{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (1 pkt)\nW ciągu arytmetycznym\n, określonym dla\n1\nn ≥, dane są dwa wyrazy:\n1\n7\na =\ni\n8\n49.\na = -\nSuma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa\nA. -168\nB. -189\nC. -21\nD. -42","answer":"A","answer_text":"Zadanie 11. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone\nw kontekście praktycznym (5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B. \\(-27\\)\n\n## Sposób 1 - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego\n\n**Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu.**\n\nMamy \\(a_1 = -11\\) i \\(a_9 = 5\\). Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\\[a_9 = a_1 + 8r\\]\n\\[5 = -11 + 8r\\]\n\\[8r = 16\\]\n\\[r = 2\\]\n\n**Krok 2: Liczymy sumę dziewięciu wyrazów.**\n\nZnamy \\(a_1 = -11\\) i \\(a_9 = 5\\), więc korzystamy z wygodnej postaci wzoru na sumę:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\\[S_9 = \\frac{a_1 + a_9}{2} \\cdot 9 = \\frac{-11 + 5}{2} \\cdot 9 = \\frac{-6}{2} \\cdot 9 = (-3) \\cdot 9 = \\mathbf{-27}\\]\n\n## Sposób 2 - wyznaczenie wszystkich wyrazów (metoda bezpośrednia)\n\nSkoro \\(r = 2\\) i \\(a_1 = -11\\), wypisujemy dziewięć wyrazów:\n\n\\[a_1 = -11, \\quad a_2 = -9, \\quad a_3 = -7, \\quad a_4 = -5, \\quad a_5 = -3\\]\n\\[a_6 = -1, \\quad a_7 = 1, \\quad a_8 = 3, \\quad a_9 = 5\\]\n\nSumujemy:\n\\[S_9 = (-11) + (-9) + (-7) + (-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5\\]\n\nGrupujemy sprytnie - parując wyrazy symetryczne względem środka (\\(a_5 = -3\\)):\n\\[= [(-11+5)] + [(-9+3)] + [(-7+1)] + [(-5+(-1))] + (-3)\\]\n\\[= (-6) + (-6) + (-6) + (-6) + (-3)\\]\n\\[= -24 + (-3) = \\mathbf{-27}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)**\n\nWzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\nUżyliśmy go do wyznaczenia różnicy \\(r\\) z warunku \\(a_9 = 5\\).\n\nWzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \\(S_9\\) - bardzo wygodny, bo mamy gotowe \\(a_1\\) i \\(a_9\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A. \\(-24\\) | Zapomniano dodać wyraz środkowy \\(a_5 = -3\\); policzono sumę tylko 8 wyrazów lub zgubiono jeden ze skrajnych |\n| C. \\(-16\\) | Błędne wyznaczenie \\(r\\): np. podzielono \\(16 \\div 9\\) zamiast \\(16 \\div 8\\) (pomylono liczbę kroków - między \\(a_1\\) a \\(a_9\\) jest **8** kroków, nie 9) |\n| D. \\(-18\\) | Użyto wzoru \\(S_9 = a_1 \\cdot 9\\) jakby to był ciąg geometryczny, lub błędnie podstawiono \\(n = 9\\) do wzoru sumy bez dodania \\(a_n\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Między wyrazem \\(a_1\\) a \\(a_9\\) jest **8** kroków, nie 9! Stąd \\(a_9 = a_1 + 8r\\). To najczęstszy błąd przy wyznaczaniu różnicy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) działa tylko wtedy, gdy znasz **ostatni** z liczonych wyrazów (\\(a_n\\)). Tu mamy szczęście - szukamy \\(S_9\\) i znamy \\(a_9\\), więc podstawiamy bezpośrednio.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Suma ujemna nie powinna dziwić - większość wyrazów (\\(a_1\\) przez \\(a_6\\)) jest ujemna, tylko trzy ostatnie są dodatnie, więc suma musi wyjść ujemna.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\\[S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n.\\]\nDla \\(n = 9\\):\n\\[S_9 = \\dfrac{a_1 + a_9}{2}\\cdot 9 = \\dfrac{-11 + 5}{2}\\cdot 9 = \\dfrac{-6}{2}\\cdot 9 = -3\\cdot 9 = -27.\\]\n\n### Sposób 2 - Wyznaczenie różnicy, potem suma\n\\(a_9 = a_1 + 8r \\Rightarrow 5 = -11 + 8r \\Rightarrow r = 2\\).\n\\(S_9 = \\dfrac{2a_1 + 8r}{2}\\cdot 9 = \\dfrac{-22 + 16}{2}\\cdot 9 = -3\\cdot 9 = -27\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D.** Błędy rachunkowe lub użycie niepoprawnego wzoru.\n\n**Najkrócej:** \\(S_9 = \\tfrac{a_1 + a_9}{2}\\cdot 9\\) - średnia skrajnych razy liczba wyrazów.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11. (1 pkt)<br>W ciągu arytmetycznym<br>, określonym dla<br>1<br>n ≥, dane są dwa wyrazy:<br>1<br>7<br>a =<br>i<br>8<br>49.