{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (1 pkt)\nPunkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek).\nOdcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę .\nα\nZatem\nA.\n30\nα =\n°\nB.\n30\nα <\n°\nC.\n45\nα >\n°\nD.\n45\nα =\n°\n(\n)\nna\n(\n)\nna\n1\nn ≥\n1\n3\n1\n3\n3\nA\nB\nC\nD\nE\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 14. (0-1)`\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający korzysta ze związków\nmiędzy kątem środkowym, kątem wpisanym\ni kątem między styczną a cięciwą okręgu\n(7.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(36^\\circ\\)\n\n## Sposób 1 - Własności trójkątów równoramiennych (krok po kroku)\n\n**Krok 1: Analiza trójkąta BCD**\n\nW trójkącie \\(BCD\\) mamy \\(|BC| = |BD|\\), więc jest to trójkąt **równoramienny z wierzchołkiem przy \\(B\\)** - ramiona \\(BC\\) i \\(BD\\) są równe. Oznacza to, że kąty przy podstawie \\(CD\\) są równe:\n\\[\\angle BCD = \\angle BDC\\]\n\nSkoro \\(\\angle BCD = 72^\\circ\\), to:\n\\[\\angle BDC = 72^\\circ\\]\n\\[\\angle DBC = 180^\\circ - 72^\\circ - 72^\\circ = 36^\\circ\\]\n\n**Krok 2: Kąt przy podstawie trójkąta ABC**\n\nPunkt \\(D\\) leży na podstawie \\(AB\\), więc \\(\\angle DBC\\) to po prostu kąt \\(\\angle ABC\\):\n\\[\\angle ABC = 36^\\circ\\]\n\nPonieważ \\(ABC\\) jest trójkątem równoramiennym z \\(|AC| = |BC|\\), kąty przy podstawie \\(AB\\) są równe:\n\\[\\angle CAB = \\angle CBA = 36^\\circ\\]\n\nKąt przy wierzchołku:\n\\[\\angle ACB = 180^\\circ - 36^\\circ - 36^\\circ = 108^\\circ\\]\n\n**Krok 3: Analiza trójkąta ACD**\n\nKąt \\(\\angle ADC\\) jest suplementarny do \\(\\angle BDC\\):\n\\[\\angle ADC = 180^\\circ - 72^\\circ = 108^\\circ\\]\n\nTrójkąt \\(ACD\\) jest równoramienny, bo \\(|AD| = |CD|\\) - ramiona to \\(AD\\) i \\(CD\\), a wierzchołek przy \\(D\\). Kąty przy podstawie \\(AC\\) są więc równe:\n\\[\\angle CAD = \\angle ACD\\]\n\nSuma kątów trójkąta \\(ACD\\):\n\\[\\angle ACD + \\angle CAD + \\angle ADC = 180^\\circ\\]\n\\[2 \\cdot \\angle ACD + 108^\\circ = 180^\\circ\\]\n\\[2 \\cdot \\angle ACD = 72^\\circ\\]\n\\[\\boxed{\\angle ACD = 36^\\circ}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(\\angle ACB = \\angle ACD + \\angle DCB = 36^\\circ + 72^\\circ = 108^\\circ\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Układ równań na kąty (algebraicznie)\n\nOznaczmy \\(\\angle ACD = x\\). Ustawiamy równania na podstawie wszystkich warunków.\n\n**Z warunku \\(|AD| = |CD|\\)** (trójkąt ACD równoramienny, wierzchołek przy D):\n\\[\\angle CAD = \\angle ACD = x \\implies \\angle ADC = 180^\\circ - 2x\\]\n\n**Stąd kąt BDC:**\n\\[\\angle BDC = 180^\\circ - \\angle ADC = 2x\\]\n\n**Z warunku \\(|BC| = |BD|\\)** (trójkąt BCD równoramienny):\nBok \\(BC\\) leży naprzeciwko kąta \\(\\angle BDC = 2x\\), bok \\(BD\\) naprzeciwko \\(\\angle BCD = 72^\\circ\\). Skoro \\(|BC| = |BD|\\), to:\n\\[2x = 72^\\circ \\implies x = 36^\\circ\\]\n\n**Weryfikacja spójności** - kąt \\(\\angle DBC = 180^\\circ - 72^\\circ - 72^\\circ = 36^\\circ\\), a \\(\\angle CAD = 36^\\circ = \\angle CAB\\), więc \\(\\angle CAB = \\angle CBA = 36^\\circ\\), co daje \\(|AC| = |BC|\\) ✓\n\n\\[\\boxed{\\angle ACD = 36^\\circ}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - twierdzenie o sumie kątów trójkąta oraz własność trójkąta równoramiennego:\n\n> W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe - kluczowa własność użyta trzykrotnie (dla trójkątów \\(ABC\\), \\(BCD\\) i \\(ACD\\)).