{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (1 pkt)\nNa rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji\nleżą punkty\n(0, 4)\nA =\ni\n(2, 2)\nB =\nObrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres\nfunkcji g określonej wzorem\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"Z","answer_text":"Zadanie 19. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji\nliniowej (4.f).\nWersja\nI\nWersja\nII","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(Q = (6, 8)\\)\n\n## Sposób 1 - kolejne symetrie krok po kroku\n\nZaczynamy od punktu \\(P = (-6, -8)\\) i wykonujemy dwa przekształcenia po kolei.\n\n**Krok 1: Symetria względem osi \\(Ox\\) (osi poziomej)**\n\nSymetria względem osi \\(Ox\\) zmienia znak współrzędnej \\(y\\), współrzędna \\(x\\) zostaje bez zmian:\n\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Ox} (x, -y)\\]\n\n\\[P = (-6, -8) \\xrightarrow{\\text{sym. } Ox} P' = (-6, 8)\\]\n\n**Krok 2: Symetria względem osi \\(Oy\\) (osi pionowej)**\n\nSymetria względem osi \\(Oy\\) zmienia znak współrzędnej \\(x\\), współrzędna \\(y\\) zostaje bez zmian:\n\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Oy} (-x, y)\\]\n\n\\[P' = (-6, 8) \\xrightarrow{\\text{sym. } Oy} Q = (6, 8)\\]\n\n**Wynik: \\(Q = (6, 8)\\)**\n\n## Sposób 2 - złożenie obu symetrii naraz\n\nZauważmy, że symetria względem \\(Ox\\), a potem względem \\(Oy\\) to złożenie, które można opisać jednym wzorem.\n\nSymetria względem \\(Ox\\): \\((x, y) \\to (x, -y)\\)\n\nSymetria względem \\(Oy\\): \\((x, y) \\to (-x, y)\\)\n\nZłożenie obu (w tej kolejności):\n\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Ox} (x, -y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Oy} (-x, -y)\\]\n\nZłożenie symetrii osiowej względem \\(Ox\\) i \\(Oy\\) daje **symetrię środkową względem początku układu** - czyli zmianę znaków obu współrzędnych:\n\\[(x, y) \\longrightarrow (-x, -y)\\]\n\nStosujemy do \\(P = (-6, -8)\\):\n\\[Q = (-(-6), -(-8)) = (6, 8)\\]\n\n**Wynik: \\(Q = (6, 8)\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji symetrii osiowych z geometrii analitycznej (dział 11, s. 22-25).\n\nDla przypomnienia reguły:\n\\[\\text{sym. } Ox: (x, y) \\to (x, -y)\\]\n\\[\\text{sym. } Oy: (x, y) \\to (-x, y)\\]\n\\[\\text{sym. środkowa wzgl. } O: (x, y) \\to (-x, -y)\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Brak wykonania przekształceń - uczeń zwraca punkt \\(P\\) bez zmian |\n| C | Zamieniono miejscami współrzędne: \\((8, 6)\\) zamiast \\((6, 8)\\) - błąd zamiany \\(x\\) z \\(y\\) |\n| D | Wykonano symetrię środkową i zamieniono współrzędne: \\((-8, -6)\\) - podwójny błąd |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria względem osi \\(Ox\\) zmienia tylko \\(y\\) na \\(-y\\), a NIE odwrotnie! Łatwo pomylić: \"oś \\(Ox\\) jest pozioma, więc zmienia się \\(x\\)\" - to błędne rozumowanie. Oś \\(Ox\\) to lustro poziome, które odbija pionowo, więc zmienia \\(y\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność przekształceń ma znaczenie! Najpierw \\(Ox\\), potem \\(Oy\\) - tu akurat wynik jest taki sam jak odwrotna kolejność (bo złożenie daje symetrię środkową w obu przypadkach), ale w ogólności kolejność przekształceń może dawać różne wyniki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź B \\((-6, -8)\\) to pułapka dla uczniów, którzy mylą złożenie dwóch symetrii osiowych z symetrią środkową, ale zastosują ją w odwrotny sposób - lub po prostu nie wykonają żadnego przekształcenia.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Kolejne symetrie\nSymetria względem \\(Ox\\): \\((x, y) \\to (x, -y)\\).\n\\(P = (-6, -8) \\to P' = (-6, 8)\\).\n\nSymetria względem \\(Oy\\): \\((x, y) \\to (-x, y)\\).\n\\(P' = (-6, 8) \\to Q = (6, 8)\\).\n\n### Sposób 2 - Złożenie symetrii (obrót o \\(180^\\circ\\))\nSymetria względem \\(Ox\\) potem \\(Oy\\) = symetria środkowa względem \\((0,0)\\):\n\\((x, y) \\to (-x, -y)\\).\n\\(P = (-6, -8) \\to Q = (6, 8)\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\((-6, -8)\\)** - to \\(P\\), nie zmienia się (pomylono z tożsamością).\n- **C. \\((8, 6)\\)** - zamieniono miejscami współrzędne.\n- **D. \\((-8, -6)\\)** - j.w. i zły znak.\n\n**Skrót:** dwie symetrie osiowe względem prostopadłych osi = symetria środkowa względem ich punktu przecięcia.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 19. (1 pkt)
Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f. Na wykresie tej funkcji
leżą punkty
(0, 4)
A =
i
(2, 2)
B =
Obrazem prostej AB w symetrii względem początku układu współrzędnych jest wykres
funkcji g określonej wzorem
A.
B.
C.
D.

