{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (1 pkt)\nDane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku\nw punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów\nw punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).\nWtedy\nA.\n6\nOK =\nB.\n8\nOK =\nC.\n10\nOK =\nD.\n12\nOK =","answer":"C","answer_text":"Zadanie 15. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n7. Planimetria. Zdający wykorzystuje\nwłasności figur podobnych w zadaniach,\nw tym umieszczonych w kontekście\npraktycznym (7.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - promień równa się \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - Odległość środka od stycznych\n\nOkrąg o środku \\(S = (a, 5)\\) i promieniu \\(r\\) jest **styczny** do dwóch prostych. Warunek styczności to: **odległość środka od prostej = promień**.\n\n**Krok 1: Styczna do prostej \\(y = 2\\)**\n\nOdległość punktu \\(S = (a, 5)\\) od poziomej prostej \\(y = 2\\):\n\\[d_1 = |5 - 2| = 3\\]\n\nSkoro okrąg jest styczny do tej prostej:\n\\[r = 3\\]\n\n**Krok 2: Weryfikacja ze styczną do osi \\(Oy\\)**\n\nOś \\(Oy\\) ma równanie \\(x = 0\\). Odległość środka \\(S = (a, 5)\\) od osi \\(Oy\\):\n\\[d_2 = |a - 0| = |a|\\]\n\nWarunek styczności: \\(|a| = r = 3\\), więc \\(a = 3\\) lub \\(a = -3\\).\n\nOba są poprawne geometrycznie - mamy dwa symetryczne okręgi, ale promień w obu przypadkach wynosi \\(\\mathbf{r = 3}\\).\n\n## Sposób 2 - Układ równań z definicji\n\nZapisujemy dwa warunki styczności jako układ:\n\n\\[\\begin{cases} |a| = r & \\text{(styczna do osi } Oy\\text{)} \\\\ |5 - 2| = r & \\text{(styczna do prostej } y = 2\\text{)} \\end{cases}\\]\n\nZ drugiego równania wprost:\n\\[r = |3| = 3\\]\n\nPodstawiamy do pierwszego:\n\\[|a| = 3 \\implies a = 3 \\text{ lub } a = -3\\]\n\nWynik jednoznaczny: \\(\\boxed{r = 3}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - odległość punktu od prostej:\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru:\n- Prosta \\(y = 2\\) w postaci ogólnej: \\(0 \\cdot x + 1 \\cdot y - 2 = 0\\), więc \\(d = \\frac{|5 - 2|}{\\sqrt{1}} = 3\\)\n- Oś \\(Oy\\): \\(x = 0\\), czyli \\(1 \\cdot x + 0 \\cdot y + 0 = 0\\), więc \\(d = \\frac{|a|}{\\sqrt{1}} = |a|\\)\n\nDla osi \\(Oy\\) i poziomej prostej wzór upraszcza się do odczytu współrzędnych, ale formalnie pochodzi stąd.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| B. \\(5\\) | Uczeń bierze wprost współrzędną \\(y\\) środka, czyli \\(5\\), zamiast odległości od prostej \\(y = 2\\) |\n| C. \\(2\\) | Uczeń bierze wartość z równania prostej \\(y = 2\\), zamiast liczyć odległość \\(|5-2|\\) |\n| D. \\(4\\) | Błędne obliczenie: \\(5 - 2 = 4\\) (błąd arytmetyczny) lub pomylenie, że środek jest w \\(y=6\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić **odległości** od prostej z **współrzędną** środka! Odległość środka \\((a, 5)\\) od prostej \\(y = 2\\) to \\(|5 - 2| = 3\\), nie \\(5\\) ani \\(2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o promień, nie o wartość \\(a\\). Uczniowie często gubią się szukając \\(a\\) i zapominają, że o to właśnie nie pytano.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Okrąg styczny do osi \\(Oy\\) ma środek w odległości \\(r\\) od tej osi - to znaczy \\(|a| = r\\), a nie \\(a = r\\). Środek może być po lewej stronie osi (\\(a < 0\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odległość od prostej \\(y = 2\\)\nOdległość środka \\(S = (a, 5)\\) od prostej \\(y = 2\\) to \\(|5 - 2| = 3\\).\nOkrąg styczny do prostej ⟺ promień = odległość od prostej.\nZatem \\(r = 3\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie stycznej do osi \\(Oy\\)\nOdległość \\(S = (a, 5)\\) od osi \\(Oy\\) (tzn. prostej \\(x = 0\\)) to \\(|a|\\).\nStyczność do \\(Oy\\) oznacza \\(|a| = r = 3\\), więc \\(a = \\pm 3\\) (spójne - istnieje taki okrąg).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(5\\)** - to współrzędna \\(y\\) środka, nie promień.\n- **C. \\(2\\)** - to wartość \\(y\\) prostej, nie odległość od niej.\n- **D. \\(4\\)** - błąd rachunkowy.\n\n**Klucz:** styczność okręgu do prostej ⟺ odległość środka od prostej = promień.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 15. (1 pkt)<br>Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie O i promieniu 5 oraz okrąg o środku<br>w punkcie P i promieniu 3. Odcinek OP ma długość 16. Prosta AB jest styczna do tych okręgów<br>w punktach A i B. Ponadto prosta AB przecina odcinek OP w punkcie K (zobacz rysunek).