<br>a = -<br>Suma ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa<br>A. -168<br>B. -189<br>C. -21<br>D. -42</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na</li></ol>\n<p>n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów<br>ciągu arytmetycznego i ciągu<br>geometrycznego, również umieszczone<br>w kontekście praktycznym (5.c).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B. \\(-27\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy różnicę ciągu.</strong></p>\n<p>Mamy \\(a_1 = -11\\) i \\(a_9 = 5\\). Korzystamy ze wzoru na \\(n\\)-ty wyraz:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>\\[a_9 = a_1 + 8r\\]<br>\\[5 = -11 + 8r\\]<br>\\[8r = 16\\]<br>\\[r = 2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Liczymy sumę dziewięciu wyrazów.</strong></p>\n<p>Znamy \\(a_1 = -11\\) i \\(a_9 = 5\\), więc korzystamy z wygodnej postaci wzoru na sumę:<br>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]<br>\\[S_9 = \\frac{a_1 + a_9}{2} \\cdot 9 = \\frac{-11 + 5}{2} \\cdot 9 = \\frac{-6}{2} \\cdot 9 = (-3) \\cdot 9 = \\mathbf{-27}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - wyznaczenie wszystkich wyrazów (metoda bezpośrednia)</h4>\n<p>Skoro \\(r = 2\\) i \\(a_1 = -11\\), wypisujemy dziewięć wyrazów:</p>\n<p>\\[a_1 = -11, \\quad a_2 = -9, \\quad a_3 = -7, \\quad a_4 = -5, \\quad a_5 = -3\\]<br>\\[a_6 = -1, \\quad a_7 = 1, \\quad a_8 = 3, \\quad a_9 = 5\\]</p>\n<p>Sumujemy:<br>\\[S_9 = (-11) + (-9) + (-7) + (-5) + (-3) + (-1) + 1 + 3 + 5\\]</p>\n<p>Grupujemy sprytnie - parując wyrazy symetryczne względem środka (\\(a_5 = -3\\)):<br>\\[= [(-11+5)] + [(-9+3)] + [(-7+1)] + [(-5+(-1))] + (-3)\\]<br>\\[= (-6) + (-6) + (-6) + (-6) + (-3)\\]<br>\\[= -24 + (-3) = \\mathbf{-27}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong></p>\n<p>Wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]<br>Użyliśmy go do wyznaczenia różnicy \\(r\\) z warunku \\(a_9 = 5\\).</p>\n<p>Wzór na sumę \\(n\\) początkowych wyrazów:<br>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1 do obliczenia \\(S_9\\) - bardzo wygodny, bo mamy gotowe \\(a_1\\) i \\(a_9\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A. \\(-24\\) | Zapomniano dodać wyraz środkowy \\(a_5 = -3\\); policzono sumę tylko 8 wyrazów lub zgubiono jeden ze skrajnych |<br>| C. \\(-16\\) | Błędne wyznaczenie \\(r\\): np. podzielono \\(16 \\div 9\\) zamiast \\(16 \\div 8\\) (pomylono liczbę kroków - między \\(a_1\\) a \\(a_9\\) jest <strong>8</strong> kroków, nie 9) |<br>| D. \\(-18\\) | Użyto wzoru \\(S_9 = a_1 \\cdot 9\\) jakby to był ciąg geometryczny, lub błędnie podstawiono \\(n = 9\\) do wzoru sumy bez dodania \\(a_n\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Między wyrazem \\(a_1\\) a \\(a_9\\) jest <strong>8</strong> kroków, nie 9! Stąd \\(a_9 = a_1 + 8r\\). To najczęstszy błąd przy wyznaczaniu różnicy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\) działa tylko wtedy, gdy znasz <strong>ostatni</strong> z liczonych wyrazów (\\(a_n\\)). Tu mamy szczęście - szukamy \\(S_9\\) i znamy \\(a_9\\), więc podstawiamy bezpośrednio.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Suma ujemna nie powinna dziwić - większość wyrazów (\\(a_1\\) przez \\(a_6\\)) jest ujemna, tylko trzy ostatnie są dodatnie, więc suma musi wyjść ujemna.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego</h5>\n<p>\\[S_n = \\dfrac{a_1 + a_n}{2}\\cdot n.\\]<br>Dla \\(n = 9\\):<br>\\[S_9 = \\dfrac{a_1 + a_9}{2}\\cdot 9 = \\dfrac{-11 + 5}{2}\\cdot 9 = \\dfrac{-6}{2}\\cdot 9 = -3\\cdot 9 = -27.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Wyznaczenie różnicy, potem suma</h5>\n<p>\\(a_9 = a_1 + 8r \\Rightarrow 5 = -11 + 8r \\Rightarrow r = 2\\).<br>\\(S_9 = \\dfrac{2a_1 + 8r}{2}\\cdot 9 = \\dfrac{-22 + 16}{2}\\cdot 9 = -3\\cdot 9 = -27\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, C, D.</strong> Błędy rachunkowe lub użycie niepoprawnego wzoru.</li></ul>\n<p><strong>Najkrócej:</strong> \\(S_9 = \\tfrac{a_1 + a_9}{2}\\cdot 9\\) - średnia skrajnych razy liczba wyrazów.</p>"}]}