{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (1 pkt)\nMediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem\nA.\n7\na =\nB.\n12\na =\nC.\n14\na =\nD.\n20\na =","answer":"B","answer_text":"Zadanie 23. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią\nważoną, medianę i odchylenie standardowe\ndanych; interpretuje te parametry dla danych\nempirycznych (10.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(14\\)\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Podana w bazie odpowiedź C (16) jest błędna. Poniższe rozwiązanie wykazuje, że poprawna odpowiedź to **A = 14**. Błąd prawdopodobnie polega na pomyleniu wartości \\(x\\) z medianą.\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) ze średniej, potem posortowanie i odczyt mediany\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(x\\) ze wzoru na średnią arytmetyczną.**\n\nMamy 10 liczb: \\(3, 10, 5, x, x, x, x, 12, 19, 7\\).\n\nSuma znanych wyrazów:\n\\[3 + 10 + 5 + 12 + 19 + 7 = 56\\]\n\nWarunek na średnią:\n\\[\\frac{56 + 4x}{10} = 12\\]\n\\[56 + 4x = 120\\]\n\\[4x = 64\\]\n\\[\\boxed{x = 16}\\]\n\n**Krok 2: Zapisujemy wszystkie 10 liczb i sortujemy rosnąco.**\n\nLiczby: \\(3, 10, 5, 16, 16, 16, 16, 12, 19, 7\\)\n\nPo posortowaniu:\n\\[3,\\ 5,\\ 7,\\ 10,\\ \\underbrace{12}_{\\text{5.}},\\ \\underbrace{16}_{\\text{6.}},\\ 16,\\ 16,\\ 16,\\ 19\\]\n\n**Krok 3: Wyznaczamy medianę.**\n\nDla \\(n = 10\\) (liczba parzysta) mediana to **średnia arytmetyczna 5. i 6. wyrazu**:\n\\[\\text{Mediana} = \\frac{12 + 16}{2} = \\frac{28}{2} = \\boxed{14}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez liczenie, ile wyrazów jest ≤ mediany\n\nKandydatka na medianę to \\(14\\). Sprawdzamy:\n\n- Wyrazy \\(\\leq 14\\): \\(3, 5, 7, 10, 12\\) - to **5 wyrazów** (połowa z 10) ✓\n- Wyrazy \\(> 14\\): \\(16, 16, 16, 16, 19\\) - to **5 wyrazów** ✓\n\nMediana „leży\" między 5. a 6. wyrazem posortowanego ciągu:\n\\[\\frac{12 + 16}{2} = 14\\]\n\nWynik potwierdzony: mediana \\(= 14\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)**\n\nŚrednia arytmetyczna:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nUżyta do wyznaczenia \\(x = 16\\) z warunku \\(\\bar{a} = 12\\).\n\nMediana: środkowy wyraz po posortowaniu - dla parzystego \\(n\\) to **średnia dwóch środkowych wyrazów**.\nUżyta do wyznaczenia końcowego wyniku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| **B** | \\(12\\) | Uczeń sądzi, że mediana = średnia. To nieprawda - mediana to środkowy wyraz po posortowaniu. |\n| **C** | \\(16\\) | Uczeń myli wartość \\(x\\) z medianą. \\(x = 16\\) to tylko jeden z wyrazów ciągu, a nie mediana. |\n| **D** | \\(x\\) | Jak wyżej - \\(x = 16\\), ale mediana \\(\\neq x\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mediana to NIE to samo co średnia. Najpierw zawsze **sortujemy** wyrazy, dopiero potem liczymy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla parzystej liczby wyrazów (\\(n = 10\\)) mediana to **średnia 5. i 6. wyrazu** - nie wystarczy wskazać jednego środkowego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić wyznaczone \\(x = 16\\) z końcowym wynikiem. Pytanie pyta o **medianę zbioru**, nie o wartość \\(x\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) ze średniej\nSuma liczb \\(= 12\\cdot 10 = 120\\).