{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (1 pkt)\nDany jest ciąg geometryczny\n, określony dla\n. Wszystkie wyrazy tego ciągu są\ndodatnie i spełniony jest warunek\n5\n3\n1\n9\na\na\n. Iloraz tego ciągu jest równy\nA.\nB.\nC. 3\nD.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 12. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n5. Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na\nn-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów\nciągu arytmetycznego i ciągu\ngeometrycznego, również umieszczone\nw kontekście praktycznym (5.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{2}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z wzoru na wyraz ogólny\n\nCiąg geometryczny spełnia wzór \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), gdzie \\(q > 0\\) (bo wszystkie wyrazy dodatnie).\n\nZapisujemy dwa równania:\n\\[a_2 = a_1 \\cdot q^1 = 162\\]\n\\[a_5 = a_1 \\cdot q^4 = 48\\]\n\nDzielimy stronami drugie równanie przez pierwsze:\n\\[\\frac{a_1 \\cdot q^4}{a_1 \\cdot q^1} = \\frac{48}{162}\\]\n\n\\[q^3 = \\frac{48}{162} = \\frac{8}{27}\\]\n\nPierwiastkujemy obie strony:\n\\[q = \\sqrt[3]{\\frac{8}{27}} = \\frac{\\sqrt[3]{8}}{\\sqrt[3]{27}} = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Iloraz ciągu wynosi \\(\\dfrac{2}{3}\\).**\n\n## Sposób 2 - Przez trzy kolejne wyrazy (własność ciągu geometrycznego)\n\nMiędzy wyrazem \\(a_2\\) a \\(a_5\\) jest odstęp 3 miejsc, więc:\n\\[a_5 = a_2 \\cdot q^3\\]\n\nPodstawiamy znane wartości:\n\\[48 = 162 \\cdot q^3\\]\n\n\\[q^3 = \\frac{48}{162} = \\frac{8}{27}\\]\n\n\\[q = \\frac{2}{3}\\]\n\n**Wynik taki sam - \\(q = \\dfrac{2}{3}\\).**\n\nDla pewności sprawdźmy, czy \\(a_1\\) jest dodatnie (warunek z zadania):\n\\[a_1 = \\frac{a_2}{q} = \\frac{162}{\\frac{2}{3}} = 162 \\cdot \\frac{3}{2} = 243 > 0 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy tego wzoru, żeby zapisać \\(a_2\\) i \\(a_5\\) przez \\(a_1\\) i \\(q\\), a następnie podzielić równania stronami.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B - \\(\\dfrac{3}{4}\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{48}{162}\\) i bierze to jako \\(q\\) bez pierwiastkowania, albo liczy \\(\\sqrt{\\frac{48}{162}}\\) zamiast \\(\\sqrt[3]{\\ }\\) (myli potęgę \\(q^3\\) z \\(q^2\\)) |\n| C - \\(\\dfrac{1}{3}\\) | Uczeń liczy \\(q^3 = \\frac{8}{27}\\) i poprawnie bierze pierwiastek sześcienny z licznika i mianownika, ale myli \\(\\sqrt[3]{8} = 2\\) z \\(\\sqrt[3]{8} = \\frac{1}{2}\\), albo odwraca ułamek |\n| D - \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń zauważa, że \\(48 \\approx \\frac{162}{3}\\) i dzieli przez liczbę wyrazów zamiast szukać ilorazu; albo myli skok o 3 z \\(q^2\\) i liczy \\(\\sqrt{\\frac{8}{27}} \\approx \\frac{1}{2}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe jest, że między \\(a_2\\) a \\(a_5\\) są **3 kroki** (nie 2 i nie 4), więc \\(a_5 = a_2 \\cdot q^3\\) - łatwo się pomylić o jeden.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(q^3 = \\dfrac{8}{27}\\) - trzeba wyciągnąć **pierwiastek sześcienny**, a nie kwadratowy. Sprawdź: \\(\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^3 = \\dfrac{8}{27}\\) ✓\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Upraszczanie \\(\\dfrac{48}{162}\\) - warto to zrobić od razu: \\(\\dfrac{48}{162} = \\dfrac{8}{27}\\) (dzielimy licznik i mianownik przez 6). Łatwiej wtedy zobaczyć sześcian.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na wyraz ogólny\nW ciągu geometrycznym \\(a_n = a_1 q^{n-1}\\), więc:\n\\[\\dfrac{a_5}{a_2} = \\dfrac{a_1 q^4}{a_1 q} = q^3.\\]\nStąd:\n\\[q^3 = \\dfrac{48}{162} = \\dfrac{8}{27},\\]\n\\[q = \\sqrt[3]{\\dfrac{8}{27}} = \\dfrac{2}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(q = \\tfrac{2}{3}\\): \\(a_2 = 162\\), \\(a_3 = 108\\), \\(a_4 = 72\\), \\(a_5 = 48\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(\\tfrac{3}{4}\\)**: \\(\\left(\\tfrac{3}{4}\\right)^3 = \\tfrac{27}{64} \\ne \\tfrac{8}{27}\\).\n- **C. \\(\\tfrac{1}{3}\\)**: \\(162\\cdot \\tfrac{1}{27} = 6 \\ne 48\\).\n- **D. \\(\\tfrac{1}{2}\\)**: \\(162\\cdot \\tfrac{1}{8} = 20{,}25 \\ne 48\\).\n\n**Kluczowy skrót:** \\(\\tfrac{a_5}{a_2} = q^{5-2} = q^3\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (1 pkt)<br>Dany jest ciąg geometryczny<br>, określony dla<br>. Wszystkie wyrazy tego ciągu są<br>dodatnie i spełniony jest warunek<br>5<br>3<br>1<br>9<br>a<br>a<br>. Iloraz tego ciągu jest równy<br>A.