{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (1 pkt)\nOsią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu\nA.\n4\ny = -\nB.\n4\nx = -\nC.\n2\ny =\nD.\n2\nx =\n-3\n-4\nW\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"D","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający podaje równanie prostej w postaci\nAx + By + C = 0 lub y = ax + b, mając dane\ndwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik\na w równaniu kierunkowym (8.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(a = -4\\))\n\n## Sposób 1 - Podstawienie punktu do równania prostej\n\nSkoro punkt \\(A = (a, 3)\\) leży na prostej \\(y = \\dfrac{3}{4}x + 6\\), to jego współrzędne muszą **spełniać równanie tej prostej**.\n\nPodstawiamy \\(x = a\\) i \\(y = 3\\):\n\n\\[3 = \\frac{3}{4} \\cdot a + 6\\]\n\nPrzenosimy \\(6\\) na lewą stronę:\n\n\\[3 - 6 = \\frac{3}{4}a\\]\n\n\\[-3 = \\frac{3}{4}a\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(\\dfrac{4}{3}\\):\n\n\\[a = -3 \\cdot \\frac{4}{3} = -4\\]\n\n**Zatem \\(a = -4\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wyniku)\n\nSprawdzamy, czy punkt \\(A = (-4, 3)\\) rzeczywiście leży na prostej \\(y = \\dfrac{3}{4}x + 6\\).\n\nWstawiamy \\(x = -4\\):\n\n\\[\\frac{3}{4} \\cdot (-4) + 6 = -3 + 6 = 3\\]\n\nOtrzymujemy \\(y = 3\\) - zgadza się ze współrzędną punktu \\(A\\). ✓\n\n**Wynik potwierdzony: \\(a = -4\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przynależności punktu do prostej i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(a = 4\\) | Podstawiamy \\(x = a\\), ale zapominamy o znaku minus - liczymy \\(-3 = \\frac{3}{4}a\\) i „gubimy\" minus, dostając \\(a = 4\\) |\n| C. \\(a = \\dfrac{33}{4}\\) | Błędne przestawienie: zamiast \\(3 - 6\\) liczymy \\(3 + 6 = 9\\), a potem dzielimy przez \\(\\frac{3}{4}\\) - pomyłka ze znakiem |\n| D. \\(a = \\dfrac{39}{4}\\) | Błąd polegający na podstawieniu \\(x = 3\\) zamiast \\(y = 3\\) - zamiana ról współrzędnych punktu |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt \\(A = (a, 3)\\) oznacza, że **pierwsza** współrzędna to \\(x = a\\), a **druga** to \\(y = 3\\). Łatwo zamienić je miejscami i podstawić \\(x = 3\\) - to błąd!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po uzyskaniu \\(-3 = \\dfrac{3}{4}a\\) pamiętaj o znaku minus przy dzieleniu. Wynik musi być **ujemny**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto zweryfikować odpowiedź - podstaw gotowe \\(a\\) z powrotem do równania i sprawdź, czy wychodzi \\(y = 3\\). Zajmuje to 5 sekund i eliminuje pomyłki.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie \\(y = 3\\)\nPunkt \\((a, 3)\\) leży na prostej, więc spełnia równanie:\n\\[3 = \\dfrac{3}{4}a + 6.\\]\nPrzekształcamy:\n\\[\\dfrac{3}{4}a = 3 - 6 = -3,\\]\n\\[a = -3\\cdot \\dfrac{4}{3} = -4.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(a = -4\\): \\(y = \\tfrac{3}{4}\\cdot(-4) + 6 = -3 + 6 = 3\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(4\\)**: \\(y = 3 + 6 = 9 \\ne 3\\).\n- **C. \\(\\tfrac{33}{4}\\)**: \\(y = \\tfrac{3}{4}\\cdot\\tfrac{33}{4} + 6 = \\tfrac{99}{16} + 6 \\ne 3\\).\n- **D. \\(\\tfrac{39}{4}\\)**: podobnie - nie daje \\(y = 3\\).\n\n**Podstawowa zasada:** punkt leży na prostej ⟺ jego współrzędne spełniają równanie.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10. (1 pkt)<br>Osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu<br>A.<br>4<br>y = -<br>B.<br>4<br>x = -<br>C.<br>2<br>y =<br>D.