{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (1 pkt)\nPodstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie\nściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.\nMiara kąta SAC jest równa\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 22. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n9. Stereometria. Zdający wyznacza związki\nmiarowe w wielościanach i bryłach\nobrotowych z zastosowaniem trygonometrii\n(9.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(l = 22\\)\n\n## Sposób 1 - Podstawienie danych do wzorów i rozwiązanie równania\n\n**Dane:**\n- Promień kuli: \\(r = 2\\)\n- Promień podstawy stożka: \\(r = 2\\) (taki sam)\n- Pole powierzchni całkowitej stożka = \\(3 \\cdot\\) pole powierzchni kuli\n\n**Krok 1: Oblicz pole powierzchni kuli.**\n\n\\[P_{\\text{kula}} = 4\\pi r^2 = 4\\pi \\cdot 2^2 = 16\\pi\\]\n\n**Krok 2: Zapisz warunek z zadania.**\n\nPole powierzchni całkowitej stożka jest 3 razy większe od pola kuli:\n\n\\[P_c^{\\text{stożka}} = 3 \\cdot P_{\\text{kuli}} = 3 \\cdot 16\\pi = 48\\pi\\]\n\n**Krok 3: Podstaw wzór na pole powierzchni całkowitej stożka.**\n\nWzór: \\(P_c = \\pi r(r + l)\\), gdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - tworząca.\n\n\\[\\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + l) = 48\\pi\\]\n\n**Krok 4: Rozwiąż równanie.**\n\nDzielimy obie strony przez \\(\\pi\\):\n\n\\[2(2 + l) = 48\\]\n\n\\[2 + l = 24\\]\n\n\\[\\boxed{l = 22}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku\n\nSprawdzamy, czy dla \\(l = 22\\) i \\(r = 2\\) warunek jest spełniony.\n\nPole powierzchni całkowitej stożka:\n\\[P_c^{\\text{stożka}} = \\pi r(r + l) = \\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + 22) = \\pi \\cdot 2 \\cdot 24 = 48\\pi\\]\n\nPole powierzchni kuli:\n\\[P_{\\text{kula}} = 4\\pi r^2 = 4\\pi \\cdot 4 = 16\\pi\\]\n\nStosunek:\n\\[\\frac{48\\pi}{16\\pi} = 3 \\checkmark\\]\n\nWarunek spełniony - **tworząca ma długość \\(22\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):**\n\nPole powierzchni całkowitej stożka:\n\\[P_c = \\pi r(r + l)\\]\ngdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - długość tworzącej.\n\nPole powierzchni kuli:\n\\[P_c = 4\\pi r^2\\]\n\nObu tych wzorów użyliśmy bezpośrednio w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(12\\)) | Błędne obliczenie: ustawienie \\(\\pi r^2 l = 3 \\cdot 4\\pi r^2\\), czyli użycie wzoru na **objętość** stożka zamiast pola powierzchni |\n| B (\\(11\\)) | Prawidłowy tok rozwiązania, ale pominięcie promienia w \\(P_c\\) - obliczenie \\(2 + l = 24\\) i błędne zapisanie wyniku jako połowy: \\(l = 24/2 = 12\\), a potem odjęcie 1 |\n| C (\\(24\\)) | Zapisanie równania \\(2 + l = 24\\), ale wzięcie **całej** tej wartości jako tworzącej, zapominając odjąć \\(r = 2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na pole stożka to \\(\\pi r(r+l)\\) - zawiera zarówno pole podstawy (\\(\\pi r^2\\)) jak i pole boczne (\\(\\pi r l\\)). Nie myl z samym polem bocznym \\(\\pi r l\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"3 razy większe\" oznacza \\(P_{\\text{stożka}} = 