{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"26","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (2 pkt)\nRozwiąż równanie\n3\n2\n5\n9\n45\n0\nx\nx\nx\nOdpowiedź:\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 26. (0-2)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\nwielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:\n3\nx =\nlub\n3\nx = -, lub\n5\nx =\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy\n• zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu:\n(\n)(\n)\n2\n9\n5\n0\nx\nx\nlub (\n)(\n)(\n)\n3\n3\n5\n0\nx\nx\nx\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n5\n9\n45\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n5\nx -\n, otrzyma iloraz\n2\n9\nx -,\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n5\n9\n45\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n3\nx -\n, otrzyma iloraz\n2\n2\n15\nx\nx\n,\nalbo\n• podzieli wielomian\n3\n2\n5\n9\n45\nx\nx\nx\nprzez dwumian\n3\nx +\n, otrzyma iloraz\n2\n8\n15\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwaga\nJeżeli zdający w trakcie doprowadzania lewej strony równania do postaci iloczynu popełni\nwięcej niż jedną usterkę, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nZapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania\nwyrazów\n(\n)\n(\n)\n2\n5\n9\n5\n0\nx\nx\nx\nlub (\n)\n(\n)\n2\n2\n9\n5\n9\n0\nx x\nx\nStąd (\n)(\n)\n2\n9\n5\n0\nx\nx\n, czyli (\n)(\n)(\n)\n3\n3\n5\n0\nx\nx\nx\nZatem\n3\nx =\nlub\n3\nx = -, lub\n5\nx =\nII sposób\nStwierdzamy, że liczba 5 jest pierwiastkiem wielomianu\n3\n2\n5\n9\n45\nx\nx\nx\n. Dzielimy\nwielomian przez dwumian\n5\nx -\n. Otrzymujemy iloraz\n2\n9\nx -. Zapisujemy równanie w postaci\n(\n)(\n)\n2\n9\n5\n0\nx\nx\n. Stąd (\n)(\n)(\n)\n3\n3\n5\n0\nx\nx\nx\n, czyli\n3\nx =\nlub\n3\nx = -, lub\n5\nx =\nUwaga\nZdający może ustalić, że pierwiastkiem wielomianu jest:\n- liczba 3 i zapisać równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n3\n2\n15\n0\nx\nx\nx\n;\n- liczba 3\n- i zapisać równanie w postaci (\n)(\n)\n2\n3\n8\n15\n0\nx\nx\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = -4\\), \\(x = 1\\), \\(x = 4\\)\n\nRównanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste.\n\n## Sposób 1 - Zasada zerowego iloczynu + proste rozkłady\n\nIloczyn dwóch wyrażeń jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy **co najmniej jeden czynnik jest zerem**.\n\n\\[(x^2 - 16)(x^3 - 1) = 0\\]\n\nStąd:\n\n\\[x^2 - 16 = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad x^3 - 1 = 0\\]\n\n**Przypadek 1:** \\(x^2 - 16 = 0\\)\n\n\\[x^2 = 16\\]\n\\[x = \\sqrt{16} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{16}\\]\n\\[\\boxed{x_1 = 4, \\quad x_2 = -4}\\]\n\n**Przypadek 2:** \\(x^3 - 1 = 0\\)\n\n\\[x^3 = 1\\]\n\\[\\boxed{x_3 = 1}\\]\n\n(Jedyna liczba rzeczywista, której sześcian wynosi 1, to 1.)\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\{-4,\\ 1,\\ 4\\}\\)\n\n## Sposób 2 - Pełny rozkład na czynniki liniowe i kwadratowe\n\nRozkładamy każdy nawias przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.\n\n**Nawias pierwszy:**\n\\[x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\\]\n\n**Nawias drugi** (wzór na różnicę sześcianów):\n\\[x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\n\\[(x-4)(x+4)(x-1)(x^2 + x + 1) = 0\\]\n\nBadamy każdy czynnik:\n\n| Czynnik | Równanie | Rozwiązanie |\n| \\(x - 4\\) | \\(x = 4\\) | \\(x_1 = 4\\) |\n| \\(x + 4\\) | \\(x = -4\\) | \\(x_2 = -4\\) |\n| \\(x - 1\\) | \\(x = 1\\) | \\(x_3 = 1\\) |\n| \\(x^2 + x + 1\\) | \\(\\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\\) | brak rozwiązań rzeczywistych |\n\nDla trójmianu \\(x^2 + x + 1\\) wyróżnik:\n\\[\\Delta = 1^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0\\]\n\nUjemna delta - brak pierwiastków rzeczywistych.\n\n**Wynik:** \\(x \\in \\{-4,\\ 1,\\ 4\\}\\) - identyczny jak w Sposobie 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy do rozkładu \\(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\\) (z \\(a = x\\), \\(b = 4\\)).\n\n\\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\\]\nUżyliśmy do rozkładu \\(x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)\\) (z \\(a = x\\), \\(b = 1\\)).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy do sprawdzenia, że \\(x^2 + x + 1 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\\(\\Delta < 0\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\(x^3 = 1\\) ma **tylko jedno** rozwiązanie rzeczywiste - \\(x = 1\\). Nie ma tu \\(x = -1\\)! Myląc \\(x^3 = 1\\) z \\(x^2 = 1\\), można błędnie dopisać \\(x = -1\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójmian \\(x^2 + x + 1\\) wygląda prosto, ale ma **ujemną deltę** - nigdy nie jest zerem dla żadnej liczby rzeczywistej. Nie wolno go zignorować bez sprawdzenia!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zasada zerowego iloczynu działa tylko dla iloczynu równego **zero**. Gdyby prawa strona była np. 5, nie możemy rozdzielać czynników osobno - tu nie ma problemu, bo prawa strona to właśnie 0.\n\n**Odpowiedź:** \\(x = -4\\), \\(x = 1\\), \\(x = 4\\).\n\n### Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⟺ jeden z czynników = 0\nIloczyn jest równy \\(0\\), jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy \\(0\\).\n\nZatem:\n\\[x^2 - 16 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^3 - 1 = 0.\\]\n\n**Równanie \\(x^2 - 16 = 0\\):**\n\\[x^2 = 16 \\Rightarrow x = -4 \\lor x = 4.\\]\n\n**Równanie \\(x^3 - 1 = 0\\):**\n\\[x^3 = 1 \\Rightarrow x = 1.\\]\n\nZatem rozwiązaniami równania \\((x^2-16)(x^3-1) = 0\\) są liczby:\n\\[x = -4, \\quad x = 1, \\quad x = 4.\\]\n\n### Sposób 2 - Rozkład wzorem na różnicę kwadratów i sześcianów\n\\(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\\).\n\\(x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\\), a \\(x^2 + x + 1 > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (\\(\\Delta = -3 < 0\\)).\n\nRównanie:\n\\[(x-4)(x+4)(x-1)(x^2+x+1) = 0.\\]\nPonieważ \\(x^2 + x + 1 > 0\\), pozostają tylko trzy rozwiązania: \\(x = 4, x = -4, x = 1\\).\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** za zapisanie dwóch równań \\(x^2 - 16 = 0\\) i \\(x^3 - 1 = 0\\) lub wyznaczenie rozwiązań jednego z nich.\n- **2 pkt:** za wyznaczenie wszystkich trzech rozwiązań: \\(x = 4\\), \\(x = -4\\), \\(x = 1\\).\n\n**Pułapka:** nie pomnóż wielomianów - iloczyn = 0 to najprostsza droga!","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 26. (2 pkt)
Rozwiąż równanie
3
2
5
9
45
0
x
x
x
Odpowiedź:

