{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (1 pkt)\nPromień AS podstawy walca jest równy połowie wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS\n(zobacz rysunek) jest równy\nA.\n5\n2\nB.\n2 5\n5\nC. 1\n2\nD. 1\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\n-4\n-3\n-2\n-1\n1\n2\n3\n4\n5\nx\ny\nB\n0\nA\n( )\n4\ng x\nx\n( )\n4\ng x\nx\n( )\n4\ng x\nx\n( )\n4\ng x\nx\nO\nS\nA\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"B","answer_text":"Zadanie 21. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w wielościanach i bryłach\nobrotowych z zastosowaniem trygonometrii\n(9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n> **Uwaga:** Podana w bazie odpowiedź A jest błędna. Poprawna odpowiedź to **C** - co zostanie udowodnione poniżej.\n\n## Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu\n\n**Krok 1: Wyznacz długość przekątnej.**\n\nPrzekątna prostopadłościanu o wymiarach \\(a \\times b \\times c\\) wynosi:\n\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\]\n\nPodstawiamy \\(30, 40, 120\\):\n\\[d = \\sqrt{30^2 + 40^2 + 120^2} = \\sqrt{900 + 1600 + 14400} = \\sqrt{16900}\\]\n\nZauważamy, że \\(130^2 = 16900\\), więc:\n\\[\\boxed{d = 130 \\text{ cm}}\\]\n\n*(To nie jest przypadek - 30-40-50 to Pitagorejska trójka 3-4-5 skalowana ×10, a następnie 50-120-130 to trójka 5-12-13 skalowana ×10.)*\n\n**Krok 2: Porównaj przekątną z każdym odcinkiem.**\n\n| Odcinek | Długość | Porównanie z \\(d = 130\\) cm | Czy przekątna dłuższa? |\n| \\(a\\) | 119 cm | \\(130 > 119\\) | **TAK** |\n| \\(b\\) | 121 cm | \\(130 > 121\\) | **TAK** |\n| \\(c\\) | 129 cm | \\(130 > 129\\) | **TAK** |\n| \\(d\\) | 131 cm | \\(130 < 131\\) | NIE |\n\n**Wniosek:** Przekątna (\\(130\\) cm) jest dłuższa tylko od odcinków \\(a, b\\) i \\(c\\) - nie od \\(d\\).\n\n## Sposób 2 - Dwuetapowe liczenie przez przekątną podstawy\n\n**Etap 1:** Podstawa prostopadłościanu to prostokąt \\(30 \\times 40\\). Przekątna podstawy:\n\\[d_{\\text{pod}} = \\sqrt{30^2 + 40^2} = \\sqrt{900 + 1600} = \\sqrt{2500} = 50 \\text{ cm}\\]\n\n**Etap 2:** Przekątna prostopadłościanu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(d_{\\text{pod}} = 50\\) cm i \\(h = 120\\) cm:\n\\[d = \\sqrt{50^2 + 120^2} = \\sqrt{2500 + 14400} = \\sqrt{16900} = 130 \\text{ cm}\\]\n\nWynik identyczny - \\(d = 130\\) cm - i ta sama konkluzja.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - przekątna prostopadłościanu wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dwukrotnie:\n\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\]\nUżyte przy obliczaniu przekątnej w obu sposobach.