{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/2","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"2","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 2. (1 pkt)\nLiczba naturalna\n14\n15\n2\n5\n⋅\nn\nw zapisie dziesiętnym ma\nA. 14 cyfr\nB. 15 cyfr\nC. 16 cyfr\nD. 30 cyfr","answer":"B","answer_text":"Zadanie 2. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi\no wykładnikach wymiernych oraz stosuje\nprawa działań na potęgach o wykładnikach\nwymiernych i rzeczywistych (1.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(127 - 48\\sqrt{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\)\n\nChcemy obliczyć \\((8 - 3\\sqrt{7})^2\\).\n\nStosujemy wzór na kwadrat różnicy z \\(a = 8\\), \\(b = 3\\sqrt{7}\\):\n\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\n\nLiczymy każdy składnik osobno:\n\n\\[a^2 = 8^2 = 64\\]\n\n\\[2ab = 2 \\cdot 8 \\cdot 3\\sqrt{7} = 48\\sqrt{7}\\]\n\n\\[b^2 = (3\\sqrt{7})^2 = 9 \\cdot 7 = 63\\]\n\nSkładamy razem:\n\n\\[(8 - 3\\sqrt{7})^2 = 64 - 48\\sqrt{7} + 63 = \\mathbf{127 - 48\\sqrt{7}}\\]\n\n## Sposób 2 - Mnożenie pisemne (rozwijanie nawiasów ręcznie)\n\nZapisujemy kwadrat jako iloczyn dwóch takich samych nawiasów:\n\n\\[(8 - 3\\sqrt{7})^2 = (8 - 3\\sqrt{7})(8 - 3\\sqrt{7})\\]\n\nMnożymy każdy wyraz przez każdy:\n\n\\[= 8 \\cdot 8 + 8 \\cdot (-3\\sqrt{7}) + (-3\\sqrt{7}) \\cdot 8 + (-3\\sqrt{7}) \\cdot (-3\\sqrt{7})\\]\n\n\\[= 64 - 24\\sqrt{7} - 24\\sqrt{7} + 9 \\cdot 7\\]\n\n\\[= 64 - 48\\sqrt{7} + 63\\]\n\n\\[= \\mathbf{127 - 48\\sqrt{7}}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nTo główny wzór użyty w Sposobie 1. Podstawiamy \\(a = 8\\), \\(b = 3\\sqrt{7}\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]\nUżyliśmy przy obliczaniu \\((3\\sqrt{7})^2 = 3^2 \\cdot (\\sqrt{7})^2 = 9 \\cdot 7 = 63\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** | Zamiana znaku: zamiast \\((a-b)^2\\) policzono \\((a+b)^2 = 64 + 48\\sqrt{7} + 63 = 127 + 48\\sqrt{7}\\) - błąd znaku w środkowym składniku |\n| **C** | Policzono \\(8^2 - (3\\sqrt{7})^2 = 64 - 63 = 1\\) - zastosowano wzór na różnicę kwadratów \\((a-b)(a+b)\\) zamiast kwadratu różnicy |\n| **D** | Połączenie obu błędów: wzór na różnicę kwadratów ORAZ błędny znak przy \\(\\sqrt{7}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((3\\sqrt{7})^2 \\neq 3\\sqrt{7} \\cdot 2\\). Pamiętaj: potęgujemy CAŁY czynnik - \\((3\\sqrt{7})^2 = 9 \\cdot 7 = 63\\), nie \\(6\\sqrt{7}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środkowy składnik w \\((a-b)^2\\) to \\(-2ab\\), więc \\(-48\\sqrt{7}\\) - minus! Najczęstszy błąd to zamiana na plus i wybór odpowiedzi A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić \\((a-b)^2\\) z \\(a^2 - b^2\\). To dwa różne wzory! \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) - tu środkowego składnika w ogóle nie ma.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\n\\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\), gdzie \\(a = 8\\), \\(b = 3\\sqrt{7}\\):\n\\[(8 - 3\\sqrt{7})^2 = 64 - 2\\cdot 8\\cdot 3\\sqrt{7} + (3\\sqrt{7})^2 = 64 - 48\\sqrt{7} + 63 = 127 - 48\\sqrt{7}.\\]\n\n### Sposób 2 - Obliczenia krok po kroku\n- \\(8^2 = 64\\)\n- \\((3\\sqrt{7})^2 = 9\\cdot 7 = 63\\)\n- \\(2\\cdot 8\\cdot 3\\sqrt{7} = 48\\sqrt{7}\\)\n- Suma: \\(64 + 63 - 48\\sqrt{7} = 127 - 48\\sqrt{7}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(127 + 48\\sqrt{7}\\)** - zły znak środkowego wyrazu (byłoby dla \\((8+3\\sqrt{7})^2\\)).\n- **C. \\(1 - 48\\sqrt{7}\\)** - błąd przy \\((3\\sqrt{7})^2\\) (użyto \\(63\\) z niewłaściwym znakiem).\n- **D. \\(1 + 48\\sqrt{7}\\)** - dwa błędy znaków jednocześnie.