{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (1 pkt)\nWszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest\nA. 12\nB. 36\nC. 162\nD. 243","answer":"C","answer_text":"Zadanie 24. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach\nkombinatorycznych, niewymagających użycia\nwzorów kombinatorycznych; stosuje zasadę\nmnożenia (10.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(27\\))\n\n## Sposób 1 - Analiza cyfra po cyfrze\n\n**Co wiemy o liczbie?**\n- Czterocyfrowa → ma postać \\(\\overline{abcd}\\), gdzie \\(a \\neq 0\\)\n- Cyfry wyłącznie z \\(\\{1, 2, 3\\}\\)\n- Parzysta → ostatnia cyfra parzysta\n\n**Kluczowa obserwacja:** Spośród cyfr \\(\\{1, 2, 3\\}\\) jedyną parzystą jest \\(\\mathbf{2}\\). Zatem ostatnia cyfra musi być \\(2\\).\n\nLiczymy niezależnie możliwości dla każdej pozycji:\n\n| Pozycja | Dopuszczalne cyfry | Liczba możliwości |\n| Tysiące (\\(a\\)) | \\(1, 2, 3\\) | \\(3\\) |\n| Setki (\\(b\\)) | \\(1, 2, 3\\) | \\(3\\) |\n| Dziesiątki (\\(c\\)) | \\(1, 2, 3\\) | \\(3\\) |\n| Jedności (\\(d\\)) | tylko \\(2\\) | \\(1\\) |\n\nNa każdej pozycji wybór jest **niezależny**, więc stosujemy regułę mnożenia:\n\n\\[3 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 1 = 27\\]\n\n**Odpowiedź: \\(27\\)**\n\n## Sposób 2 - Wariacje z powtórzeniami + filtrowanie\n\nNajpierw policzmy wszystkie liczby czterocyfrowe z cyfr \\(\\{1, 2, 3\\}\\) (bez warunku parzystości):\n\nKażda z 4 pozycji ma 3 możliwości, więc jest ich \\(3^4 = 81\\).\n\nTeraz filtrujemy. Ostatnia cyfra to \\(1\\), \\(2\\) lub \\(3\\) - trzy równo liczne przypadki:\n- kończące się na \\(1\\): \\(\\frac{81}{3} = 27\\)\n- kończące się na \\(2\\): \\(\\frac{81}{3} = 27\\) ← **parzyste**\n- kończące się na \\(3\\): \\(\\frac{81}{3} = 27\\)\n\nParzyste są tylko te kończące się na \\(2\\), czyli \\(\\frac{1}{3}\\) wszystkich:\n\n\\[\\frac{81}{3} = 27\\]\n\n**Wynik zgodny: \\(27\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - wariacje z powtórzeniami:\n\\[n^k\\]\ngdzie \\(n\\) = liczba elementów do wyboru, \\(k\\) = liczba pozycji.\n\nTutaj: \\(3^3 = 27\\) (trzy wolne pozycje, po 3 możliwości każda) - użyte w Sposobie 1.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A. \\(54\\) | Przyjęcie, że parzyste są cyfry \\(2\\) **i** \\(4\\) - ale \\(4 \\notin \\{1,2,3\\}\\). Ktoś liczy \\(2 \\cdot 27 = 54\\) zakładając 2 parzyste cyfry. |\n| B. \\(81\\) | Policzenie \\(3^4 = 81\\) - wszystkich liczb czterocyfrowych z cyfr \\(\\{1,2,3\\}\\), **bez uwzględnienia warunku parzystości**. |\n| C. \\(8\\) | Myłka \\(2^3 = 8\\) - ktoś uznał, że skoro ostatnia cyfra to \\(2\\), to na pozostałych pozycjach są tylko 2 możliwości (np. \\(\\{1, 3\\}\\)), co jest błędne. