{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"27","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (2 pkt)\nRozwiąż nierówność\n2\n3\n16\n16\n0\nx\nx\n>\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n26.\n27.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 27. (0-2)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania\ni nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy\nprzedziałów (3.a).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n• poda zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\n-∞\n∪\n+ ∞ lub\n(\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞, lub\n4\n3\n4\nx\nx\n<\n∨\n>\nalbo\n• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi\nkońcami przedziałów\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór\nrozwiązań nierówności, np.\no obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego\n1\n4\n3\nx =\noraz\n2\n4\nx =\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności;\no zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem\n( )\n2\n3\n16\n16\nf x\nx\nx\ni na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań\nnierówności\n• popełni\nbłędy\nprzy\nwyznaczaniu\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego\n2\n3\n16\n16\nx\nx\n, ale otrzyma dwa różne pierwiastki trójmianu kwadratowego\ni konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony\nwyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,\nto oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n3. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:\n4\n3\nx <\ni\n4\nx >\n,\n4\n3\nx <\noraz\n4\nx >\n, itp.\n4. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu\n1\n4\n3\nx =\n,\n2\n4\nx =\ni błędnie zapisze\nodpowiedź, np.\n(\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\nx∈-∞-\n∪\n+ ∞, popełniając tym samym błąd przy przepisywaniu\njednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.\nx\n4\nKryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki\nJeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności\nw postaci (\n)\n(\n)\n4\n3\n, 4\n,\n-∞\n∪\n+ ∞, (\n)\n(\n)\n4\n3\n, 4\n,\n+∞\n∪\n-∞, to przyznajemy 2 punkty.\nPrzykładowe rozwiązanie\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\nPierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:\n2\n3\n16\n16\nx\nx\nDrugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej:\n2\n3\n16\n16\n0\nx\nx\n>\nPierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:\n• obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego\n2\n3\n16\n16\nx\nx\no obliczamy wyróżnik tego trójmianu:\n2\n2\n16 16\n4 3 16\n4 16\n2\n4\nΔ =\n⋅\n-⋅⋅\n⋅\n⋅\ni stąd\n1\n16 8\n4\n6\n3\nx\noraz\n2\n16 8\n6\n4\nx\nalbo\no stosujemy wzory Viète’a:\n1\n2\n16\n3\nx\nx\n⋅\noraz\n1\n2\n16\n3\nx\nx\n, stąd\n1\n4\n3\nx =\noraz\n2\n4\nx =\nDrugi etap rozwiązania.\nPodajemy zbiór rozwiązań nierówności: (\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\n-∞\n∪\n+ ∞ lub\n(\n)\n(\n)\n4\n3\n,\n4,\nx∈-∞\n∪\n+ ∞.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle 1, \\frac{3}{2} \\right\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - miejsca zerowe + znak paraboli\n\n**Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu.**\n\nRozwiązujemy równanie \\(2x^2 - 5x + 3 = 0\\).\n\nObliczamy deltę:\n\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 25 - 24 = 1\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[x_1 = \\frac{5 - \\sqrt{1}}{2 \\cdot 2} = \\frac{5 - 1}{4} = \\frac{4}{4} = 1\\]\n\\[x_2 = \\frac{5 + \\sqrt{1}}{2 \\cdot 2} = \\frac{5 + 1}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Krok 2: Analizujemy znak współczynnika \\(a\\).**\n\nMamy \\(a = 2 > 0\\), więc parabola jest **skierowana ramionami w górę** (kształt ∪).\n\n**Krok 3: Odczytujemy znak paraboli.**\n\nParabola z ramionami w górę leży **poniżej osi \\(OX\\)** (czyli \\(f(x) \\leq 0\\)) **między miejscami zerowymi**.