{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (1 pkt)\nDane są punkty o współrzędnych\n(\n)\n2, 5\nA = -\noraz\n(\n)\n4,\n1\nB =\n. Średnica okręgu wpisanego\nw kwadrat o boku AB jest równa\nA. 12\nB. 6\nC. 6 2\nD. 2 6","answer":"C","answer_text":"Zadanie 20. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający oblicza odległości punktów na\npłaszczyźnie kartezjańskiej (8.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n## Sposób 1 - Odczyt znaków współrzędnych\n\n**Kluczowa definicja:** Ćwiartka układu współrzędnych jest wyznaczona przez znaki współrzędnych punktu:\n\n| Ćwiartka | Znak \\(x\\) | Znak \\(y\\) |\n| I | \\(+\\) | \\(+\\) |\n| II | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| III | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| IV | \\(+\\) | \\(-\\) |\n\n**Krok 1 - sprawdzamy punkt \\(P = (-30, -76)\\):**\n\n\\[x_P = -30 < 0, \\quad y_P = -76 < 0\\]\n\nObie współrzędne ujemne → **punkt \\(P\\) leży w III ćwiartce**.\n\n**Krok 2 - sprawdzamy każdy z punktów ABCD:**\n\n\\[A = (1, 4): \\quad x = +1 > 0,\\; y = +4 > 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ I ćwiartka}\\]\n\\[B = (-5, -1): \\quad x = -5 < 0,\\; y = -1 < 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ III ćwiartka} \\checkmark\\]\n\\[C = (-5, 3): \\quad x = -5 < 0,\\; y = +3 > 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ II ćwiartka}\\]\n\\[D = (6, -4): \\quad x = +6 > 0,\\; y = -4 < 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ IV ćwiartka}\\]\n\n**Punkt \\(P\\) i punkt \\(B\\) są w tej samej ćwiartce (III) - odpowiedź B.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez porównanie znaków\n\nZamiast zapamiętywać numery ćwiartek, wystarczy porównać znaki współrzędnych \\(P\\) z każdym punktem:\n\n\\[P = (\\underbrace{-30}_{-}, \\underbrace{-76}_{-})\\]\n\nSzukamy punktu, który też ma schemat \\((-, -)\\):\n\n- \\(A = (+1, +4)\\) → schemat \\((+, +)\\) - **różny**\n- \\(B = (-5, -1)\\) → schemat \\((-, -)\\) - **identyczny** ✓\n- \\(C = (-5, +3)\\) → schemat \\$(-, +)\\) - **różny**\n- \\(D = (+6, -4)\\) → schemat \\((+, -)\\) - **różny**\n\nTylko \\(B\\) ma ten sam układ znaków co \\(P\\) - leżą w tej samej ćwiartce.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ćwiartek układu współrzędnych (znaki \\(x\\) i \\(y\\) w każdej ćwiartce).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Ćwiartka punktu | Błąd |\n| A | I (\\(x>0, y>0\\)) | Obydwie współrzędne \\(A\\) są dodatnie - zupełnie inaczej niż w \\(P\\) |\n| C | II (\\(x<0, y>0\\)) | Punkt \\(C\\) ma ujemne \\(x\\), ale dodatnie \\(y\\) - mylenie znaków: \\(y\\) w \\(P\\) jest ujemne |\n| D | IV (\\(x>0, y<0\\)) | Punkt \\(D\\) ma dodatnie \\(x\\) - pomylono ćwiartki III i IV (obie mają ujemne \\(y\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie ćwiartek III i IV - obie mają \\(y < 0\\), ale różnią się znakiem \\(x\\). Punkt \\(D = (6, -4)\\) kusi, bo \\(P\\) też ma dużą ujemną wartość \\(y\\) - ale \\(x_P = -30 < 0\\), więc to nie IV ćwiartka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podobnie ćwiartki II i III - obie mają \\(x < 0\\). Punkt \\(C = (-5, 3)\\) ma takie samo \\(x < 0\\) jak \\(P\\), ale \\(y_C = +3 > 0\\), więc to II ćwiartka, nie III.