<br>Wtedy<br>A.<br>6<br>OK =<br>B.<br>8<br>OK =<br>C.<br>10<br>OK =<br>D.<br>12<br>OK =</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Planimetria. Zdający wykorzystuje</li></ol>\n<p>własności figur podobnych w zadaniach,<br>w tym umieszczonych w kontekście<br>praktycznym (7.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - promień równa się \\(3\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odległość środka od stycznych</h4>\n<p>Okrąg o środku \\(S = (a, 5)\\) i promieniu \\(r\\) jest <strong>styczny</strong> do dwóch prostych. Warunek styczności to: <strong>odległość środka od prostej = promień</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 1: Styczna do prostej \\(y = 2\\)</strong></p>\n<p>Odległość punktu \\(S = (a, 5)\\) od poziomej prostej \\(y = 2\\):<br>\\[d_1 = |5 - 2| = 3\\]</p>\n<p>Skoro okrąg jest styczny do tej prostej:<br>\\[r = 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Weryfikacja ze styczną do osi \\(Oy\\)</strong></p>\n<p>Oś \\(Oy\\) ma równanie \\(x = 0\\). Odległość środka \\(S = (a, 5)\\) od osi \\(Oy\\):<br>\\[d_2 = |a - 0| = |a|\\]</p>\n<p>Warunek styczności: \\(|a| = r = 3\\), więc \\(a = 3\\) lub \\(a = -3\\).</p>\n<p>Oba są poprawne geometrycznie - mamy dwa symetryczne okręgi, ale promień w obu przypadkach wynosi \\(\\mathbf{r = 3}\\).</p>\n<h4>Sposób 2 - Układ równań z definicji</h4>\n<p>Zapisujemy dwa warunki styczności jako układ:</p>\n<p>\\[\\begin{cases} |a| = r &amp; \\text{(styczna do osi } Oy\\text{)} \\\\ |5 - 2| = r &amp; \\text{(styczna do prostej } y = 2\\text{)} \\end{cases}\\]</p>\n<p>Z drugiego równania wprost:<br>\\[r = |3| = 3\\]</p>\n<p>Podstawiamy do pierwszego:<br>\\[|a| = 3 \\implies a = 3 \\text{ lub } a = -3\\]</p>\n<p>Wynik jednoznaczny: \\(\\boxed{r = 3}\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - odległość punktu od prostej:<br>\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru:</p>\n<ul><li>Prosta \\(y = 2\\) w postaci ogólnej: \\(0 \\cdot x + 1 \\cdot y - 2 = 0\\), więc \\(d = \\frac{|5 - 2|}{\\sqrt{1}} = 3\\)</li><li>Oś \\(Oy\\): \\(x = 0\\), czyli \\(1 \\cdot x + 0 \\cdot y + 0 = 0\\), więc \\(d = \\frac{|a|}{\\sqrt{1}} = |a|\\)</li></ul>\n<p>Dla osi \\(Oy\\) i poziomej prostej wzór upraszcza się do odczytu współrzędnych, ale formalnie pochodzi stąd.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| B. \\(5\\) | Uczeń bierze wprost współrzędną \\(y\\) środka, czyli \\(5\\), zamiast odległości od prostej \\(y = 2\\) |<br>| C. \\(2\\) | Uczeń bierze wartość z równania prostej \\(y = 2\\), zamiast liczyć odległość \\(|5-2|\\) |<br>| D. \\(4\\) | Błędne obliczenie: \\(5 - 2 = 4\\) (błąd arytmetyczny) lub pomylenie, że środek jest w \\(y=6\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić <strong>odległości</strong> od prostej z <strong>współrzędną</strong> środka! Odległość środka \\((a, 5)\\) od prostej \\(y = 2\\) to \\(|5 - 2| = 3\\), nie \\(5\\) ani \\(2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie pyta o promień, nie o wartość \\(a\\). Uczniowie często gubią się szukając \\(a\\) i zapominają, że o to właśnie nie pytano.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Okrąg styczny do osi \\(Oy\\) ma środek w odległości \\(r\\) od tej osi - to znaczy \\(|a| = r\\), a nie \\(a = r\\). Środek może być po lewej stronie osi (\\(a &lt; 0\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odległość od prostej \\(y = 2\\)</h5>\n<p>Odległość środka \\(S = (a, 5)\\) od prostej \\(y = 2\\) to \\(|5 - 2| = 3\\).<br>Okrąg styczny do prostej ⟺ promień = odległość od prostej.<br>Zatem \\(r = 3\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie stycznej do osi \\(Oy\\)</h5>\n<p>Odległość \\(S = (a, 5)\\) od osi \\(Oy\\) (tzn. prostej \\(x = 0\\)) to \\(|a|\\).<br>Styczność do \\(Oy\\) oznacza \\(|a| = r = 3\\), więc \\(a = \\pm 3\\) (spójne - istnieje taki okrąg).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(5\\)</strong> - to współrzędna \\(y\\) środka, nie promień.</li><li><strong>C. \\(2\\)</strong> - to wartość \\(y\\) prostej, nie odległość od niej.</li><li><strong>D. \\(4\\)</strong> - błąd rachunkowy.</li></ul>\n<p><strong>Klucz:</strong> styczność okręgu do prostej ⟺ odległość środka od prostej = promień.</p>"}]}