\n\n**Pamiętaj:** \\((3\\sqrt{7})^2 = 9\\cdot 7 = 63\\), nie \\(21\\)!","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2. (1 pkt)<br>Liczba naturalna<br>14<br>15<br>2<br>5<br>⋅<br>n<br>w zapisie dziesiętnym ma<br>A. 14 cyfr<br>B. 15 cyfr<br>C. 16 cyfr<br>D. 30 cyfr</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający oblicza potęgi</li></ol>\n<p>o wykładnikach wymiernych oraz stosuje<br>prawa działań na potęgach o wykładnikach<br>wymiernych i rzeczywistych (1.g).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(127 - 48\\sqrt{7}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\)</h4>\n<p>Chcemy obliczyć \\((8 - 3\\sqrt{7})^2\\).</p>\n<p>Stosujemy wzór na kwadrat różnicy z \\(a = 8\\), \\(b = 3\\sqrt{7}\\):</p>\n<p>\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]</p>\n<p>Liczymy każdy składnik osobno:</p>\n<p>\\[a^2 = 8^2 = 64\\]</p>\n<p>\\[2ab = 2 \\cdot 8 \\cdot 3\\sqrt{7} = 48\\sqrt{7}\\]</p>\n<p>\\[b^2 = (3\\sqrt{7})^2 = 9 \\cdot 7 = 63\\]</p>\n<p>Składamy razem:</p>\n<p>\\[(8 - 3\\sqrt{7})^2 = 64 - 48\\sqrt{7} + 63 = \\mathbf{127 - 48\\sqrt{7}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Mnożenie pisemne (rozwijanie nawiasów ręcznie)</h4>\n<p>Zapisujemy kwadrat jako iloczyn dwóch takich samych nawiasów:</p>\n<p>\\[(8 - 3\\sqrt{7})^2 = (8 - 3\\sqrt{7})(8 - 3\\sqrt{7})\\]</p>\n<p>Mnożymy każdy wyraz przez każdy:</p>\n<p>\\[= 8 \\cdot 8 + 8 \\cdot (-3\\sqrt{7}) + (-3\\sqrt{7}) \\cdot 8 + (-3\\sqrt{7}) \\cdot (-3\\sqrt{7})\\]</p>\n<p>\\[= 64 - 24\\sqrt{7} - 24\\sqrt{7} + 9 \\cdot 7\\]</p>\n<p>\\[= 64 - 48\\sqrt{7} + 63\\]</p>\n<p>\\[= \\mathbf{127 - 48\\sqrt{7}}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong>:<br>\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]<br>To główny wzór użyty w Sposobie 1. Podstawiamy \\(a = 8\\), \\(b = 3\\sqrt{7}\\).</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong>:<br>\\[(a \\cdot b)^r = a^r \\cdot b^r\\]<br>Użyliśmy przy obliczaniu \\((3\\sqrt{7})^2 = 3^2 \\cdot (\\sqrt{7})^2 = 9 \\cdot 7 = 63\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> | Zamiana znaku: zamiast \\((a-b)^2\\) policzono \\((a+b)^2 = 64 + 48\\sqrt{7} + 63 = 127 + 48\\sqrt{7}\\) - błąd znaku w środkowym składniku |<br>| <strong>C</strong> | Policzono \\(8^2 - (3\\sqrt{7})^2 = 64 - 63 = 1\\) - zastosowano wzór na różnicę kwadratów \\((a-b)(a+b)\\) zamiast kwadratu różnicy |<br>| <strong>D</strong> | Połączenie obu błędów: wzór na różnicę kwadratów ORAZ błędny znak przy \\(\\sqrt{7}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\((3\\sqrt{7})^2 \\neq 3\\sqrt{7} \\cdot 2\\). Pamiętaj: potęgujemy CAŁY czynnik - \\((3\\sqrt{7})^2 = 9 \\cdot 7 = 63\\), nie \\(6\\sqrt{7}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Środkowy składnik w \\((a-b)^2\\) to \\(-2ab\\), więc \\(-48\\sqrt{7}\\) - minus! Najczęstszy błąd to zamiana na plus i wybór odpowiedzi A.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić \\((a-b)^2\\) z \\(a^2 - b^2\\). To dwa różne wzory! \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\) - tu środkowego składnika w ogóle nie ma.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia</h5>\n<p>\\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\), gdzie \\(a = 8\\), \\(b = 3\\sqrt{7}\\):<br>\\[(8 - 3\\sqrt{7})^2 = 64 - 2\\cdot 8\\cdot 3\\sqrt{7} + (3\\sqrt{7})^2 = 64 - 48\\sqrt{7} + 63 = 127 - 48\\sqrt{7}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Obliczenia krok po kroku</h5>\n<ul><li>\\(8^2 = 64\\)</li><li>\\((3\\sqrt{7})^2 = 9\\cdot 7 = 63\\)</li><li>\\(2\\cdot 8\\cdot 3\\sqrt{7} = 48\\sqrt{7}\\)</li><li>Suma: \\(64 + 63 - 48\\sqrt{7} = 127 - 48\\sqrt{7}\\).</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(127 + 48\\sqrt{7}\\)</strong> - zły znak środkowego wyrazu (byłoby dla \\((8+3\\sqrt{7})^2\\)).</li><li><strong>C. \\(1 - 48\\sqrt{7}\\)</strong> - błąd przy \\((3\\sqrt{7})^2\\) (użyto \\(63\\) z niewłaściwym znakiem).</li><li><strong>D. \\(1 + 48\\sqrt{7}\\)</strong> - dwa błędy znaków jednocześnie.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> \\((3\\sqrt{7})^2 = 9\\cdot 7 = 63\\), nie \\(21\\)!</p>"}]}