<br>2<br>x =<br>-3<br>-4<br>W</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający podaje równanie prostej w postaci<br>Ax + By + C = 0 lub y = ax + b, mając dane<br>dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik<br>a w równaniu kierunkowym (8.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A (\\(a = -4\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie punktu do równania prostej</h4>\n<p>Skoro punkt \\(A = (a, 3)\\) leży na prostej \\(y = \\dfrac{3}{4}x + 6\\), to jego współrzędne muszą <strong>spełniać równanie tej prostej</strong>.</p>\n<p>Podstawiamy \\(x = a\\) i \\(y = 3\\):</p>\n<p>\\[3 = \\frac{3}{4} \\cdot a + 6\\]</p>\n<p>Przenosimy \\(6\\) na lewą stronę:</p>\n<p>\\[3 - 6 = \\frac{3}{4}a\\]</p>\n<p>\\[-3 = \\frac{3}{4}a\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(\\dfrac{4}{3}\\):</p>\n<p>\\[a = -3 \\cdot \\frac{4}{3} = -4\\]</p>\n<p><strong>Zatem \\(a = -4\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja (podstawienie wyniku)</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy punkt \\(A = (-4, 3)\\) rzeczywiście leży na prostej \\(y = \\dfrac{3}{4}x + 6\\).</p>\n<p>Wstawiamy \\(x = -4\\):</p>\n<p>\\[\\frac{3}{4} \\cdot (-4) + 6 = -3 + 6 = 3\\]</p>\n<p>Otrzymujemy \\(y = 3\\) - zgadza się ze współrzędną punktu \\(A\\). ✓</p>\n<p><strong>Wynik potwierdzony: \\(a = -4\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przynależności punktu do prostej i podstawowe działania algebraiczne.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B. \\(a = 4\\) | Podstawiamy \\(x = a\\), ale zapominamy o znaku minus - liczymy \\(-3 = \\frac{3}{4}a\\) i „gubimy&quot; minus, dostając \\(a = 4\\) |<br>| C. \\(a = \\dfrac{33}{4}\\) | Błędne przestawienie: zamiast \\(3 - 6\\) liczymy \\(3 + 6 = 9\\), a potem dzielimy przez \\(\\frac{3}{4}\\) - pomyłka ze znakiem |<br>| D. \\(a = \\dfrac{39}{4}\\) | Błąd polegający na podstawieniu \\(x = 3\\) zamiast \\(y = 3\\) - zamiana ról współrzędnych punktu |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Punkt \\(A = (a, 3)\\) oznacza, że <strong>pierwsza</strong> współrzędna to \\(x = a\\), a <strong>druga</strong> to \\(y = 3\\). Łatwo zamienić je miejscami i podstawić \\(x = 3\\) - to błąd!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po uzyskaniu \\(-3 = \\dfrac{3}{4}a\\) pamiętaj o znaku minus przy dzieleniu. Wynik musi być <strong>ujemny</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze warto zweryfikować odpowiedź - podstaw gotowe \\(a\\) z powrotem do równania i sprawdź, czy wychodzi \\(y = 3\\). Zajmuje to 5 sekund i eliminuje pomyłki.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie \\(y = 3\\)</h5>\n<p>Punkt \\((a, 3)\\) leży na prostej, więc spełnia równanie:<br>\\[3 = \\dfrac{3}{4}a + 6.\\]<br>Przekształcamy:<br>\\[\\dfrac{3}{4}a = 3 - 6 = -3,\\]<br>\\[a = -3\\cdot \\dfrac{4}{3} = -4.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Dla \\(a = -4\\): \\(y = \\tfrac{3}{4}\\cdot(-4) + 6 = -3 + 6 = 3\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(4\\)</strong>: \\(y = 3 + 6 = 9 \\ne 3\\).</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{33}{4}\\)</strong>: \\(y = \\tfrac{3}{4}\\cdot\\tfrac{33}{4} + 6 = \\tfrac{99}{16} + 6 \\ne 3\\).</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{39}{4}\\)</strong>: podobnie - nie daje \\(y = 3\\).</li></ul>\n<p><strong>Podstawowa zasada:</strong> punkt leży na prostej ⟺ jego współrzędne spełniają równanie.</p>"}]}