{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (1 pkt)\nProste o równaniach\n(2\n2)\n2019\ny\nm\nx\noraz\n(3\n3)\n2019\ny\nm\nx\nsą równoległe, gdy\nA.\n1\nm = -\nB.\n0\nm =\nC.\n1\nm =\nD.\n5\nm =","answer":"D","answer_text":"Zadanie 17. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: A (\\(m = 5\\))\n\n## Sposób 1 - Warunek równoległości prostych (równość współczynników kierunkowych)\n\nObie proste są dane w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\).\n\n**Wypisujemy współczynniki kierunkowe:**\n- Prosta 1: \\(y = (4m+1)x - 19\\), współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 4m+1\\)\n- Prosta 2: \\(y = (5m-4)x + 20\\), współczynnik kierunkowy \\(a_2 = 5m-4\\)\n\n**Warunek równoległości:** dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** i **różne wyrazy wolne**.\n\nPrzyrównujemy współczynniki:\n\\[4m + 1 = 5m - 4\\]\n\\[1 + 4 = 5m - 4m\\]\n\\[\\boxed{m = 5}\\]\n\n**Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame** (bo tożsame proste to nie \"równoległe\"!):\n- Wyraz wolny prostej 1: \\(-19\\)\n- Wyraz wolny prostej 2: \\(+20\\)\n\nSkoro \\(-19 \\neq 20\\), proste są różne - **warunek spełniony**, proste są równoległe.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nPodstawiamy \\(m = 5\\) i sprawdzamy, jak wyglądają proste:\n\n\\[a_1 = 4 \\cdot 5 + 1 = 21\\]\n\\[a_2 = 5 \\cdot 5 - 4 = 21\\]\n\nObie proste mają współczynnik kierunkowy \\(21\\), czyli:\n- Prosta 1: \\(y = 21x - 19\\)\n- Prosta 2: \\(y = 21x + 20\\)\n\nJednakowe nachylenie, różne wyrazy wolne - proste są **równoległe**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych w postaci kierunkowej:\n\\[a_1 = a_2\\]\nDwie proste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a_1 = a_2\\) oraz \\(b_1 \\neq b_2\\). Użyliśmy tego wprost w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **B** \\(\\left(m = -\\frac{1}{4}\\right)\\) | Uczeń przyrównuje jeden współczynnik do zera: \\(4m + 1 = 0 \\Rightarrow m = -\\frac{1}{4}\\). To daje prostą poziomą, ale drugi współczynnik \\(5 \\cdot (-\\frac{1}{4}) - 4 = -\\frac{21}{4} \\neq 0\\), więc proste **nie są równoległe**. |\n| **C** \\(\\left(m = \\frac{5}{4}\\right)\\) | Prawdopodobnie błąd przy przenoszeniu: zamiast \\(4m + 1 = 5m - 4\\) uczeń rozwiązuje np. \\(4m = 5\\), gubiąc stałe po obu stronach. |\n| **D** \\((m = -5)\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: \\(4m + 1 = 5m - 4 \\Rightarrow 1 - 4 = 5m - 4m \\Rightarrow m = -3\\) (lub inny błąd arytmetyczny). Żadna naturalna ścieżka nie daje wprost \\(-5\\), ale to typowy wynik przy pomyleniu kolejności odejmowania. |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy przyrównać współczynniki kierunkowe! Trzeba sprawdzić, czy proste nie są **tożsame** (te same współczynniki kierunkowe I ten sam wyraz wolny). Tożsame proste nie są \"równoległe\" - są jedną prostą.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z warunkiem prostopadłości (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)) - to najczęstszy błąd przy tego typu zadaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów z \\(m\\) na jedną stronę - uważaj na znaki! Krok \\(4m + 1 = 5m - 4\\) łatwo przekształcić błędnie jako \\(4m - 5m = -4 - 1\\), ale wynik \\(-m = -5\\) daje \\(m = 5\\), co jest poprawne. Błąd pojawia się, gdy ktoś pisze \\(4m - 5m = -4 + 1\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych\nProste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe ⟺ \\(a_1 = a_2\\) (i \\(b_1 \\ne b_2\\), inaczej byłyby tą samą prostą).\n\n\\[4m + 1 = 5m - 4,\\]\n\\[1 + 4 = 5m - 4m,\\]\n\\[m = 5.\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie dla \\(m = 5\\)\n\\(a_1 = 4\\cdot 5 + 1 = 21\\), \\(a_2 = 5\\cdot 5 - 4 = 21\\) ✓. Wyrazy wolne \\(-19 \\ne 20\\), więc proste są różne i równoległe.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-\\tfrac{1}{4}\\)**: \\(a_1 = 0\\), \\(a_2 = -\\tfrac{21}{4}\\) - nierówne.\n- **C. \\(\\tfrac{5}{4}\\)**: \\(a_1 = 6\\), \\(a_2 = -\\tfrac{9}{4}\\) - nierówne.\n- **D. \\(-5\\)**: \\(a_1 = -19\\), \\(a_2 = -29\\) - nierówne.\n\n**Pamiętaj:** równoległość ⟺ ten sam współczynnik kierunkowy.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 17. (1 pkt)<br>Proste o równaniach<br>(2<br>2)<br>2019<br>y<br>m<br>x<br>oraz<br>(3<br>3)<br>2019<br>y<br>m<br>x<br>są równoległe, gdy<br>A.<br>1<br>m = -<br>B.<br>0<br>m =<br>C.<br>1<br>m =<br>D.<br>5<br>m =</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 17. