{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (1 pkt)\nSinus kąta ostrego α jest równy 5\n4 . Wtedy\nA.\n4\n5\ncos\nα\nB.\n5\n1\ncos\nα\nC.\n25\n9\ncos\nα\nD.\n5\n3\ncos\nα","answer":"D","answer_text":"Zadanie 13. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n6. Trygonometria. Zdający znając wartość\njednej z funkcji trygonometrycznych,\nwyznacza wartości pozostałych funkcji tego\nsamego kąta ostrego (6.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\)\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna\n\nWiemy, że \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{12}{13}\\) i kąt \\(\\alpha\\) jest ostry, więc \\(\\sin\\alpha > 0\\).\n\nKorzystamy z jedynki trygonometrycznej:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\nPodstawiamy znane \\(\\cos\\alpha\\):\n\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2 = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{144}{169} = 1\\]\n\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{144}{169} = \\frac{169}{169} - \\frac{144}{169} = \\frac{25}{169}\\]\n\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{25}{169}} = \\frac{5}{13}\\]\n\n(pierwiastek dodatni, bo kąt ostry)\n\n**Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\)**\n\n## Sposób 2 - trójkąt prostokątny\n\nWyobraź sobie trójkąt prostokątny, w którym:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przy } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{12}{13}\\]\n\nCzyli: przyległa = \\(12\\), przeciwprostokątna = \\(13\\).\n\nSzukamy brakującej przyprostokątnej \\(a\\) z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[a^2 + 12^2 = 13^2\\]\n\\[a^2 = 169 - 144 = 25\\]\n\\[a = 5\\]\n\nTrójkąt \\(5\\text{-}12\\text{-}13\\) to znana pitagorejska trójka!\n\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{5}{13}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - jedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 1, by wyznaczyć \\(\\sin\\alpha\\) ze znajomości \\(\\cos\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)** - definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do interpretacji geometrycznej.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{13}{12}\\) - sinus nie może być większy od 1! Zamieniono licznik z mianownikiem |\n| B | \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{13}\\) - wyliczono \\(1 - \\dfrac{12}{13} = \\dfrac{1}{13}\\), odejmując kosinus zamiast jego kwadratu |\n| D | \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{25}{169}\\) - to wartość \\(\\sin^2\\alpha\\), a nie \\(\\sin\\alpha\\); zapomniano wyciągnąć pierwiastek |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź D jest szczególnie podstępna - \\(\\dfrac{25}{169}\\) to poprawna wartość \\(\\sin^2\\alpha\\). Zawsze pamiętaj o ostatnim kroku: \\(\\sin\\alpha = \\sqrt{\\sin^2\\alpha}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sinus i cosinus kąta ostrego zawsze należą do przedziału \\((0, 1\\rangle\\). Jeśli wychodzi wartość większa od 1 (jak w odpowiedzi A), od razu wiesz, że coś jest nie tak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójki pitagorejskie warto znać na pamięć - \\(3\\text{-}4\\text{-}5\\), \\(5\\text{-}12\\text{-}13\\), \\(8\\text{-}15\\text{-}17\\) - pozwalają rozwiązać takie zadania w kilka sekund bez rachunków.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1,\\]\n\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{12}{13}\\right)^2 = 1 - \\dfrac{144}{169} = \\dfrac{25}{169}.\\]\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\sin\\alpha > 0\\):\n\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{25}{169}} = \\dfrac{5}{13}.\\]\n\n### Sposób 2 - Trójkąt pitagorejski\nTrójka \\((5, 12, 13)\\): przyprostokątne \\(5\\) i \\(12\\), przeciwprostokątna \\(13\\).\n\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{12}{13}\\) → przyprostokątna przy kącie = 12. Druga przyprostokątna (przeciwległa) = 5.\n\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{13}{12}\\)** - \\(\\sin\\) nie może być \\(> 1\\).\n- **B. \\(\\tfrac{1}{13}\\)** - błąd: \\(1 - \\tfrac{12}{13} = \\tfrac{1}{13}\\), ale to nie jest \\(\\sin\\).\n- **D. \\(\\tfrac{25}{169}\\)** - to \\(\\sin^2\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Pamiętaj trójki pitagorejskie:** \\((3,4,5)\\), \\((5,12,13)\\), \\((8,15,17)\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 13. (1 pkt)<br>Sinus kąta ostrego α jest równy 5<br>4 . Wtedy<br>A.<br>4<br>5<br>cos<br>α<br>B.<br>5<br>1<br>cos<br>α<br>C.<br>25<br>9<br>cos<br>α<br>D.