\n> \\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180^\\circ\\]\n\nW tym zadaniu nie używamy bardziej zaawansowanych wzorów - wystarczą definicja i własności trójkąta równoramiennego oraz suma kątów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A: \\(38^\\circ\\) | Błędne zaokrąglenie lub gubienie jednego z warunków zadania (np. nieuwzględnienie że \\(\\angle BDC = \\angle BCD\\)) |\n| C: \\(42^\\circ\\) | Przyjęcie \\(\\angle BDC = 180^\\circ - 72^\\circ = 108^\\circ\\) zamiast \\(72^\\circ\\) - błędne przypisanie kąta |\n| D: \\(40^\\circ\\) | Mylenie kątów \\(\\angle ACD\\) i \\(\\angle ACB\\); lub błędne założenie \\(\\angle DBC = 32^\\circ\\) i szacowanie reszty intuicyjnie |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(|BC| = |BD|\\) to NIE TO SAMO co \\(|BC| = |CD|\\). Koniecznie sprawdź, które boki są równe - to decyduje o tym, przy którym wierzchołku jest wierzchołek trójkąta równoramiennego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle BDC = \\angle BCD = 72^\\circ\\) bo \\(|BC| = |BD|\\), a obydwa te boki wychodzą z \\(B\\) - kąty przy podstawie (przy \\(C\\) i \\(D\\)) są równe. Nie mylić z sytuacją, gdy równe byłyby np. \\(|BC|\\) i \\(|CD|\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** To zadanie kryje w sobie słynny **trójkąt złoty** (36°-72°-72°) i **gnomon złoty** (36°-36°-108°), powiązane ze złotym podziałem. Kąt \\(36^\\circ\\) pojawia się wielokrotnie nieprzypadkowo - taka symetria kątów jest cechą charakterystyczną regularnego pięciokąta.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Analiza trójkątów równoramiennych\nOznaczamy: \\(\\sphericalangle CAB = \\sphericalangle CBA = \\beta\\) (trójkąt \\(ABC\\) równoramienny, \\(|AC|=|BC|\\)).\n\n**Trójkąt \\(BCD\\):** \\(|BC|=|BD|\\), więc \\(\\sphericalangle BCD = \\sphericalangle BDC = 72^\\circ\\).\nStąd \\(\\sphericalangle CBD = 180^\\circ - 144^\\circ = 36^\\circ\\), czyli \\(\\beta = 36^\\circ\\).\n\n**Trójkąt \\(ACD\\):** \\(|AD|=|CD|\\), więc \\(\\sphericalangle DAC = \\sphericalangle DCA\\). \\(\\sphericalangle DAC = \\beta = 36^\\circ\\).\nZatem \\(\\sphericalangle ACD = 36^\\circ\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie przez sumę kątów\n\\(\\sphericalangle ACB = \\sphericalangle ACD + \\sphericalangle DCB = 36^\\circ + 72^\\circ = 108^\\circ\\).\nSuma kątów w \\(ABC\\): \\(2\\cdot 36^\\circ + 108^\\circ = 180^\\circ\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C, D.** Wyniki błędnego zastosowania twierdzeń o trójkątach równoramiennych.\n\n**Kluczowa obserwacja:** każdy z trzech trójkątów \\(ABC\\), \\(ACD\\), \\(BCD\\) jest równoramienny - daje to 3 równe kąty do wykorzystania.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 14. (1 pkt)<br>Punkty D i E leżą na okręgu opisanym na trójkącie równobocznym ABC (zobacz rysunek).<br>Odcinek CD jest średnicą tego okręgu. Kąt wpisany DEB ma miarę .<br>α<br>Zatem<br>A.<br>30<br>α =<br>°<br>B.<br>30<br>α &lt;<br>°<br>C.<br>45<br>α &gt;<br>°<br>D.