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość liczbowa współrzędnych (np. \\(-30\\) vs \\(-5\\)) jest bez znaczenia - liczy się tylko **znak**, nie rozmiar. Nie ma znaczenia, że \\(|x_P|\\) jest dużo większe niż \\(|x_B|\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Identyfikacja ćwiartek\n- **I ćwiartka** (\\(x > 0, y > 0\\)): \\(A = (1, 4)\\).\n- **II ćwiartka** (\\(x < 0, y > 0\\)): \\(C = (-5, 3)\\).\n- **III ćwiartka** (\\(x < 0, y < 0\\)): \\(B = (-5, -1)\\), \\(P = (-30, -76)\\).\n- **IV ćwiartka** (\\(x > 0, y < 0\\)): \\(D = (6, -4)\\).\n\n\\(P\\) ma \\(x_P = -30 < 0\\) i \\(y_P = -76 < 0\\) → III ćwiartka. W tej samej ćwiartce jest **B**.\n\n### Sposób 2 - Znaki współrzędnych\n\\(P\\): \\((-, -)\\). Szukamy punktu o znakach \\((-, -)\\).\n\\(A\\): \\((+, +)\\) - I. \\(B\\): \\((-, -)\\) - III ✓. \\(C\\): \\((-, +)\\) - II. \\(D\\): \\((+, -)\\) - IV.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nPunkty \\(A, C, D\\) leżą w innych ćwiartkach niż III.\n\n**Technika:** porównaj same znaki współrzędnych - nic więcej nie jest potrzebne.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 20. (1 pkt)<br>Dane są punkty o współrzędnych<br>(<br>)<br>2, 5<br>A = -<br>oraz<br>(<br>)<br>4,<br>1<br>B =<br>. Średnica okręgu wpisanego<br>w kwadrat o boku AB jest równa<br>A. 12<br>B. 6<br>C. 6 2<br>D. 2 6</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.</li></ol>\n<p>Zdający oblicza odległości punktów na<br>płaszczyźnie kartezjańskiej (8.e).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<h4>Sposób 1 - Odczyt znaków współrzędnych</h4>\n<p><strong>Kluczowa definicja:</strong> Ćwiartka układu współrzędnych jest wyznaczona przez znaki współrzędnych punktu:</p>\n<p>| Ćwiartka | Znak \\(x\\) | Znak \\(y\\) |<br>| I | \\(+\\) | \\(+\\) |<br>| II | \\(-\\) | \\(+\\) |<br>| III | \\(-\\) | \\(-\\) |<br>| IV | \\(+\\) | \\(-\\) |</p>\n<p><strong>Krok 1 - sprawdzamy punkt \\(P = (-30, -76)\\):</strong></p>\n<p>\\[x_P = -30 &lt; 0, \\quad y_P = -76 &lt; 0\\]</p>\n<p>Obie współrzędne ujemne → <strong>punkt \\(P\\) leży w III ćwiartce</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 2 - sprawdzamy każdy z punktów ABCD:</strong></p>\n<p>\\[A = (1, 4): \\quad x = +1 &gt; 0,\\; y = +4 &gt; 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ I ćwiartka}\\]<br>\\[B = (-5, -1): \\quad x = -5 &lt; 0,\\; y = -1 &lt; 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ III ćwiartka} \\checkmark\\]<br>\\[C = (-5, 3): \\quad x = -5 &lt; 0,\\; y = +3 &gt; 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ II ćwiartka}\\]<br>\\[D = (6, -4): \\quad x = +6 &gt; 0,\\; y = -4 &lt; 0 \\quad \\Rightarrow \\text{ IV ćwiartka}\\]</p>\n<p><strong>Punkt \\(P\\) i punkt \\(B\\) są w tej samej ćwiartce (III) - odpowiedź B.