{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (1 pkt)\nProsta o równaniu\nb\nax\ny\njest prostopadła do prostej o równaniu\n4\n1\ny\nx\n+ i przechodzi\nprzez punkt\n(\n)\n1\n2 , 0\nP =\n, gdy\nA.\n4\na = -\ni\n2\nb\nB.\n1\n4\na =\ni\n1\n8\nb = -\nC.\n4\na = - i\n2\nb\nD.\n1\n4\na =\ni\n1\n2\nb =\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 18. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający bada równoległość i prostopadłość\nprostych na podstawie ich równań\nkierunkowych (8.c).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(L = (80, 72)\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na środek odcinka (wyznaczenie drugiego końca)\n\nZnamy wzór na środek odcinka \\(KL\\):\n\\[S = \\left(\\frac{x_K + x_L}{2},\\ \\frac{y_K + y_L}{2}\\right)\\]\n\nPodstawiamy dane: \\(S = (40, 40)\\), \\(K = (0, 8)\\).\n\n**Współrzędna \\(x\\):**\n\\[\\frac{0 + x_L}{2} = 40\\]\n\\[x_L = 80\\]\n\n**Współrzędna \\(y\\):**\n\\[\\frac{8 + y_L}{2} = 40\\]\n\\[8 + y_L = 80\\]\n\\[y_L = 72\\]\n\n**Zatem \\(L = (80, 72)\\).**\n\n## Sposób 2 - Wektor (przesunięcie od K przez S do L)\n\nŚrodek \\(S\\) leży w połowie drogi od \\(K\\) do \\(L\\), więc wektor \\(\\vec{KS}\\) jest taki sam jak \\(\\vec{SL}\\).\n\nObliczamy \\(\\vec{KS}\\):\n\\[\\vec{KS} = S - K = (40 - 0,\\ 40 - 8) = (40,\\ 32)\\]\n\nPunkt \\(L\\) jest przesunięciem \\(S\\) o ten sam wektor:\n\\[L = S + \\vec{KS} = (40 + 40,\\ 40 + 32) = (80,\\ 72)\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(L = (80, 72)\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na środek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych \\(L\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((20, 24)\\) | Podzielono współrzędne \\(S\\) przez 2 zamiast wyliczyć \\(x_L = 2x_S - x_K\\). Pomylono środek z punktem końcowym. |\n| B \\((-80, -72)\\) | Odjęto \\(S - K\\) od punktu \\((0,0)\\) zamiast dodać wektor do \\(S\\). Błędny kierunek - wzięto punkt symetrycznie do \\(L\\) względem początku układu. |\n| C \\((-40, -24)\\) | Obliczono \\(K - S\\) zamiast \\(2S - K\\), czyli symetryczny do \\(K\\) względem \\(S\\) punkt pominął dwukrotność. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na środek odcinka to \\(x_S = \\frac{x_K + x_L}{2}\\) - żeby wyznaczyć \\(x_L\\), mnożymy obie strony przez 2 i odejmujemy \\(x_K\\): \\(x_L = 2x_S - x_K\\). Łatwo zapomnieć o pomnożeniu przez 2!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl kierunku - szukamy \\(L\\), który leży PO DRUGIEJ STRONIE \\(S\\) niż \\(K\\). Współrzędne \\(L\\) muszą być większe niż \\(S\\), bo \\(K\\) jest mniejsze od \\(S\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybka metoda: zamiast wzoru, pomyśl o wektorze - od \\(K\\) do \\(S\\) jest skok o \\((40, 32)\\), więc od \\(S\\) do \\(L\\) musi być ten sam skok.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na środek odcinka\n\\(S = \\left(\\dfrac{x_K + x_L}{2}, \\dfrac{y_K + y_L}{2}\\right)\\). Z tego:\n\\[x_L = 2\\cdot 40 - 0 = 80,\\]\n\\[y_L = 2\\cdot 40 - 8 = 72.\\]\nZatem \\(L = (80, 72)\\).\n\n### Sposób 2 - Wektor \\(\\vec{KS} = \\vec{SL}\\)\n\\(\\vec{KS} = (40 - 0, 40 - 8) = (40, 32)\\).\n\\(L = S + \\vec{KS} = (40 + 40, 40 + 32) = (80, 72)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((20, 24)\\)** - to średnia, pomylono z \\(S\\).\n- **B. \\((-80, -72)\\)**: środek byłby \\((-40, -32)\\) ≠ \\(S\\).\n- **C. \\((-40, -24)\\)**: środek byłby \\((-20, -8)\\) ≠ \\(S\\).\n\n**Wzór pomocniczy:** \\(L = 2S - K\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":8,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 18. (1 pkt)
Prosta o równaniu
b
ax
y
jest prostopadła do prostej o równaniu
4
1
y
x