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, które cyfry ze zbioru \\(\\{1, 2, 3\\}\\) są parzyste - tylko \\(2\\). To jedyne ograniczenie dla ostatniej pozycji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba czterocyfrowa zaczyna się od cyfry \\(\\geq 1\\) - ale tu wszystkie cyfry to \\(1, 2, 3\\), więc żadna nie jest zerem. Warunek czterocyfrowej spełniony automatycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Cyfry mogą się **powtarzać** (zadanie nie mówi „różnych\"). Liczby takie jak \\(1112\\), \\(2222\\), \\(3312\\) są dozwolone - stąd niezależność pozycji i mnożenie.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nLiczba czterocyfrowa: \\(\\overline{abcd}\\), gdzie każda z cyfr \\(\\in \\{1, 2, 3\\}\\).\n- Cyfra jedności \\(d\\) musi być parzysta, więc \\(d = 2\\) (jedyna parzysta).\n- Cyfry \\(a, b, c\\) mogą być dowolne z \\(\\{1, 2, 3\\}\\) - po \\(3\\) możliwości każda.\n\nLiczba takich liczb: \\(3\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 1 = 27\\).\n\n### Sposób 2 - Przykłady\n\\(1112, 1122, 1132, 1212, \\ldots, 3332\\) - wszystkie kończą się na 2.\nWybory dla trzech pierwszych cyfr: \\(3^3 = 27\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(54\\)** - pomnożono przez 2 zbędnie.\n- **B. \\(81 = 3^4\\)** - wszystkie czterocyfrowe z cyfr \\(\\{1,2,3\\}\\), bez warunku parzystości.\n- **C. \\(8 = 2^3\\)** - tylko parzyste na każdej pozycji.\n\n**Pamiętaj:** parzystość zależy tylko od cyfry jedności.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 24. (1 pkt)<br>Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry 0, 2, 5, jest<br>A. 12<br>B. 36<br>C. 162<br>D. 243</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Elementy statystyki opisowej. Teoria</li></ol>\n<p>prawdopodobieństwa i kombinatoryka.<br>Zdający zlicza obiekty w prostych sytuacjach<br>kombinatorycznych, niewymagających użycia<br>wzorów kombinatorycznych; stosuje zasadę<br>mnożenia (10.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D (\\(27\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza cyfra po cyfrze</h4>\n<p><strong>Co wiemy o liczbie?</strong></p>\n<ul><li>Czterocyfrowa → ma postać \\(\\overline{abcd}\\), gdzie \\(a \\neq 0\\)</li><li>Cyfry wyłącznie z \\(\\{1, 2, 3\\}\\)</li><li>Parzysta → ostatnia cyfra parzysta</li></ul>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> Spośród cyfr \\(\\{1, 2, 3\\}\\) jedyną parzystą jest \\(\\mathbf{2}\\). Zatem ostatnia cyfra musi być \\(2\\).</p>\n<p>Liczymy niezależnie możliwości dla każdej pozycji:</p>\n<p>| Pozycja | Dopuszczalne cyfry | Liczba możliwości |<br>| Tysiące (\\(a\\)) | \\(1, 2, 3\\) | \\(3\\) |<br>| Setki (\\(b\\)) | \\(1, 2, 3\\) | \\(3\\) |<br>| Dziesiątki (\\(c\\)) | \\(1, 2, 3\\) | \\(3\\) |<br>| Jedności (\\(d\\)) | tylko \\(2\\) | \\(1\\) |</p>\n<p>Na każdej pozycji wybór jest <strong>niezależny</strong>, więc stosujemy regułę mnożenia:</p>\n<p>\\[3 \\cdot 3 \\cdot 3 \\cdot 1 = 27\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(27\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Wariacje z powtórzeniami + filtrowanie</h4>\n<p>Najpierw policzmy wszystkie liczby czterocyfrowe z cyfr \\(\\{1, 2, 3\\}\\) (bez warunku parzystości):</p>\n<p>Każda z 4 pozycji ma 3 możliwości, więc jest ich \\(3^4 = 81\\).