","answer_text_html":"

Zadanie 19. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający wyznacza wzór funkcji
\n

liniowej (4.f).
Wersja
I
Wersja
II

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A - \\(Q = (6, 8)\\)

\n

Sposób 1 - kolejne symetrie krok po kroku

\n

Zaczynamy od punktu \\(P = (-6, -8)\\) i wykonujemy dwa przekształcenia po kolei.

\n

Krok 1: Symetria względem osi \\(Ox\\) (osi poziomej)

\n

Symetria względem osi \\(Ox\\) zmienia znak współrzędnej \\(y\\), współrzędna \\(x\\) zostaje bez zmian:
\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Ox} (x, -y)\\]

\n

\\[P = (-6, -8) \\xrightarrow{\\text{sym. } Ox} P' = (-6, 8)\\]

\n

Krok 2: Symetria względem osi \\(Oy\\) (osi pionowej)

\n

Symetria względem osi \\(Oy\\) zmienia znak współrzędnej \\(x\\), współrzędna \\(y\\) zostaje bez zmian:
\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Oy} (-x, y)\\]

\n

\\[P' = (-6, 8) \\xrightarrow{\\text{sym. } Oy} Q = (6, 8)\\]

\n

Wynik: \\(Q = (6, 8)\\)

\n

Sposób 2 - złożenie obu symetrii naraz

\n

Zauważmy, że symetria względem \\(Ox\\), a potem względem \\(Oy\\) to złożenie, które można opisać jednym wzorem.

\n

Symetria względem \\(Ox\\): \\((x, y) \\to (x, -y)\\)

\n

Symetria względem \\(Oy\\): \\((x, y) \\to (-x, y)\\)

\n

Złożenie obu (w tej kolejności):
\\[(x, y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Ox} (x, -y) \\xrightarrow{\\text{sym. } Oy} (-x, -y)\\]

\n

Złożenie symetrii osiowej względem \\(Ox\\) i \\(Oy\\) daje symetrię środkową względem początku układu - czyli zmianę znaków obu współrzędnych:
\\[(x, y) \\longrightarrow (-x, -y)\\]

\n

Stosujemy do \\(P = (-6, -8)\\):
\\[Q = (-(-6), -(-8)) = (6, 8)\\]

\n

Wynik: \\(Q = (6, 8)\\) ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji symetrii osiowych z geometrii analitycznej (dział 11, s. 22-25).

\n

Dla przypomnienia reguły:
\\[\\text{sym. } Ox: (x, y) \\to (x, -y)\\]
\\[\\text{sym. } Oy: (x, y) \\to (-x, y)\\]
\\[\\text{sym. środkowa wzgl. } O: (x, y) \\to (-x, -y)\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Brak wykonania przekształceń - uczeń zwraca punkt \\(P\\) bez zmian |
| C | Zamieniono miejscami współrzędne: \\((8, 6)\\) zamiast \\((6, 8)\\) - błąd zamiany \\(x\\) z \\(y\\) |
| D | Wykonano symetrię środkową i zamieniono współrzędne: \\((-8, -6)\\) - podwójny błąd |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Symetria względem osi \\(Ox\\) zmienia tylko \\(y\\) na \\(-y\\), a NIE odwrotnie! Łatwo pomylić: "oś \\(Ox\\) jest pozioma, więc zmienia się \\(x\\)" - to błędne rozumowanie. Oś \\(Ox\\) to lustro poziome, które odbija pionowo, więc zmienia \\(y\\).
\n
⚠️ Uwaga: Kolejność przekształceń ma znaczenie! Najpierw \\(Ox\\), potem \\(Oy\\) - tu akurat wynik jest taki sam jak odwrotna kolejność (bo złożenie daje symetrię środkową w obu przypadkach), ale w ogólności kolejność przekształceń może dawać różne wyniki.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź B \\((-6, -8)\\) to pułapka dla uczniów, którzy mylą złożenie dwóch symetrii osiowych z symetrią środkową, ale zastosują ją w odwrotny sposób - lub po prostu nie wykonają żadnego przekształcenia.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Kolejne symetrie
\n

Symetria względem \\(Ox\\): \\((x, y) \\to (x, -y)\\).
\\(P = (-6, -8) \\to P' = (-6, 8)\\).

\n

Symetria względem \\(Oy\\): \\((x, y) \\to (-x, y)\\).
\\(P' = (-6, 8) \\to Q = (6, 8)\\).

\n
Sposób 2 - Złożenie symetrii (obrót o \\(180^\\circ\\))
\n

Symetria względem \\(Ox\\) potem \\(Oy\\) = symetria środkowa względem \\((0,0)\\):
\\((x, y) \\to (-x, -y)\\).
\\(P = (-6, -8) \\to Q = (6, 8)\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Skrót: dwie symetrie osiowe względem prostopadłych osi = symetria środkowa względem ich punktu przecięcia.

"}]}