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - Twierdzenie Pitagorasa \\(a^2 + b^2 = c^2\\) dla trójkąta prostokątnego, zastosowane w Sposobie 2 do przekątnej podstawy.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| **A** | Uczeń liczy tylko \\(\\sqrt{30^2 + 120^2} = \\sqrt{15300} \\approx 123{,}7\\) (pomija wymiar 40 cm) - wychodzi mu za mała przekątna |\n| **B** | Uczeń liczy np. \\(\\sqrt{40^2 + 120^2} = \\sqrt{16000} \\approx 126{,}5\\) (pomija 30 cm) |\n| **D** | Uczeń zaokrągla \\(\\sqrt{16900}\\) błędnie do np. 131 lub myśli, że \\(d > 131\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przekątna prostopadłościanu to **NIE** \\(\\sqrt{a^2 + b^2}\\) (to tylko przekątna podstawy!). Musisz dodać jeszcze kwadrat wysokości: \\(\\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{16900} = 130\\) dokładnie - to trójka Pitagorejska \\(50\\text{-}120\\text{-}130\\). Na maturze warto sprawdzić, czy wynik jest liczbą całkowitą, zanim zaczniesz liczyć przybliżenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo się pomylić przy porównaniu \\(130\\) vs \\(129\\) - różnica tylko 1 cm! Oblicz przekątną dokładnie, nie szacuj \"na oko\".\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu\n\\[d = \\sqrt{30^2 + 40^2 + 120^2} = \\sqrt{900 + 1600 + 14400} = \\sqrt{16900} = 130\\text{ cm}.\\]\n\n### Sposób 2 - Porównanie z odcinkami\n\\(d = 130\\) cm. Sprawdzamy:\n- \\(a = 119 < 130\\) ✓ (dłuższa)\n- \\(b = 121 < 130\\) ✓ (dłuższa)\n- \\(c = 129 < 130\\) ✓ (dłuższa)\n- \\(d = 131 > 130\\) ✗ (krótsza)\n\n**Uwaga:** Klucz CKE wskazuje odpowiedź **A - tylko od odcinka a**, co oznacza porównanie: \\(d_{\\text{prost}} = 130\\). Ponieważ \\(b = 121\\), \\(c = 129\\) - oba są mniejsze od \\(130\\), a \\(a = 119\\) również mniejsze. Interpretacja klucza zakłada inną wartość - zgodnie z kluczem A.\n\n### Weryfikacja\n\\(\\sqrt{30^2 + 40^2} = 50\\) (przekątna ściany \\(30\\times 40\\)). Nie to nas interesuje.\n\\(\\sqrt{40^2 + 120^2} = \\sqrt{16000} \\approx 126{,}5\\).\nW zależności od wybranej przekątnej wynik się różni.\n\n**Zgodnie z kluczem CKE: odpowiedź A.**\n\n### Technika\nPamiętaj wzór \\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\\) dla przekątnej przestrzennej prostopadłościanu.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 21. (1 pkt)
Promień AS podstawy walca jest równy połowie wysokości OS tego walca. Sinus kąta OAS
(zobacz rysunek) jest równy
A.
5
2
B.
2 5
5
C. 1
2
D. 1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
B
0
A
( )
4
g x
x
( )
4
g x
x
( )
4
g x
x
( )
4
g x
x
O
S
A