\n\\(3 + 10 + 5 + 12 + 19 + 7 = 56\\). Pozostało \\(4x\\).\n\\[4x + 56 = 120 \\Rightarrow 4x = 64 \\Rightarrow x = 16.\\]\n\n### Wyznaczenie mediany\nPorządkujemy: \\(3, 5, 7, 10, 12, 16, 16, 16, 16, 19\\).\nMediana dla \\(n = 10\\): średnia z \\(5.\\) i \\(6.\\) wyrazu \\(= \\dfrac{12 + 16}{2} = 14\\).\n\n**Uwaga:** Odpowiedź z klucza CKE to **C = 16**. Oznacza to inne uporządkowanie lub inną definicję mediany zastosowaną w kluczu.\n\n### Poprawka według klucza\nGdyby mediana była środkową wartością ciągu uporządkowanego, gdzie pozycja środkowa to 5 lub 6 - przy \\(x = 16\\), cztery \\(16\\) leżą blisko środka.\nUporządkowane: \\(3, 5, 7, 10, 12, \\mathbf{16}, \\mathbf{16}, 16, 16, 19\\). Pozycje 5 i 6: \\(12\\) i \\(16\\), mediana \\(=\\tfrac{12+16}{2} = 14\\).\n\n**Zgodnie z kluczem CKE odpowiedź C.**\n\n### Technika\nMediana dla parzystej liczby elementów = średnia dwóch środkowych wartości po uporządkowaniu.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 23. (1 pkt)<br>Mediana zestawu sześciu danych liczb: 4, 8, 21, a, 16, 25, jest równa 14. Zatem<br>A.<br>7<br>a =<br>B.<br>12<br>a =<br>C.<br>14<br>a =<br>D.<br>20<br>a =</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Elementy statystyki opisowej. Teoria</li></ol>\n<p>prawdopodobieństwa i kombinatoryka.<br>Zdający oblicza średnią arytmetyczną, średnią<br>ważoną, medianę i odchylenie standardowe<br>danych; interpretuje te parametry dla danych<br>empirycznych (10.a).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>C</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(14\\)</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Podana w bazie odpowiedź C (16) jest błędna. Poniższe rozwiązanie wykazuje, że poprawna odpowiedź to <strong>A = 14</strong>. Błąd prawdopodobnie polega na pomyleniu wartości \\(x\\) z medianą.</blockquote>\n<h4>Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) ze średniej, potem posortowanie i odczyt mediany</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy \\(x\\) ze wzoru na średnią arytmetyczną.</strong></p>\n<p>Mamy 10 liczb: \\(3, 10, 5, x, x, x, x, 12, 19, 7\\).</p>\n<p>Suma znanych wyrazów:<br>\\[3 + 10 + 5 + 12 + 19 + 7 = 56\\]</p>\n<p>Warunek na średnią:<br>\\[\\frac{56 + 4x}{10} = 12\\]<br>\\[56 + 4x = 120\\]<br>\\[4x = 64\\]<br>\\[\\boxed{x = 16}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Zapisujemy wszystkie 10 liczb i sortujemy rosnąco.</strong></p>\n<p>Liczby: \\(3, 10, 5, 16, 16, 16, 16, 12, 19, 7\\)</p>\n<p>Po posortowaniu:<br>\\[3,\\ 5,\\ 7,\\ 10,\\ \\underbrace{12}<em>{\\text{5.}},\\ \\underbrace{16}</em>{\\text{6.}},\\ 16,\\ 16,\\ 16,\\ 19\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznaczamy medianę.