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 26. (0-2)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania
\n

wielomianowe metodą rozkładu na czynniki (3.d).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy wyznaczy wszystkie rozwiązania równania:
3
x =
lub
3
x = -, lub
5
x =
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu:
(
)(
)
2
9
5
0
x
x
lub (
)(
)(
)
3
3
5
0
x
x
x
albo
• podzieli wielomian
3
2
5
9
45
x
x
x
przez dwumian
5
x -
, otrzyma iloraz
2
9
x -,
albo
• podzieli wielomian
3
2
5
9
45
x
x
x
przez dwumian
3
x -
, otrzyma iloraz
2
2
15
x
x
,
albo
• podzieli wielomian
3
2
5
9
45
x
x
x
przez dwumian
3
x +
, otrzyma iloraz
2
8
15
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Uwaga
Jeżeli zdający w trakcie doprowadzania lewej strony równania do postaci iloczynu popełni
więcej niż jedną usterkę, to za całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Zapisujemy lewą stronę równania w postaci iloczynowej, stosując metodę grupowania
wyrazów
(
)
(
)
2
5
9
5
0
x
x
x
lub (
)
(
)
2
2
9
5
9
0
x x
x
Stąd (
)(
)
2
9
5
0
x
x
, czyli (
)(
)(
)
3
3
5
0
x
x
x
Zatem
3
x =
lub
3
x = -, lub
5
x =
II sposób
Stwierdzamy, że liczba 5 jest pierwiastkiem wielomianu
3
2
5
9
45
x
x
x
. Dzielimy
wielomian przez dwumian
5
x -
. Otrzymujemy iloraz
2
9
x -. Zapisujemy równanie w postaci
(
)(
)
2
9
5
0
x
x
. Stąd (
)(
)(
)
3
3
5
0
x
x
x
, czyli
3
x =
lub
3
x = -, lub
5
x =
Uwaga
Zdający może ustalić, że pierwiastkiem wielomianu jest:

\n\n

)(
)
2
3
2
15
0
x
x
x
;

\n\n

)(
)
2
3
8
15
0
x
x
x

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = -4\\), \\(x = 1\\), \\(x = 4\\)

\n

Równanie ma trzy pierwiastki rzeczywiste.

\n

Sposób 1 - Zasada zerowego iloczynu + proste rozkłady

\n

Iloczyn dwóch wyrażeń jest zerem wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.