3 \\cdot P_{\\text{kuli}}\\). W języku potocznym bywa to mylone z \"o 3 razy więcej\", czyli \\(P_{\\text{stożka}} = P_{\\text{kuli}} + 3 \\cdot P_{\\text{kuli}} = 4 \\cdot P_{\\text{kuli}}\\) - na maturze stosuj interpretację \\(= 3 \\cdot\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Tworząca \\(l\\) to **nie** wysokość stożka! To odcinek od wierzchołka do krawędzi podstawy. Jeśli zadanie pytałoby o wysokość, trzeba by użyć twierdzenia Pitagorasa: \\(h = \\sqrt{l^2 - r^2}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Porównanie pól\nPole kuli: \\(P_k = 4\\pi r^2 = 4\\pi\\cdot 4 = 16\\pi\\).\nPole stożka: \\(P_s = \\pi r^2 + \\pi r l = \\pi\\cdot 4 + 2\\pi l = 4\\pi + 2\\pi l\\).\n\nWarunek: \\(P_s = 3 P_k\\):\n\\[4\\pi + 2\\pi l = 48\\pi,\\]\n\\[2l = 44,\\]\n\\[l = 22.\\]\n\n### Sposób 2 - Podzielenie przez \\(\\pi\\)\n\\(4 + 2l = 48 \\Rightarrow l = 22\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(12\\)**: \\(P_s = 4\\pi + 24\\pi = 28\\pi \\ne 48\\pi\\).\n- **B. \\(11\\)**: \\(P_s = 4\\pi + 22\\pi = 26\\pi \\ne 48\\pi\\).\n- **C. \\(24\\)**: \\(P_s = 4\\pi + 48\\pi = 52\\pi \\ne 48\\pi\\).\n\n**Pamiętaj wzory:** pole stożka = \\(\\pi r^2 + \\pi r l\\), pole kuli = \\(4\\pi r^2\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 22. (1 pkt)<br>Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDS jest kwadrat ABCD. Wszystkie<br>ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.<br>Miara kąta SAC jest równa<br>A.<br>B.<br>C.<br>D.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Stereometria. Zdający wyznacza związki</li></ol>\n<p>miarowe w wielościanach i bryłach<br>obrotowych z zastosowaniem trygonometrii<br>(9.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>D<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(l = 22\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Podstawienie danych do wzorów i rozwiązanie równania</h4>\n<p><strong>Dane:</strong></p>\n<ul><li>Promień kuli: \\(r = 2\\)</li><li>Promień podstawy stożka: \\(r = 2\\) (taki sam)</li><li>Pole powierzchni całkowitej stożka = \\(3 \\cdot\\) pole powierzchni kuli</li></ul>\n<p><strong>Krok 1: Oblicz pole powierzchni kuli.</strong></p>\n<p>\\[P_{\\text{kula}} = 4\\pi r^2 = 4\\pi \\cdot 2^2 = 16\\pi\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Zapisz warunek z zadania.</strong></p>\n<p>Pole powierzchni całkowitej stożka jest 3 razy większe od pola kuli:</p>\n<p>\\[P_c^{\\text{stożka}} = 3 \\cdot P_{\\text{kuli}} = 3 \\cdot 16\\pi = 48\\pi\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Podstaw wzór na pole powierzchni całkowitej stożka.</strong></p>\n<p>Wzór: \\(P_c = \\pi r(r + l)\\), gdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - tworząca.</p>\n<p>\\[\\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + l) = 48\\pi\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Rozwiąż równanie.</strong></p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\(\\pi\\):</p>\n<p>\\[2(2 + l) = 48\\]</p>\n<p>\\[2 + l = 24\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{l = 22}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja wyniku</h4>\n<p>Sprawdzamy, czy dla \\(l = 22\\) i \\(r = 2\\) warunek jest spełniony.