<br>45<br>α =<br>°<br>(<br>)<br>na<br>(<br>)<br>na<br>1<br>n ≥<br>1<br>3<br>1<br>3<br>3<br>A<br>B<br>C<br>D<br>E</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)`<br>IV. Użycie i tworzenie<br>strategii.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający korzysta ze związków</li></ol>\n<p>między kątem środkowym, kątem wpisanym<br>i kątem między styczną a cięciwą okręgu<br>(7.a).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(36^\\circ\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Własności trójkątów równoramiennych (krok po kroku)</h4>\n<p><strong>Krok 1: Analiza trójkąta BCD</strong></p>\n<p>W trójkącie \\(BCD\\) mamy \\(|BC| = |BD|\\), więc jest to trójkąt <strong>równoramienny z wierzchołkiem przy \\(B\\)</strong> - ramiona \\(BC\\) i \\(BD\\) są równe. Oznacza to, że kąty przy podstawie \\(CD\\) są równe:<br>\\[\\angle BCD = \\angle BDC\\]</p>\n<p>Skoro \\(\\angle BCD = 72^\\circ\\), to:<br>\\[\\angle BDC = 72^\\circ\\]<br>\\[\\angle DBC = 180^\\circ - 72^\\circ - 72^\\circ = 36^\\circ\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Kąt przy podstawie trójkąta ABC</strong></p>\n<p>Punkt \\(D\\) leży na podstawie \\(AB\\), więc \\(\\angle DBC\\) to po prostu kąt \\(\\angle ABC\\):<br>\\[\\angle ABC = 36^\\circ\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(ABC\\) jest trójkątem równoramiennym z \\(|AC| = |BC|\\), kąty przy podstawie \\(AB\\) są równe:<br>\\[\\angle CAB = \\angle CBA = 36^\\circ\\]</p>\n<p>Kąt przy wierzchołku:<br>\\[\\angle ACB = 180^\\circ - 36^\\circ - 36^\\circ = 108^\\circ\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Analiza trójkąta ACD</strong></p>\n<p>Kąt \\(\\angle ADC\\) jest suplementarny do \\(\\angle BDC\\):<br>\\[\\angle ADC = 180^\\circ - 72^\\circ = 108^\\circ\\]</p>\n<p>Trójkąt \\(ACD\\) jest równoramienny, bo \\(|AD| = |CD|\\) - ramiona to \\(AD\\) i \\(CD\\), a wierzchołek przy \\(D\\). Kąty przy podstawie \\(AC\\) są więc równe:<br>\\[\\angle CAD = \\angle ACD\\]</p>\n<p>Suma kątów trójkąta \\(ACD\\):<br>\\[\\angle ACD + \\angle CAD + \\angle ADC = 180^\\circ\\]<br>\\[2 \\cdot \\angle ACD + 108^\\circ = 180^\\circ\\]<br>\\[2 \\cdot \\angle ACD = 72^\\circ\\]<br>\\[\\boxed{\\angle ACD = 36^\\circ}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> \\(\\angle ACB = \\angle ACD + \\angle DCB = 36^\\circ + 72^\\circ = 108^\\circ\\) ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Układ równań na kąty (algebraicznie)</h4>\n<p>Oznaczmy \\(\\angle ACD = x\\). Ustawiamy równania na podstawie wszystkich warunków.</p>\n<p><strong>Z warunku \\(|AD| = |CD|\\)</strong> (trójkąt ACD równoramienny, wierzchołek przy D):<br>\\[\\angle CAD = \\angle ACD = x \\implies \\angle ADC = 180^\\circ - 2x\\]</p>\n<p><strong>Stąd kąt BDC:</strong><br>\\[\\angle BDC = 180^\\circ - \\angle ADC = 2x\\]</p>\n<p><strong>Z warunku \\(|BC| = |BD|\\)</strong> (trójkąt BCD równoramienny):<br>Bok \\(BC\\) leży naprzeciwko kąta \\(\\angle BDC = 2x\\), bok \\(BD\\) naprzeciwko \\(\\angle BCD = 72^\\circ\\). Skoro \\(|BC| = |BD|\\), to:<br>\\[2x = 72^\\circ \\implies x = 36^\\circ\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja spójności</strong> - kąt \\(\\angle DBC = 180^\\circ - 72^\\circ - 72^\\circ = 36^\\circ\\), a \\(\\angle CAD = 36^\\circ = \\angle CAB\\), więc \\(\\angle CAB = \\angle CBA = 36^\\circ\\), co daje \\(|AC| = |BC|\\) ✓</p>\n<p>\\[\\boxed{\\angle ACD = 36^\\circ}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)</strong> - twierdzenie o sumie kątów trójkąta oraz własność trójkąta równoramiennego:</p>\n<blockquote>W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe - kluczowa własność użyta trzykrotnie (dla trójkątów \\(ABC\\), \\(BCD\\) i \\(ACD\\)).