{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (1 pkt)\nW pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone.\nPrawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe\nA. 1\n8\nB.\n1\n5\nC.\n1\n40\nD.\n1\n35\n90°\n75°\n60°\n45°\nA\nB\nC\nD\nS\n?\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":"A","answer_text":"Zadanie 25. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n10. Elementy statystyki opisowej. Teoria\nprawdopodobieństwa i kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje własności\nprawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie\nznane jako klasyczna definicja\nprawdopodobieństwa do obliczania\nprawdopodobieństw zdarzeń (10.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nA\nB\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych\nUwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{5}{12}\\)\n\n## Sposób 1 - Prawdopodobieństwo klasyczne\n\n**Wyznaczamy liczbę mężczyzn w grupie:**\n\n\\[60 - 35 = 25 \\text{ mężczyzn}\\]\n\n**Stosujemy definicję prawdopodobieństwa klasycznego:**\n\nLosujemy 1 osobę z 60, każda z równym prawdopodobieństwem. Zdarzenie korzystne = wylosowanie mężczyzny.\n\n\\[P(\\text{mężczyzna}) = \\frac{\\text{liczba mężczyzn}}{\\text{liczba wszystkich osób}} = \\frac{25}{60}\\]\n\n**Skracamy ułamek** (GCD(25, 60) = 5):\n\n\\[P(\\text{mężczyzna}) = \\frac{25 \\div 5}{60 \\div 5} = \\frac{5}{12}\\]\n\n**Odpowiedź: D**\n\n## Sposób 2 - Przez dopełnienie zdarzenia\n\nZamiast liczyć mężczyzn wprost, korzystamy z tego, że:\n\n\\[P(\\text{mężczyzna}) = 1 - P(\\text{kobieta})\\]\n\nPrawdopodobieństwo wylosowania kobiety:\n\n\\[P(\\text{kobieta}) = \\frac{35}{60} = \\frac{7}{12}\\]\n\nZatem:\n\n\\[P(\\text{mężczyzna}) = 1 - \\frac{7}{12} = \\frac{12}{12} - \\frac{7}{12} = \\frac{5}{12}\\]\n\nWynik zgodny - **\\(\\dfrac{5}{12}\\)**, odpowiedź D. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\ngdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń korzystnych, \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich równie prawdopodobnych zdarzeń.\n\nUżyliśmy tego wprost: \\(|A| = 25\\), \\(|\\Omega| = 60\\).\n\nW Sposobie 2 użyliśmy dodatkowo własności zdarzenia dopełniającego:\n\n\\[P(A') = 1 - P(A)\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(\\frac{1}{60}\\) | To prawdopodobieństwo wylosowania **konkretnej, jednej osoby** z grupy, nie mężczyzny jako kategorii |\n| B - \\(\\frac{1}{25}\\) | Odwrócony ułamek - uczeń wpisał \\(\\frac{1}{\\text{liczba mężczyzn}}\\) zamiast \\(\\frac{25}{60}\\) |\n| C - \\(\\frac{7}{12}\\) | To prawdopodobieństwo wylosowania **kobiety** (\\(\\frac{35}{60} = \\frac{7}{12}\\)) - pomylono zdarzenie z jego dopełnieniem |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź C to wynik dla kobiety, nie mężczyzny. Łatwo pomylić, bo \"35 kobiet\" to liczba podana wprost w treści - kuszące, by od razu wstawić ją do ułamka bez refleksji.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj o skracaniu ułamka! \\(\\frac{25}{60}\\) bez uproszczenia nie ma swojego odpowiednika wśród odpowiedzi - brak skrócenia może sprawić, że uczeń nie rozpozna poprawnej odpowiedzi.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najpierw zawsze sprawdź, ile jest elementów każdej kategorii - tu trzeba było samemu wyliczyć liczbę mężczyzn (\\(60 - 35 = 25\\)), bo zadanie podaje tylko liczbę kobiet.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nLiczba mężczyzn: \\(60 - 35 = 25\\).\nPrawdopodobieństwo wylosowania mężczyzny:\n\\[P = \\dfrac{25}{60} = \\dfrac{5}{12}.\\]\n\n### Sposób 2 - Przez dopełnienie\n\\(P(\\text{kobieta}) = \\tfrac{35}{60} = \\tfrac{7}{12}\\).\n\\(P(\\text{mężczyzna}) = 1 - \\tfrac{7}{12} = \\tfrac{5}{12}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{60}\\)** - prawdopodobieństwo wylosowania jednej konkretnej osoby.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{25}\\)** - odwrotność liczby mężczyzn, nie prawdopodobieństwo.\n- **C. \\(\\tfrac{7}{12}\\)** - prawdopodobieństwo wylosowania **kobiety**, nie mężczyzny.\n\n**Kluczowe:** w zdarzeniu przeciwnym \\(P(A) + P(A') = 1\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 25. (1 pkt)<br>W pudełku jest 40 kul. Wśród nich jest 35 kul białych, a pozostałe to kule czerwone.<br>Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. Z pudełka losujemy jedną kulę.<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy kulę czerwoną, jest równe<br>A. 1<br>8<br>B.