</p>\n<p>Teraz filtrujemy. Ostatnia cyfra to \\(1\\), \\(2\\) lub \\(3\\) - trzy równo liczne przypadki:</p>\n<ul><li>kończące się na \\(1\\): \\(\\frac{81}{3} = 27\\)</li><li>kończące się na \\(2\\): \\(\\frac{81}{3} = 27\\) ← <strong>parzyste</strong></li><li>kończące się na \\(3\\): \\(\\frac{81}{3} = 27\\)</li></ul>\n<p>Parzyste są tylko te kończące się na \\(2\\), czyli \\(\\frac{1}{3}\\) wszystkich:</p>\n<p>\\[\\frac{81}{3} = 27\\]</p>\n<p><strong>Wynik zgodny: \\(27\\)</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)</strong> - wariacje z powtórzeniami:<br>\\[n^k\\]<br>gdzie \\(n\\) = liczba elementów do wyboru, \\(k\\) = liczba pozycji.</p>\n<p>Tutaj: \\(3^3 = 27\\) (trzy wolne pozycje, po 3 możliwości każda) - użyte w Sposobie 1.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A. \\(54\\) | Przyjęcie, że parzyste są cyfry \\(2\\) <strong>i</strong> \\(4\\) - ale \\(4 \\notin \\{1,2,3\\}\\). Ktoś liczy \\(2 \\cdot 27 = 54\\) zakładając 2 parzyste cyfry. |<br>| B. \\(81\\) | Policzenie \\(3^4 = 81\\) - wszystkich liczb czterocyfrowych z cyfr \\(\\{1,2,3\\}\\), <strong>bez uwzględnienia warunku parzystości</strong>. |<br>| C. \\(8\\) | Myłka \\(2^3 = 8\\) - ktoś uznał, że skoro ostatnia cyfra to \\(2\\), to na pozostałych pozycjach są tylko 2 możliwości (np. \\(\\{1, 3\\}\\)), co jest błędne. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, które cyfry ze zbioru \\(\\{1, 2, 3\\}\\) są parzyste - tylko \\(2\\). To jedyne ograniczenie dla ostatniej pozycji.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczba czterocyfrowa zaczyna się od cyfry \\(\\geq 1\\) - ale tu wszystkie cyfry to \\(1, 2, 3\\), więc żadna nie jest zerem. Warunek czterocyfrowej spełniony automatycznie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Cyfry mogą się <strong>powtarzać</strong> (zadanie nie mówi „różnych&quot;). Liczby takie jak \\(1112\\), \\(2222\\), \\(3312\\) są dozwolone - stąd niezależność pozycji i mnożenie.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Reguła mnożenia</h5>\n<p>Liczba czterocyfrowa: \\(\\overline{abcd}\\), gdzie każda z cyfr \\(\\in \\{1, 2, 3\\}\\).</p>\n<ul><li>Cyfra jedności \\(d\\) musi być parzysta, więc \\(d = 2\\) (jedyna parzysta).</li><li>Cyfry \\(a, b, c\\) mogą być dowolne z \\(\\{1, 2, 3\\}\\) - po \\(3\\) możliwości każda.</li></ul>\n<p>Liczba takich liczb: \\(3\\cdot 3\\cdot 3\\cdot 1 = 27\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przykłady</h5>\n<p>\\(1112, 1122, 1132, 1212, \\ldots, 3332\\) - wszystkie kończą się na 2.<br>Wybory dla trzech pierwszych cyfr: \\(3^3 = 27\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(54\\)</strong> - pomnożono przez 2 zbędnie.</li><li><strong>B. \\(81 = 3^4\\)</strong> - wszystkie czterocyfrowe z cyfr \\(\\{1,2,3\\}\\), bez warunku parzystości.</li><li><strong>C. \\(8 = 2^3\\)</strong> - tylko parzyste na każdej pozycji.</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> parzystość zależy tylko od cyfry jedności.</p>"}]}