\n\nZatem:\n\\[2x^2 - 5x + 3 \\leq 0 \\iff x \\in \\left\\langle 1, \\frac{3}{2} \\right\\rangle\\]\n\n**Odpowiedź:** \\(\\boxed{x \\in \\left\\langle 1, \\frac{3}{2} \\right\\rangle}\\)\n\n## Sposób 2 - rozkład na czynniki (faktoryzacja)\n\nJeśli znamy miejsca zerowe, możemy zapisać trójmian w postaci iloczynowej:\n\\[2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)\\left(x - \\frac{3}{2}\\right) = (x-1)(2x - 3)\\]\n\nSprawdzamy to szybko mnożąc:\n\\[(x-1)(2x-3) = 2x^2 - 3x - 2x + 3 = 2x^2 - 5x + 3 \\checkmark\\]\n\n**Krok 2: Badamy znak iloczynu.**\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x - 1)(2x - 3) \\leq 0\\]\n\nKluczowe punkty: \\(x = 1\\) oraz \\(x = \\frac{3}{2}\\).\n\nAnalizujemy znak każdego czynnika:\n\n| Przedział | \\(x - 1\\) | \\(2x - 3\\) | Iloczyn |\n| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |\n| \\(x = 1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |\n| \\(1 < x < \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |\n| \\(x = \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |\n| \\(x > \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |\n\nIloczyn jest \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\left\\langle 1, \\frac{3}{2} \\right\\rangle\\).\n\n**Wynik zgodny ze Sposobem 1.** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)**\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\nMiejsca zerowe (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = \\frac{3}{2}\\).\n\nPostać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\n\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 do faktoryzacji.\n\n**Kluczowa zasada (nie wzór, ale reguła z działu 7):** Dla \\(a > 0\\), trójmian \\(ax^2 + bx + c \\leq 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nawias **domknięty** \\(\\langle\\rangle\\), nie otwarty \\(()\\)! Warunek to \\(\\leq 0\\) (ze znakiem równości), więc punkty \\(x = 1\\) i \\(x = \\frac{3}{2}\\) **należą** do zbioru rozwiązań - w tych punktach wyrażenie wynosi dokładnie \\(0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Jeśli \\(a > 0\\), nierówność \\(f(x) \\leq 0\\) ma rozwiązania **między** miejscami zerowymi. Jeśli \\(a < 0\\) - **na zewnątrz**. Łatwo tu pomylić kierunek i podać \\((-\\infty, 1\\rangle \\cup \\langle\\frac{3}{2}, +\\infty)\\) zamiast środka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przelicz deltę uważnie - tu \\(\\Delta = 25 - 24 = 1\\), bardzo łatwo pomylić z \\(\\Delta = 0\\) i uznać, że jest tylko jedno miejsce zerowe (czyli jeden punkt, a nie przedział).\n\n**Odpowiedź:** \\(x \\in \\left\\langle 1, \\dfrac{3}{2}\\right\\rangle\\).\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik i miejsca zerowe\nRozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.\n\n**Etap 1. Wyznaczenie pierwiastków trójmianu \\(2x^2 - 5x + 3\\).**\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = (-5)^2 - 4\\cdot 2\\cdot 3 = 25 - 24 = 1,\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 1.\\]\nStąd:\n\\[x_1 = \\dfrac{5 - 1}{4} = 1, \\quad x_2 = \\dfrac{5 + 1}{4} = \\dfrac{3}{2}.\\]\n\n**Etap 2. Zbiór rozwiązań.**\nWspółczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a = 2 > 0\\)), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Nierówność \\(\\le 0\\) jest spełniona **między** pierwiastkami (włącznie):\n\\[x \\in \\left\\langle 1, \\dfrac{3}{2} \\right\\rangle.\\]\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\nDla trójmianu \\(2x^2 - 5x + 3\\):\n\\[x_1 + x_2 = \\dfrac{5}{2}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\dfrac{3}{2}.\\]\nPróbujemy \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = \\tfrac{3}{2}\\): \\(1 + \\tfrac{3}{2} = \\tfrac{5}{2}\\) ✓, \\(1\\cdot \\tfrac{3}{2} = \\tfrac{3}{2}\\) ✓.\nZbiór rozwiązań: \\(x \\in \\left\\langle 1, \\dfrac{3}{2}\\right\\rangle\\).\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** poprawne wyznaczenie pierwiastków lub błąd przy zapisie zbioru.\n- **2 pkt:** pełne rozwiązanie z zapisaniem \\(x \\in \\left\\langle 1, \\tfrac{3}{2}\\right\\rangle\\).\n\n**Pamiętaj:** przy \\(a > 0\\), \\(ax^2 + bx + c \\le 0\\) zachodzi **między** pierwiastkami (przedział domknięty).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność
2
3
16
16
0
x
x