<br>5<br>3<br>cos<br>α</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Trygonometria. Zdający znając wartość</li></ol>\n<p>jednej z funkcji trygonometrycznych,<br>wyznacza wartości pozostałych funkcji tego<br>samego kąta ostrego (6.d).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - jedynka trygonometryczna</h4>\n<p>Wiemy, że \\(\\cos\\alpha = \\dfrac{12}{13}\\) i kąt \\(\\alpha\\) jest ostry, więc \\(\\sin\\alpha &gt; 0\\).</p>\n<p>Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p>Podstawiamy znane \\(\\cos\\alpha\\):<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\left(\\frac{12}{13}\\right)^2 = 1\\]</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\frac{144}{169} = 1\\]</p>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\frac{144}{169} = \\frac{169}{169} - \\frac{144}{169} = \\frac{25}{169}\\]</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\frac{25}{169}} = \\frac{5}{13}\\]</p>\n<p>(pierwiastek dodatni, bo kąt ostry)</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - trójkąt prostokątny</h4>\n<p>Wyobraź sobie trójkąt prostokątny, w którym:<br>\\[\\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna przy } \\alpha}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{12}{13}\\]</p>\n<p>Czyli: przyległa = \\(12\\), przeciwprostokątna = \\(13\\).</p>\n<p>Szukamy brakującej przyprostokątnej \\(a\\) z twierdzenia Pitagorasa:<br>\\[a^2 + 12^2 = 13^2\\]<br>\\[a^2 = 169 - 144 = 25\\]<br>\\[a = 5\\]</p>\n<p>Trójkąt \\(5\\text{-}12\\text{-}13\\) to znana pitagorejska trójka!</p>\n<p>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{5}{13}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong> - jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 1, by wyznaczyć \\(\\sin\\alpha\\) ze znajomości \\(\\cos\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong> - definicja funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{a}{c}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 2 do interpretacji geometrycznej.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującego boku.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{13}{12}\\) - sinus nie może być większy od 1! Zamieniono licznik z mianownikiem |<br>| B | \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{1}{13}\\) - wyliczono \\(1 - \\dfrac{12}{13} = \\dfrac{1}{13}\\), odejmując kosinus zamiast jego kwadratu |<br>| D | \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{25}{169}\\) - to wartość \\(\\sin^2\\alpha\\), a nie \\(\\sin\\alpha\\); zapomniano wyciągnąć pierwiastek |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź D jest szczególnie podstępna - \\(\\dfrac{25}{169}\\) to poprawna wartość \\(\\sin^2\\alpha\\). Zawsze pamiętaj o ostatnim kroku: \\(\\sin\\alpha = \\sqrt{\\sin^2\\alpha}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sinus i cosinus kąta ostrego zawsze należą do przedziału \\((0, 1\\rangle\\). Jeśli wychodzi wartość większa od 1 (jak w odpowiedzi A), od razu wiesz, że coś jest nie tak.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Trójki pitagorejskie warto znać na pamięć - \\(3\\text{-}4\\text{-}5\\), \\(5\\text{-}12\\text{-}13\\), \\(8\\text{-}15\\text{-}17\\) - pozwalają rozwiązać takie zadania w kilka sekund bez rachunków.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna</h5>\n<p>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1,\\]<br>\\[\\sin^2\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{12}{13}\\right)^2 = 1 - \\dfrac{144}{169} = \\dfrac{25}{169}.\\]<br>Ponieważ \\(\\alpha\\) jest kątem ostrym, \\(\\sin\\alpha &gt; 0\\):<br>\\[\\sin\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{25}{169}} = \\dfrac{5}{13}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Trójkąt pitagorejski</h5>\n<p>Trójka \\((5, 12, 13)\\): przyprostokątne \\(5\\) i \\(12\\), przeciwprostokątna \\(13\\).<br>\\(\\cos\\alpha = \\tfrac{12}{13}\\) → przyprostokątna przy kącie = 12. Druga przyprostokątna (przeciwległa) = 5.<br>\\(\\sin\\alpha = \\dfrac{5}{13}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{13}{12}\\)</strong> - \\(\\sin\\) nie może być \\(&gt; 1\\).</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{1}{13}\\)</strong> - błąd: \\(1 - \\tfrac{12}{13} = \\tfrac{1}{13}\\), ale to nie jest \\(\\sin\\).</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{25}{169}\\)</strong> - to \\(\\sin^2\\alpha\\), nie \\(\\sin\\alpha\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj trójki pitagorejskie:</strong> \\((3,4,5)\\), \\((5,12,13)\\), \\((8,15,17)\\).</p>"}]}