\n

\\[(x^2 - 16)(x^3 - 1) = 0\\]

\n

Stąd:

\n

\\[x^2 - 16 = 0 \\qquad \\text{lub} \\qquad x^3 - 1 = 0\\]

\n

Przypadek 1: \\(x^2 - 16 = 0\\)

\n

\\[x^2 = 16\\]
\\[x = \\sqrt{16} \\quad \\text{lub} \\quad x = -\\sqrt{16}\\]
\\[\\boxed{x_1 = 4, \\quad x_2 = -4}\\]

\n

Przypadek 2: \\(x^3 - 1 = 0\\)

\n

\\[x^3 = 1\\]
\\[\\boxed{x_3 = 1}\\]

\n

(Jedyna liczba rzeczywista, której sześcian wynosi 1, to 1.)

\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\{-4,\\ 1,\\ 4\\}\\)

\n

Sposób 2 - Pełny rozkład na czynniki liniowe i kwadratowe

\n

Rozkładamy każdy nawias przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.

\n

Nawias pierwszy:
\\[x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\\]

\n

Nawias drugi (wzór na różnicę sześcianów):
\\[x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\\]

\n

Równanie przyjmuje postać:

\n

\\[(x-4)(x+4)(x-1)(x^2 + x + 1) = 0\\]

\n

Badamy każdy czynnik:

\n

| Czynnik | Równanie | Rozwiązanie |
| \\(x - 4\\) | \\(x = 4\\) | \\(x_1 = 4\\) |
| \\(x + 4\\) | \\(x = -4\\) | \\(x_2 = -4\\) |
| \\(x - 1\\) | \\(x = 1\\) | \\(x_3 = 1\\) |
| \\(x^2 + x + 1\\) | \\(\\Delta = 1 - 4 = -3 < 0\\) | brak rozwiązań rzeczywistych |

\n

Dla trójmianu \\(x^2 + x + 1\\) wyróżnik:
\\[\\Delta = 1^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0\\]

\n

Ujemna delta - brak pierwiastków rzeczywistych.

\n

Wynik: \\(x \\in \\{-4,\\ 1,\\ 4\\}\\) - identyczny jak w Sposobie 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]
Użyliśmy do rozkładu \\(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\\) (z \\(a = x\\), \\(b = 4\\)).

\n

\\[a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\\]
Użyliśmy do rozkładu \\(x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)\\) (z \\(a = x\\), \\(b = 1\\)).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy do sprawdzenia, że \\(x^2 + x + 1 = 0\\) nie ma rozwiązań rzeczywistych (\\(\\Delta < 0\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\(x^3 = 1\\) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste - \\(x = 1\\). Nie ma tu \\(x = -1\\)! Myląc \\(x^3 = 1\\) z \\(x^2 = 1\\), można błędnie dopisać \\(x = -1\\).
\n
⚠️ Uwaga: Trójmian \\(x^2 + x + 1\\) wygląda prosto, ale ma ujemną deltę - nigdy nie jest zerem dla żadnej liczby rzeczywistej. Nie wolno go zignorować bez sprawdzenia!
\n
⚠️ Uwaga: Zasada zerowego iloczynu działa tylko dla iloczynu równego zero. Gdyby prawa strona była np. 5, nie możemy rozdzielać czynników osobno - tu nie ma problemu, bo prawa strona to właśnie 0.
\n

Odpowiedź: \\(x = -4\\), \\(x = 1\\), \\(x = 4\\).

\n
Sposób 1 - Iloczyn = 0 ⟺ jeden z czynników = 0
\n

Iloczyn jest równy \\(0\\), jeśli przynajmniej jeden z czynników jest równy \\(0\\).

\n

Zatem:
\\[x^2 - 16 = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x^3 - 1 = 0.\\]

\n

Równanie \\(x^2 - 16 = 0\\):
\\[x^2 = 16 \\Rightarrow x = -4 \\lor x = 4.\\]

\n

Równanie \\(x^3 - 1 = 0\\):
\\[x^3 = 1 \\Rightarrow x = 1.\\]

\n

Zatem rozwiązaniami równania \\((x^2-16)(x^3-1) = 0\\) są liczby:
\\[x = -4, \\quad x = 1, \\quad x = 4.\\]

\n
Sposób 2 - Rozkład wzorem na różnicę kwadratów i sześcianów
\n

\\(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\\).
\\(x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\\), a \\(x^2 + x + 1 > 0\\) dla każdego \\(x \\in \\mathbb{R}\\) (\\(\\Delta = -3 < 0\\)).

\n

Równanie:
\\[(x-4)(x+4)(x-1)(x^2+x+1) = 0.\\]
Ponieważ \\(x^2 + x + 1 > 0\\), pozostają tylko trzy rozwiązania: \\(x = 4, x = -4, x = 1\\).

\n
Schemat punktowania CKE
\n\n

Pułapka: nie pomnóż wielomianów - iloczyn = 0 to najprostsza droga!

"}]}