\n
\n

Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
26.
27.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 27. (0-2)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający rozwiązuje równania
\n

i nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy
przedziałów (3.a).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:
• poda zbiór rozwiązań nierówności: (
)
(
)
4
3
,
4,
-∞
∪

\n\n

(
)
(
)
4
3
,
4,
x∈-∞
∪

\n\n

4
3
4
x
x
<
∨

\n
\n

albo
• poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi
końcami przedziałów
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
• zrealizuje pierwszy etap rozwiązania i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór
rozwiązań nierówności, np.
o obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego
1
4
3
x =
oraz
2
4
x =
i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności;
o zaznaczy na wykresie miejsca zerowe funkcji f określonej wzorem
( )
2
3
16
16
f x
x
x
i na tym zakończy lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań
nierówności
• popełni
błędy
przy
wyznaczaniu
pierwiastków
trójmianu
kwadratowego
2
3
16
16
x
x
, ale otrzyma dwa różne pierwiastki trójmianu kwadratowego
i konsekwentnie do popełnionych błędów wyznaczy zbiór rozwiązań nierówności.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza pierwiastki trójmianu kwadratowego w przypadku, gdy obliczony
\n

wyróżnik Δ jest ujemny, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający podaje pierwiastki bez związku z trójmianem kwadratowym z zadania,
\n

to oznacza, że nie podjął realizacji 1. etapu rozwiązania i w konsekwencji otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Akceptujemy zapisanie odpowiedzi w postaci:
\n

4
3
x <
i
4
x >
,
4
3
x <
oraz
4
x >
, itp.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie obliczy pierwiastki trójmianu
\n

1
4
3
x =
,
2
4
x =
i błędnie zapisze
odpowiedź, np.
(
)
(
)
4
3
,
4,
x∈-∞-
∪

\n\n

jednego z pierwiastków, to otrzymuje 2 punkty.
x
4
Kryteria uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki
Jeśli zdający pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności
w postaci (
)
(
)
4
3
, 4
,
-∞
∪

\n\n

)
(
)
4
3
, 4
,
+∞
∪
-∞, to przyznajemy 2 punkty.
Przykładowe rozwiązanie
Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.
Pierwszy etap to wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego:
2
3
16
16
x
x
Drugi etap to zapisanie zbioru rozwiązań nierówności kwadratowej:
2
3
16
16
0
x
x

\n
\n

Pierwszy etap rozwiązania może zostać zrealizowany następująco:
• obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego
2
3
16
16
x
x
o obliczamy wyróżnik tego trójmianu:
2
2
16 16
4 3 16
4 16
2
4
Δ =
⋅
-⋅⋅
⋅
⋅
i stąd
1
16 8
4
6
3
x
oraz
2
16 8
6
4
x
albo
o stosujemy wzory Viète’a:
1
2
16
3
x
x
⋅
oraz
1
2
16
3
x
x
, stąd
1
4
3
x =
oraz
2
4
x =
Drugi etap rozwiązania.
Podajemy zbiór rozwiązań nierówności: (
)
(
)
4
3
,
4,
-∞
∪

\n\n

(
)
(
)
4
3
,
4,
x∈-∞
∪

\n","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle 1, \\frac{3}{2} \\right\\rangle\\)

\n

Sposób 1 - miejsca zerowe + znak paraboli

\n

Krok 1: Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu.

\n

Rozwiązujemy równanie \\(2x^2 - 5x + 3 = 0\\).

\n

Obliczamy deltę:
\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot 3 = 25 - 24 = 1\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[x_1 = \\frac{5 - \\sqrt{1}}{2 \\cdot 2} = \\frac{5 - 1}{4} = \\frac{4}{4} = 1\\]
\\[x_2 = \\frac{5 + \\sqrt{1}}{2 \\cdot 2} = \\frac{5 + 1}{4} = \\frac{6}{4} = \\frac{3}{2}\\]

\n

Krok 2: Analizujemy znak współczynnika \\(a\\).

\n

Mamy \\(a = 2 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w górę (kształt ∪).

\n

Krok 3: Odczytujemy znak paraboli.