\n\n

przez punkt
(
)
1
2 , 0
P =
, gdy
A.
4
a = -
i
2
b
B.
1
4
a =
i
1
8
b = -
C.
4
a = - i
2
b
D.
1
4
a =
i
1
2
b =

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 18. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
\n

Zdający bada równoległość i prostopadłość
prostych na podstawie ich równań
kierunkowych (8.c).
Wersja
I
Wersja
II
B
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(L = (80, 72)\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na środek odcinka (wyznaczenie drugiego końca)

\n

Znamy wzór na środek odcinka \\(KL\\):
\\[S = \\left(\\frac{x_K + x_L}{2},\\ \\frac{y_K + y_L}{2}\\right)\\]

\n

Podstawiamy dane: \\(S = (40, 40)\\), \\(K = (0, 8)\\).

\n

Współrzędna \\(x\\):
\\[\\frac{0 + x_L}{2} = 40\\]
\\[x_L = 80\\]

\n

Współrzędna \\(y\\):
\\[\\frac{8 + y_L}{2} = 40\\]
\\[8 + y_L = 80\\]
\\[y_L = 72\\]

\n

Zatem \\(L = (80, 72)\\).

\n

Sposób 2 - Wektor (przesunięcie od K przez S do L)

\n

Środek \\(S\\) leży w połowie drogi od \\(K\\) do \\(L\\), więc wektor \\(\\vec{KS}\\) jest taki sam jak \\(\\vec{SL}\\).

\n

Obliczamy \\(\\vec{KS}\\):
\\[\\vec{KS} = S - K = (40 - 0,\\ 40 - 8) = (40,\\ 32)\\]

\n

Punkt \\(L\\) jest przesunięciem \\(S\\) o ten sam wektor:
\\[L = S + \\vec{KS} = (40 + 40,\\ 40 + 32) = (80,\\ 72)\\]

\n

Wynik zgodny: \\(L = (80, 72)\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22) - wzór na środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych \\(L\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\((20, 24)\\) | Podzielono współrzędne \\(S\\) przez 2 zamiast wyliczyć \\(x_L = 2x_S - x_K\\). Pomylono środek z punktem końcowym. |
| B \\((-80, -72)\\) | Odjęto \\(S - K\\) od punktu \\((0,0)\\) zamiast dodać wektor do \\(S\\). Błędny kierunek - wzięto punkt symetrycznie do \\(L\\) względem początku układu. |
| C \\((-40, -24)\\) | Obliczono \\(K - S\\) zamiast \\(2S - K\\), czyli symetryczny do \\(K\\) względem \\(S\\) punkt pominął dwukrotność. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór na środek odcinka to \\(x_S = \\frac{x_K + x_L}{2}\\) - żeby wyznaczyć \\(x_L\\), mnożymy obie strony przez 2 i odejmujemy \\(x_K\\): \\(x_L = 2x_S - x_K\\). Łatwo zapomnieć o pomnożeniu przez 2!
\n
⚠️ Uwaga: Nie myl kierunku - szukamy \\(L\\), który leży PO DRUGIEJ STRONIE \\(S\\) niż \\(K\\). Współrzędne \\(L\\) muszą być większe niż \\(S\\), bo \\(K\\) jest mniejsze od \\(S\\).
\n
⚠️ Uwaga: Szybka metoda: zamiast wzoru, pomyśl o wektorze - od \\(K\\) do \\(S\\) jest skok o \\((40, 32)\\), więc od \\(S\\) do \\(L\\) musi być ten sam skok.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Wzór na środek odcinka
\n

\\(S = \\left(\\dfrac{x_K + x_L}{2}, \\dfrac{y_K + y_L}{2}\\right)\\). Z tego:
\\[x_L = 2\\cdot 40 - 0 = 80,\\]
\\[y_L = 2\\cdot 40 - 8 = 72.\\]
Zatem \\(L = (80, 72)\\).

\n
Sposób 2 - Wektor \\(\\vec{KS} = \\vec{SL}\\)
\n

\\(\\vec{KS} = (40 - 0, 40 - 8) = (40, 32)\\).
\\(L = S + \\vec{KS} = (40 + 40, 40 + 32) = (80, 72)\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Wzór pomocniczy: \\(L = 2S - K\\).

"}]}