<br>B.<br>C. 3<br>D.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Ciągi liczbowe. Zdający stosuje wzory na</li></ol>\n<p>n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów<br>ciągu arytmetycznego i ciągu<br>geometrycznego, również umieszczone<br>w kontekście praktycznym (5.c).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{2}{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Układ równań z wzoru na wyraz ogólny</h4>\n<p>Ciąg geometryczny spełnia wzór \\(a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\), gdzie \\(q &gt; 0\\) (bo wszystkie wyrazy dodatnie).</p>\n<p>Zapisujemy dwa równania:<br>\\[a_2 = a_1 \\cdot q^1 = 162\\]<br>\\[a_5 = a_1 \\cdot q^4 = 48\\]</p>\n<p>Dzielimy stronami drugie równanie przez pierwsze:<br>\\[\\frac{a_1 \\cdot q^4}{a_1 \\cdot q^1} = \\frac{48}{162}\\]</p>\n<p>\\[q^3 = \\frac{48}{162} = \\frac{8}{27}\\]</p>\n<p>Pierwiastkujemy obie strony:<br>\\[q = \\sqrt[3]{\\frac{8}{27}} = \\frac{\\sqrt[3]{8}}{\\sqrt[3]{27}} = \\frac{2}{3}\\]</p>\n<p><strong>Iloraz ciągu wynosi \\(\\dfrac{2}{3}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przez trzy kolejne wyrazy (własność ciągu geometrycznego)</h4>\n<p>Między wyrazem \\(a_2\\) a \\(a_5\\) jest odstęp 3 miejsc, więc:<br>\\[a_5 = a_2 \\cdot q^3\\]</p>\n<p>Podstawiamy znane wartości:<br>\\[48 = 162 \\cdot q^3\\]</p>\n<p>\\[q^3 = \\frac{48}{162} = \\frac{8}{27}\\]</p>\n<p>\\[q = \\frac{2}{3}\\]</p>\n<p><strong>Wynik taki sam - \\(q = \\dfrac{2}{3}\\).</strong></p>\n<p>Dla pewności sprawdźmy, czy \\(a_1\\) jest dodatnie (warunek z zadania):<br>\\[a_1 = \\frac{a_2}{q} = \\frac{162}{\\frac{2}{3}} = 162 \\cdot \\frac{3}{2} = 243 &gt; 0 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru, żeby zapisać \\(a_2\\) i \\(a_5\\) przez \\(a_1\\) i \\(q\\), a następnie podzielić równania stronami.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B - \\(\\dfrac{3}{4}\\) | Uczeń liczy \\(\\dfrac{48}{162}\\) i bierze to jako \\(q\\) bez pierwiastkowania, albo liczy \\(\\sqrt{\\frac{48}{162}}\\) zamiast \\(\\sqrt[3]{\\ }\\) (myli potęgę \\(q^3\\) z \\(q^2\\)) |<br>| C - \\(\\dfrac{1}{3}\\) | Uczeń liczy \\(q^3 = \\frac{8}{27}\\) i poprawnie bierze pierwiastek sześcienny z licznika i mianownika, ale myli \\(\\sqrt[3]{8} = 2\\) z \\(\\sqrt[3]{8} = \\frac{1}{2}\\), albo odwraca ułamek |<br>| D - \\(\\dfrac{1}{2}\\) | Uczeń zauważa, że \\(48 \\approx \\frac{162}{3}\\) i dzieli przez liczbę wyrazów zamiast szukać ilorazu; albo myli skok o 3 z \\(q^2\\) i liczy \\(\\sqrt{\\frac{8}{27}} \\approx \\frac{1}{2}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kluczowe jest, że między \\(a_2\\) a \\(a_5\\) są <strong>3 kroki</strong> (nie 2 i nie 4), więc \\(a_5 = a_2 \\cdot q^3\\) - łatwo się pomylić o jeden.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(q^3 = \\dfrac{8}{27}\\) - trzeba wyciągnąć <strong>pierwiastek sześcienny</strong>, a nie kwadratowy. Sprawdź: \\(\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^3 = \\dfrac{8}{27}\\) ✓</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Upraszczanie \\(\\dfrac{48}{162}\\) - warto to zrobić od razu: \\(\\dfrac{48}{162} = \\dfrac{8}{27}\\) (dzielimy licznik i mianownik przez 6). Łatwiej wtedy zobaczyć sześcian.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na wyraz ogólny</h5>\n<p>W ciągu geometrycznym \\(a_n = a_1 q^{n-1}\\), więc:<br>\\[\\dfrac{a_5}{a_2} = \\dfrac{a_1 q^4}{a_1 q} = q^3.\\]<br>Stąd:<br>\\[q^3 = \\dfrac{48}{162} = \\dfrac{8}{27},\\]<br>\\[q = \\sqrt[3]{\\dfrac{8}{27}} = \\dfrac{2}{3}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<p>Dla \\(q = \\tfrac{2}{3}\\): \\(a_2 = 162\\), \\(a_3 = 108\\), \\(a_4 = 72\\), \\(a_5 = 48\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(\\tfrac{3}{4}\\)</strong>: \\(\\left(\\tfrac{3}{4}\\right)^3 = \\tfrac{27}{64} \\ne \\tfrac{8}{27}\\).</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{1}{3}\\)</strong>: \\(162\\cdot \\tfrac{1}{27} = 6 \\ne 48\\).</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{1}{2}\\)</strong>: \\(162\\cdot \\tfrac{1}{8} = 20{,}25 \\ne 48\\).</li></ul>\n<p><strong>Kluczowy skrót:</strong> \\(\\tfrac{a_5}{a_2} = q^{5-2} = q^3\\).</p>"}]}