</p>\n<p>Pole powierzchni całkowitej stożka:<br>\\[P_c^{\\text{stożka}} = \\pi r(r + l) = \\pi \\cdot 2 \\cdot (2 + 22) = \\pi \\cdot 2 \\cdot 24 = 48\\pi\\]</p>\n<p>Pole powierzchni kuli:<br>\\[P_{\\text{kula}} = 4\\pi r^2 = 4\\pi \\cdot 4 = 16\\pi\\]</p>\n<p>Stosunek:<br>\\[\\frac{48\\pi}{16\\pi} = 3 \\checkmark\\]</p>\n<p>Warunek spełniony - <strong>tworząca ma długość \\(22\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28):</strong></p>\n<p>Pole powierzchni całkowitej stożka:<br>\\[P_c = \\pi r(r + l)\\]<br>gdzie \\(r\\) - promień podstawy, \\(l\\) - długość tworzącej.</p>\n<p>Pole powierzchni kuli:<br>\\[P_c = 4\\pi r^2\\]</p>\n<p>Obu tych wzorów użyliśmy bezpośrednio w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(12\\)) | Błędne obliczenie: ustawienie \\(\\pi r^2 l = 3 \\cdot 4\\pi r^2\\), czyli użycie wzoru na <strong>objętość</strong> stożka zamiast pola powierzchni |<br>| B (\\(11\\)) | Prawidłowy tok rozwiązania, ale pominięcie promienia w \\(P_c\\) - obliczenie \\(2 + l = 24\\) i błędne zapisanie wyniku jako połowy: \\(l = 24/2 = 12\\), a potem odjęcie 1 |<br>| C (\\(24\\)) | Zapisanie równania \\(2 + l = 24\\), ale wzięcie <strong>całej</strong> tej wartości jako tworzącej, zapominając odjąć \\(r = 2\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na pole stożka to \\(\\pi r(r+l)\\) - zawiera zarówno pole podstawy (\\(\\pi r^2\\)) jak i pole boczne (\\(\\pi r l\\)). Nie myl z samym polem bocznym \\(\\pi r l\\)!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> &quot;3 razy większe&quot; oznacza \\(P_{\\text{stożka}} = 3 \\cdot P_{\\text{kuli}}\\). W języku potocznym bywa to mylone z &quot;o 3 razy więcej&quot;, czyli \\(P_{\\text{stożka}} = P_{\\text{kuli}} + 3 \\cdot P_{\\text{kuli}} = 4 \\cdot P_{\\text{kuli}}\\) - na maturze stosuj interpretację \\(= 3 \\cdot\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Tworząca \\(l\\) to <strong>nie</strong> wysokość stożka! To odcinek od wierzchołka do krawędzi podstawy. Jeśli zadanie pytałoby o wysokość, trzeba by użyć twierdzenia Pitagorasa: \\(h = \\sqrt{l^2 - r^2}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Porównanie pól</h5>\n<p>Pole kuli: \\(P_k = 4\\pi r^2 = 4\\pi\\cdot 4 = 16\\pi\\).<br>Pole stożka: \\(P_s = \\pi r^2 + \\pi r l = \\pi\\cdot 4 + 2\\pi l = 4\\pi + 2\\pi l\\).</p>\n<p>Warunek: \\(P_s = 3 P_k\\):<br>\\[4\\pi + 2\\pi l = 48\\pi,\\]<br>\\[2l = 44,\\]<br>\\[l = 22.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Podzielenie przez \\(\\pi\\)</h5>\n<p>\\(4 + 2l = 48 \\Rightarrow l = 22\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(12\\)</strong>: \\(P_s = 4\\pi + 24\\pi = 28\\pi \\ne 48\\pi\\).</li><li><strong>B. \\(11\\)</strong>: \\(P_s = 4\\pi + 22\\pi = 26\\pi \\ne 48\\pi\\).</li><li><strong>C. \\(24\\)</strong>: \\(P_s = 4\\pi + 48\\pi = 52\\pi \\ne 48\\pi\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj wzory:</strong> pole stożka = \\(\\pi r^2 + \\pi r l\\), pole kuli = \\(4\\pi r^2\\).</p>"}]}