<br>\\[\\alpha + \\beta + \\gamma = 180^\\circ\\]</blockquote>\n<p>W tym zadaniu nie używamy bardziej zaawansowanych wzorów - wystarczą definicja i własności trójkąta równoramiennego oraz suma kątów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A: \\(38^\\circ\\) | Błędne zaokrąglenie lub gubienie jednego z warunków zadania (np. nieuwzględnienie że \\(\\angle BDC = \\angle BCD\\)) |<br>| C: \\(42^\\circ\\) | Przyjęcie \\(\\angle BDC = 180^\\circ - 72^\\circ = 108^\\circ\\) zamiast \\(72^\\circ\\) - błędne przypisanie kąta |<br>| D: \\(40^\\circ\\) | Mylenie kątów \\(\\angle ACD\\) i \\(\\angle ACB\\); lub błędne założenie \\(\\angle DBC = 32^\\circ\\) i szacowanie reszty intuicyjnie |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek \\(|BC| = |BD|\\) to NIE TO SAMO co \\(|BC| = |CD|\\). Koniecznie sprawdź, które boki są równe - to decyduje o tym, przy którym wierzchołku jest wierzchołek trójkąta równoramiennego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(\\angle BDC = \\angle BCD = 72^\\circ\\) bo \\(|BC| = |BD|\\), a obydwa te boki wychodzą z \\(B\\) - kąty przy podstawie (przy \\(C\\) i \\(D\\)) są równe. Nie mylić z sytuacją, gdy równe byłyby np. \\(|BC|\\) i \\(|CD|\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> To zadanie kryje w sobie słynny <strong>trójkąt złoty</strong> (36°-72°-72°) i <strong>gnomon złoty</strong> (36°-36°-108°), powiązane ze złotym podziałem. Kąt \\(36^\\circ\\) pojawia się wielokrotnie nieprzypadkowo - taka symetria kątów jest cechą charakterystyczną regularnego pięciokąta.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza trójkątów równoramiennych</h5>\n<p>Oznaczamy: \\(\\sphericalangle CAB = \\sphericalangle CBA = \\beta\\) (trójkąt \\(ABC\\) równoramienny, \\(|AC|=|BC|\\)).</p>\n<p><strong>Trójkąt \\(BCD\\):</strong> \\(|BC|=|BD|\\), więc \\(\\sphericalangle BCD = \\sphericalangle BDC = 72^\\circ\\).<br>Stąd \\(\\sphericalangle CBD = 180^\\circ - 144^\\circ = 36^\\circ\\), czyli \\(\\beta = 36^\\circ\\).</p>\n<p><strong>Trójkąt \\(ACD\\):</strong> \\(|AD|=|CD|\\), więc \\(\\sphericalangle DAC = \\sphericalangle DCA\\). \\(\\sphericalangle DAC = \\beta = 36^\\circ\\).<br>Zatem \\(\\sphericalangle ACD = 36^\\circ\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie przez sumę kątów</h5>\n<p>\\(\\sphericalangle ACB = \\sphericalangle ACD + \\sphericalangle DCB = 36^\\circ + 72^\\circ = 108^\\circ\\).<br>Suma kątów w \\(ABC\\): \\(2\\cdot 36^\\circ + 108^\\circ = 180^\\circ\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, C, D.</strong> Wyniki błędnego zastosowania twierdzeń o trójkątach równoramiennych.</li></ul>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> każdy z trzech trójkątów \\(ABC\\), \\(ACD\\), \\(BCD\\) jest równoramienny - daje to 3 równe kąty do wykorzystania.</p>"}]}