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający bada równoległość i prostopadłość<br>prostych na podstawie ich równań<br>kierunkowych (8.c).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A (\\(m = 5\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Warunek równoległości prostych (równość współczynników kierunkowych)</h4>\n<p>Obie proste są dane w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\).</p>\n<p><strong>Wypisujemy współczynniki kierunkowe:</strong></p>\n<ul><li>Prosta 1: \\(y = (4m+1)x - 19\\), współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 4m+1\\)</li><li>Prosta 2: \\(y = (5m-4)x + 20\\), współczynnik kierunkowy \\(a_2 = 5m-4\\)</li></ul>\n<p><strong>Warunek równoległości:</strong> dwie proste są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy mają <strong>równe współczynniki kierunkowe</strong> i <strong>różne wyrazy wolne</strong>.</p>\n<p>Przyrównujemy współczynniki:<br>\\[4m + 1 = 5m - 4\\]<br>\\[1 + 4 = 5m - 4m\\]<br>\\[\\boxed{m = 5}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzamy, czy proste nie są tożsame</strong> (bo tożsame proste to nie &quot;równoległe&quot;!):</p>\n<ul><li>Wyraz wolny prostej 1: \\(-19\\)</li><li>Wyraz wolny prostej 2: \\(+20\\)</li></ul>\n<p>Skoro \\(-19 \\neq 20\\), proste są różne - <strong>warunek spełniony</strong>, proste są równoległe.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Podstawiamy \\(m = 5\\) i sprawdzamy, jak wyglądają proste:</p>\n<p>\\[a_1 = 4 \\cdot 5 + 1 = 21\\]<br>\\[a_2 = 5 \\cdot 5 - 4 = 21\\]</p>\n<p>Obie proste mają współczynnik kierunkowy \\(21\\), czyli:</p>\n<ul><li>Prosta 1: \\(y = 21x - 19\\)</li><li>Prosta 2: \\(y = 21x + 20\\)</li></ul>\n<p>Jednakowe nachylenie, różne wyrazy wolne - proste są <strong>równoległe</strong>. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek równoległości prostych w postaci kierunkowej:<br>\\[a_1 = a_2\\]<br>Dwie proste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy \\(a_1 = a_2\\) oraz \\(b_1 \\neq b_2\\). Użyliśmy tego wprost w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>B</strong> \\(\\left(m = -\\frac{1}{4}\\right)\\) | Uczeń przyrównuje jeden współczynnik do zera: \\(4m + 1 = 0 \\Rightarrow m = -\\frac{1}{4}\\). To daje prostą poziomą, ale drugi współczynnik \\(5 \\cdot (-\\frac{1}{4}) - 4 = -\\frac{21}{4} \\neq 0\\), więc proste <strong>nie są równoległe</strong>. |<br>| <strong>C</strong> \\(\\left(m = \\frac{5}{4}\\right)\\) | Prawdopodobnie błąd przy przenoszeniu: zamiast \\(4m + 1 = 5m - 4\\) uczeń rozwiązuje np. \\(4m = 5\\), gubiąc stałe po obu stronach. |<br>| <strong>D</strong> \\((m = -5)\\) | Błąd znaku przy przenoszeniu: \\(4m + 1 = 5m - 4 \\Rightarrow 1 - 4 = 5m - 4m \\Rightarrow m = -3\\) (lub inny błąd arytmetyczny). Żadna naturalna ścieżka nie daje wprost \\(-5\\), ale to typowy wynik przy pomyleniu kolejności odejmowania. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wystarczy przyrównać współczynniki kierunkowe! Trzeba sprawdzić, czy proste nie są <strong>tożsame</strong> (te same współczynniki kierunkowe I ten sam wyraz wolny). Tożsame proste nie są &quot;równoległe&quot; - są jedną prostą.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z warunkiem prostopadłości (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)) - to najczęstszy błąd przy tego typu zadaniach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy przenoszeniu wyrazów z \\(m\\) na jedną stronę - uważaj na znaki! Krok \\(4m + 1 = 5m - 4\\) łatwo przekształcić błędnie jako \\(4m - 5m = -4 - 1\\), ale wynik \\(-m = -5\\) daje \\(m = 5\\), co jest poprawne. Błąd pojawia się, gdy ktoś pisze \\(4m - 5m = -4 + 1\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych</h5>\n<p>Proste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są równoległe ⟺ \\(a_1 = a_2\\) (i \\(b_1 \\ne b_2\\), inaczej byłyby tą samą prostą).</p>\n<p>\\[4m + 1 = 5m - 4,\\]<br>\\[1 + 4 = 5m - 4m,\\]<br>\\[m = 5.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie dla \\(m = 5\\)</h5>\n<p>\\(a_1 = 4\\cdot 5 + 1 = 21\\), \\(a_2 = 5\\cdot 5 - 4 = 21\\) ✓. Wyrazy wolne \\(-19 \\ne 20\\), więc proste są różne i równoległe.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(-\\tfrac{1}{4}\\)</strong>: \\(a_1 = 0\\), \\(a_2 = -\\tfrac{21}{4}\\) - nierówne.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{5}{4}\\)</strong>: \\(a_1 = 6\\), \\(a_2 = -\\tfrac{9}{4}\\) - nierówne.</li><li><strong>D. \\(-5\\)</strong>: \\(a_1 = -19\\), \\(a_2 = -29\\) - nierówne.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> równoległość ⟺ ten sam współczynnik kierunkowy.</p>"}]}