
\n

\\(\\log_{\\sqrt{7}} 7 = x \\iff (\\sqrt{7})^x = 7\\).
Zapisujemy \\(\\sqrt{7} = 7^{1/2}\\), więc \\((7^{1/2})^x = 7^1\\), czyli \\(\\tfrac{x}{2} = 1\\), stąd \\(x = 2\\).

\n
Sposób 2 - Zamiana podstawy
\n

\\[\\log_{\\sqrt{7}} 7 = \\dfrac{\\log 7}{\\log \\sqrt{7}} = \\dfrac{\\log 7}{\\tfrac{1}{2}\\log 7} = 2.\\]

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(\\log_a b\\) i \\(\\log_b a\\) są wzajemnymi odwrotnościami.

"}]}