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez porównanie znaków</h4>\n<p>Zamiast zapamiętywać numery ćwiartek, wystarczy porównać znaki współrzędnych \\(P\\) z każdym punktem:</p>\n<p>\\[P = (\\underbrace{-30}<em>{-}, \\underbrace{-76}</em>{-})\\]</p>\n<p>Szukamy punktu, który też ma schemat \\((-, -)\\):</p>\n<ul><li>\\(A = (+1, +4)\\) → schemat \\((+, +)\\) - <strong>różny</strong></li><li>\\(B = (-5, -1)\\) → schemat \\((-, -)\\) - <strong>identyczny</strong> ✓</li><li>\\(C = (-5, +3)\\) → schemat \\$(-, +)\\) - <strong>różny</strong></li><li>\\(D = (+6, -4)\\) → schemat \\((+, -)\\) - <strong>różny</strong></li></ul>\n<p>Tylko \\(B\\) ma ten sam układ znaków co \\(P\\) - leżą w tej samej ćwiartce.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji ćwiartek układu współrzędnych (znaki \\(x\\) i \\(y\\) w każdej ćwiartce).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Ćwiartka punktu | Błąd |<br>| A | I (\\(x&gt;0, y&gt;0\\)) | Obydwie współrzędne \\(A\\) są dodatnie - zupełnie inaczej niż w \\(P\\) |<br>| C | II (\\(x&lt;0, y&gt;0\\)) | Punkt \\(C\\) ma ujemne \\(x\\), ale dodatnie \\(y\\) - mylenie znaków: \\(y\\) w \\(P\\) jest ujemne |<br>| D | IV (\\(x&gt;0, y&lt;0\\)) | Punkt \\(D\\) ma dodatnie \\(x\\) - pomylono ćwiartki III i IV (obie mają ujemne \\(y\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mylenie ćwiartek III i IV - obie mają \\(y &lt; 0\\), ale różnią się znakiem \\(x\\). Punkt \\(D = (6, -4)\\) kusi, bo \\(P\\) też ma dużą ujemną wartość \\(y\\) - ale \\(x_P = -30 &lt; 0\\), więc to nie IV ćwiartka.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Podobnie ćwiartki II i III - obie mają \\(x &lt; 0\\). Punkt \\(C = (-5, 3)\\) ma takie samo \\(x &lt; 0\\) jak \\(P\\), ale \\(y_C = +3 &gt; 0\\), więc to II ćwiartka, nie III.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wartość liczbowa współrzędnych (np. \\(-30\\) vs \\(-5\\)) jest bez znaczenia - liczy się tylko <strong>znak</strong>, nie rozmiar. Nie ma znaczenia, że \\(|x_P|\\) jest dużo większe niż \\(|x_B|\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Identyfikacja ćwiartek</h5>\n<ul><li><strong>I ćwiartka</strong> (\\(x &gt; 0, y &gt; 0\\)): \\(A = (1, 4)\\).</li><li><strong>II ćwiartka</strong> (\\(x &lt; 0, y &gt; 0\\)): \\(C = (-5, 3)\\).</li><li><strong>III ćwiartka</strong> (\\(x &lt; 0, y &lt; 0\\)): \\(B = (-5, -1)\\), \\(P = (-30, -76)\\).</li><li><strong>IV ćwiartka</strong> (\\(x &gt; 0, y &lt; 0\\)): \\(D = (6, -4)\\).</li></ul>\n<p>\\(P\\) ma \\(x_P = -30 &lt; 0\\) i \\(y_P = -76 &lt; 0\\) → III ćwiartka. W tej samej ćwiartce jest <strong>B</strong>.</p>\n<h5>Sposób 2 - Znaki współrzędnych</h5>\n<p>\\(P\\): \\((-, -)\\). Szukamy punktu o znakach \\((-, -)\\).<br>\\(A\\): \\((+, +)\\) - I. \\(B\\): \\((-, -)\\) - III ✓. \\(C\\): \\((-, +)\\) - II. \\(D\\): \\((+, -)\\) - IV.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<p>Punkty \\(A, C, D\\) leżą w innych ćwiartkach niż III.</p>\n<p><strong>Technika:</strong> porównaj same znaki współrzędnych - nic więcej nie jest potrzebne.</p>"}]}