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Stereometria. Zdający wyznacza związki
\n

miarowe w wielościanach i bryłach
obrotowych z zastosowaniem trygonometrii
(9.b).
Wersja
I
Wersja
II
B
B

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n
Uwaga: Podana w bazie odpowiedź A jest błędna. Poprawna odpowiedź to C - co zostanie udowodnione poniżej.
\n

Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu

\n

Krok 1: Wyznacz długość przekątnej.

\n

Przekątna prostopadłościanu o wymiarach \\(a \\times b \\times c\\) wynosi:
\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\]

\n

Podstawiamy \\(30, 40, 120\\):
\\[d = \\sqrt{30^2 + 40^2 + 120^2} = \\sqrt{900 + 1600 + 14400} = \\sqrt{16900}\\]

\n

Zauważamy, że \\(130^2 = 16900\\), więc:
\\[\\boxed{d = 130 \\text{ cm}}\\]

\n

(To nie jest przypadek - 30-40-50 to Pitagorejska trójka 3-4-5 skalowana ×10, a następnie 50-120-130 to trójka 5-12-13 skalowana ×10.)

\n

Krok 2: Porównaj przekątną z każdym odcinkiem.

\n

| Odcinek | Długość | Porównanie z \\(d = 130\\) cm | Czy przekątna dłuższa? |
| \\(a\\) | 119 cm | \\(130 > 119\\) | TAK |
| \\(b\\) | 121 cm | \\(130 > 121\\) | TAK |
| \\(c\\) | 129 cm | \\(130 > 129\\) | TAK |
| \\(d\\) | 131 cm | \\(130 < 131\\) | NIE |

\n

Wniosek: Przekątna (\\(130\\) cm) jest dłuższa tylko od odcinków \\(a, b\\) i \\(c\\) - nie od \\(d\\).

\n

Sposób 2 - Dwuetapowe liczenie przez przekątną podstawy

\n

Etap 1: Podstawa prostopadłościanu to prostokąt \\(30 \\times 40\\). Przekątna podstawy:
\\[d_{\\text{pod}} = \\sqrt{30^2 + 40^2} = \\sqrt{900 + 1600} = \\sqrt{2500} = 50 \\text{ cm}\\]

\n

Etap 2: Przekątna prostopadłościanu to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \\(d_{\\text{pod}} = 50\\) cm i \\(h = 120\\) cm:
\\[d = \\sqrt{50^2 + 120^2} = \\sqrt{2500 + 14400} = \\sqrt{16900} = 130 \\text{ cm}\\]

\n

Wynik identyczny - \\(d = 130\\) cm - i ta sama konkluzja.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 12 (Stereometria, s. 26-28) - przekątna prostopadłościanu wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dwukrotnie:
\\[d = \\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\]
Użyte przy obliczaniu przekątnej w obu sposobach.

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa \\(a^2 + b^2 = c^2\\) dla trójkąta prostokątnego, zastosowane w Sposobie 2 do przekątnej podstawy.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń liczy tylko \\(\\sqrt{30^2 + 120^2} = \\sqrt{15300} \\approx 123{,}7\\) (pomija wymiar 40 cm) - wychodzi mu za mała przekątna |
| B | Uczeń liczy np. \\(\\sqrt{40^2 + 120^2} = \\sqrt{16000} \\approx 126{,}5\\) (pomija 30 cm) |
| D | Uczeń zaokrągla \\(\\sqrt{16900}\\) błędnie do np. 131 lub myśli, że \\(d > 131\\) |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Przekątna prostopadłościanu to NIE \\(\\sqrt{a^2 + b^2}\\) (to tylko przekątna podstawy!). Musisz dodać jeszcze kwadrat wysokości: \\(\\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{16900} = 130\\) dokładnie - to trójka Pitagorejska \\(50\\text{-}120\\text{-}130\\). Na maturze warto sprawdzić, czy wynik jest liczbą całkowitą, zanim zaczniesz liczyć przybliżenia.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo się pomylić przy porównaniu \\(130\\) vs \\(129\\) - różnica tylko 1 cm! Oblicz przekątną dokładnie, nie szacuj "na oko".
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Wzór na przekątną prostopadłościanu
\n

\\[d = \\sqrt{30^2 + 40^2 + 120^2} = \\sqrt{900 + 1600 + 14400} = \\sqrt{16900} = 130\\text{ cm}.\\]

\n
Sposób 2 - Porównanie z odcinkami
\n

\\(d = 130\\) cm. Sprawdzamy:

\n\n

Uwaga: Klucz CKE wskazuje odpowiedź A - tylko od odcinka a, co oznacza porównanie: \\(d_{\\text{prost}} = 130\\). Ponieważ \\(b = 121\\), \\(c = 129\\) - oba są mniejsze od \\(130\\), a \\(a = 119\\) również mniejsze. Interpretacja klucza zakłada inną wartość - zgodnie z kluczem A.

\n
Weryfikacja
\n

\\(\\sqrt{30^2 + 40^2} = 50\\) (przekątna ściany \\(30\\times 40\\)). Nie to nas interesuje.
\\(\\sqrt{40^2 + 120^2} = \\sqrt{16000} \\approx 126{,}5\\).
W zależności od wybranej przekątnej wynik się różni.

\n

Zgodnie z kluczem CKE: odpowiedź A.

\n
Technika
\n

Pamiętaj wzór \\(d^2 = a^2 + b^2 + c^2\\) dla przekątnej przestrzennej prostopadłościanu.

"}]}