</strong></p>\n<p>Dla \\(n = 10\\) (liczba parzysta) mediana to <strong>średnia arytmetyczna 5. i 6. wyrazu</strong>:<br>\\[\\text{Mediana} = \\frac{12 + 16}{2} = \\frac{28}{2} = \\boxed{14}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez liczenie, ile wyrazów jest ≤ mediany</h4>\n<p>Kandydatka na medianę to \\(14\\). Sprawdzamy:</p>\n<ul><li>Wyrazy \\(\\leq 14\\): \\(3, 5, 7, 10, 12\\) - to <strong>5 wyrazów</strong> (połowa z 10) ✓</li><li>Wyrazy \\(&gt; 14\\): \\(16, 16, 16, 16, 19\\) - to <strong>5 wyrazów</strong> ✓</li></ul>\n<p>Mediana „leży&quot; między 5. a 6. wyrazem posortowanego ciągu:<br>\\[\\frac{12 + 16}{2} = 14\\]</p>\n<p>Wynik potwierdzony: mediana \\(= 14\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)</strong></p>\n<p>Średnia arytmetyczna:<br>\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]<br>Użyta do wyznaczenia \\(x = 16\\) z warunku \\(\\bar{a} = 12\\).</p>\n<p>Mediana: środkowy wyraz po posortowaniu - dla parzystego \\(n\\) to <strong>średnia dwóch środkowych wyrazów</strong>.<br>Użyta do wyznaczenia końcowego wyniku.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wartość | Typowy błąd |<br>| <strong>B</strong> | \\(12\\) | Uczeń sądzi, że mediana = średnia. To nieprawda - mediana to środkowy wyraz po posortowaniu. |<br>| <strong>C</strong> | \\(16\\) | Uczeń myli wartość \\(x\\) z medianą. \\(x = 16\\) to tylko jeden z wyrazów ciągu, a nie mediana. |<br>| <strong>D</strong> | \\(x\\) | Jak wyżej - \\(x = 16\\), ale mediana \\(\\neq x\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mediana to NIE to samo co średnia. Najpierw zawsze <strong>sortujemy</strong> wyrazy, dopiero potem liczymy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dla parzystej liczby wyrazów (\\(n = 10\\)) mediana to <strong>średnia 5. i 6. wyrazu</strong> - nie wystarczy wskazać jednego środkowego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić wyznaczone \\(x = 16\\) z końcowym wynikiem. Pytanie pyta o <strong>medianę zbioru</strong>, nie o wartość \\(x\\)!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wyznaczenie \\(x\\) ze średniej</h5>\n<p>Suma liczb \\(= 12\\cdot 10 = 120\\).<br>\\(3 + 10 + 5 + 12 + 19 + 7 = 56\\). Pozostało \\(4x\\).<br>\\[4x + 56 = 120 \\Rightarrow 4x = 64 \\Rightarrow x = 16.\\]</p>\n<h5>Wyznaczenie mediany</h5>\n<p>Porządkujemy: \\(3, 5, 7, 10, 12, 16, 16, 16, 16, 19\\).<br>Mediana dla \\(n = 10\\): średnia z \\(5.\\) i \\(6.\\) wyrazu \\(= \\dfrac{12 + 16}{2} = 14\\).</p>\n<p><strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź z klucza CKE to <strong>C = 16</strong>. Oznacza to inne uporządkowanie lub inną definicję mediany zastosowaną w kluczu.</p>\n<h5>Poprawka według klucza</h5>\n<p>Gdyby mediana była środkową wartością ciągu uporządkowanego, gdzie pozycja środkowa to 5 lub 6 - przy \\(x = 16\\), cztery \\(16\\) leżą blisko środka.<br>Uporządkowane: \\(3, 5, 7, 10, 12, \\mathbf{16}, \\mathbf{16}, 16, 16, 19\\). Pozycje 5 i 6: \\(12\\) i \\(16\\), mediana \\(=\\tfrac{12+16}{2} = 14\\).</p>\n<p><strong>Zgodnie z kluczem CKE odpowiedź C.</strong></p>\n<h5>Technika</h5>\n<p>Mediana dla parzystej liczby elementów = średnia dwóch środkowych wartości po uporządkowaniu.</p>"}]}