<br>1<br>5<br>C.<br>1<br>40<br>D.<br>1<br>35<br>90°<br>75°<br>60°<br>45°<br>A<br>B<br>C<br>D<br>S<br>?</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Elementy statystyki opisowej. Teoria</li></ol>\n<p>prawdopodobieństwa i kombinatoryka.<br>Zdający wykorzystuje własności<br>prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie<br>znane jako klasyczna definicja<br>prawdopodobieństwa do obliczania<br>prawdopodobieństw zdarzeń (10.d).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>A<br>B<br>Ogólne zasady oceniania zadań otwartych<br>Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie poprawne i spełniające warunki<br>zadania.</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{5}{12}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Prawdopodobieństwo klasyczne</h4>\n<p><strong>Wyznaczamy liczbę mężczyzn w grupie:</strong></p>\n<p>\\[60 - 35 = 25 \\text{ mężczyzn}\\]</p>\n<p><strong>Stosujemy definicję prawdopodobieństwa klasycznego:</strong></p>\n<p>Losujemy 1 osobę z 60, każda z równym prawdopodobieństwem. Zdarzenie korzystne = wylosowanie mężczyzny.</p>\n<p>\\[P(\\text{mężczyzna}) = \\frac{\\text{liczba mężczyzn}}{\\text{liczba wszystkich osób}} = \\frac{25}{60}\\]</p>\n<p><strong>Skracamy ułamek</strong> (GCD(25, 60) = 5):</p>\n<p>\\[P(\\text{mężczyzna}) = \\frac{25 \\div 5}{60 \\div 5} = \\frac{5}{12}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: D</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przez dopełnienie zdarzenia</h4>\n<p>Zamiast liczyć mężczyzn wprost, korzystamy z tego, że:</p>\n<p>\\[P(\\text{mężczyzna}) = 1 - P(\\text{kobieta})\\]</p>\n<p>Prawdopodobieństwo wylosowania kobiety:</p>\n<p>\\[P(\\text{kobieta}) = \\frac{35}{60} = \\frac{7}{12}\\]</p>\n<p>Zatem:</p>\n<p>\\[P(\\text{mężczyzna}) = 1 - \\frac{7}{12} = \\frac{12}{12} - \\frac{7}{12} = \\frac{5}{12}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>\\(\\dfrac{5}{12}\\)</strong>, odpowiedź D. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]</p>\n<p>gdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń korzystnych, \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich równie prawdopodobnych zdarzeń.</p>\n<p>Użyliśmy tego wprost: \\(|A| = 25\\), \\(|\\Omega| = 60\\).</p>\n<p>W Sposobie 2 użyliśmy dodatkowo własności zdarzenia dopełniającego:</p>\n<p>\\[P(A&#x27;) = 1 - P(A)\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A - \\(\\frac{1}{60}\\) | To prawdopodobieństwo wylosowania <strong>konkretnej, jednej osoby</strong> z grupy, nie mężczyzny jako kategorii |<br>| B - \\(\\frac{1}{25}\\) | Odwrócony ułamek - uczeń wpisał \\(\\frac{1}{\\text{liczba mężczyzn}}\\) zamiast \\(\\frac{25}{60}\\) |<br>| C - \\(\\frac{7}{12}\\) | To prawdopodobieństwo wylosowania <strong>kobiety</strong> (\\(\\frac{35}{60} = \\frac{7}{12}\\)) - pomylono zdarzenie z jego dopełnieniem |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Odpowiedź C to wynik dla kobiety, nie mężczyzny. Łatwo pomylić, bo &quot;35 kobiet&quot; to liczba podana wprost w treści - kuszące, by od razu wstawić ją do ułamka bez refleksji.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Pamiętaj o skracaniu ułamka! \\(\\frac{25}{60}\\) bez uproszczenia nie ma swojego odpowiednika wśród odpowiedzi - brak skrócenia może sprawić, że uczeń nie rozpozna poprawnej odpowiedzi.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najpierw zawsze sprawdź, ile jest elementów każdej kategorii - tu trzeba było samemu wyliczyć liczbę mężczyzn (\\(60 - 35 = 25\\)), bo zadanie podaje tylko liczbę kobiet.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa</h5>\n<p>Liczba mężczyzn: \\(60 - 35 = 25\\).<br>Prawdopodobieństwo wylosowania mężczyzny:<br>\\[P = \\dfrac{25}{60} = \\dfrac{5}{12}.\\]</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez dopełnienie</h5>\n<p>\\(P(\\text{kobieta}) = \\tfrac{35}{60} = \\tfrac{7}{12}\\).<br>\\(P(\\text{mężczyzna}) = 1 - \\tfrac{7}{12} = \\tfrac{5}{12}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{1}{60}\\)</strong> - prawdopodobieństwo wylosowania jednej konkretnej osoby.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{1}{25}\\)</strong> - odwrotność liczby mężczyzn, nie prawdopodobieństwo.</li><li><strong>C. \\(\\tfrac{7}{12}\\)</strong> - prawdopodobieństwo wylosowania <strong>kobiety</strong>, nie mężczyzny.</li></ul>\n<p><strong>Kluczowe:</strong> w zdarzeniu przeciwnym \\(P(A) + P(A&#x27;) = 1\\).</p>"}]}