\n

Parabola z ramionami w górę leży poniżej osi \\(OX\\) (czyli \\(f(x) \\leq 0\\)) między miejscami zerowymi.

\n

Zatem:
\\[2x^2 - 5x + 3 \\leq 0 \\iff x \\in \\left\\langle 1, \\frac{3}{2} \\right\\rangle\\]

\n

Odpowiedź: \\(\\boxed{x \\in \\left\\langle 1, \\frac{3}{2} \\right\\rangle}\\)

\n

Sposób 2 - rozkład na czynniki (faktoryzacja)

\n

Jeśli znamy miejsca zerowe, możemy zapisać trójmian w postaci iloczynowej:
\\[2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)\\left(x - \\frac{3}{2}\\right) = (x-1)(2x - 3)\\]

\n

Sprawdzamy to szybko mnożąc:
\\[(x-1)(2x-3) = 2x^2 - 3x - 2x + 3 = 2x^2 - 5x + 3 \\checkmark\\]

\n

Krok 2: Badamy znak iloczynu.

\n

Nierówność przyjmuje postać:
\\[(x - 1)(2x - 3) \\leq 0\\]

\n

Kluczowe punkty: \\(x = 1\\) oraz \\(x = \\frac{3}{2}\\).

\n

Analizujemy znak każdego czynnika:

\n

| Przedział | \\(x - 1\\) | \\(2x - 3\\) | Iloczyn |
| \\(x < 1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) |
| \\(x = 1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) |
| \\(1 < x < \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) |
| \\(x = \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) |
| \\(x > \\frac{3}{2}\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) |

\n

Iloczyn jest \\(\\leq 0\\) dla \\(x \\in \\left\\langle 1, \\frac{3}{2} \\right\\rangle\\).

\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]

\n

Miejsca zerowe (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):
\\[x_1 = \\frac{-b - \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad x_2 = \\frac{-b + \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Użyliśmy tych wzorów w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(x_1 = 1\\) i \\(x_2 = \\frac{3}{2}\\).

\n

Postać iloczynowa (gdy \\(\\Delta \\geq 0\\)):
\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]

\n

Użyliśmy jej w Sposobie 2 do faktoryzacji.

\n

Kluczowa zasada (nie wzór, ale reguła z działu 7): Dla \\(a > 0\\), trójmian \\(ax^2 + bx + c \\leq 0\\) wtedy i tylko wtedy, gdy \\(x \\in \\langle x_1, x_2 \\rangle\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nawias domknięty \\(\\langle\\rangle\\), nie otwarty \\(()\\)! Warunek to \\(\\leq 0\\) (ze znakiem równości), więc punkty \\(x = 1\\) i \\(x = \\frac{3}{2}\\) należą do zbioru rozwiązań - w tych punktach wyrażenie wynosi dokładnie \\(0\\).
\n
⚠️ Uwaga: Jeśli \\(a > 0\\), nierówność \\(f(x) \\leq 0\\) ma rozwiązania między miejscami zerowymi. Jeśli \\(a < 0\\) - na zewnątrz. Łatwo tu pomylić kierunek i podać \\((-\\infty, 1\\rangle \\cup \\langle\\frac{3}{2}, +\\infty)\\) zamiast środka.
\n
⚠️ Uwaga: Przelicz deltę uważnie - tu \\(\\Delta = 25 - 24 = 1\\), bardzo łatwo pomylić z \\(\\Delta = 0\\) i uznać, że jest tylko jedno miejsce zerowe (czyli jeden punkt, a nie przedział).
\n

Odpowiedź: \\(x \\in \\left\\langle 1, \\dfrac{3}{2}\\right\\rangle\\).

\n
Sposób 1 - Wyróżnik i miejsca zerowe
\n

Rozwiązanie nierówności kwadratowej składa się z dwóch etapów.

\n

Etap 1. Wyznaczenie pierwiastków trójmianu \\(2x^2 - 5x + 3\\).
Obliczamy wyróżnik:
\\[\\Delta = (-5)^2 - 4\\cdot 2\\cdot 3 = 25 - 24 = 1,\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 1.\\]
Stąd:
\\[x_1 = \\dfrac{5 - 1}{4} = 1, \\quad x_2 = \\dfrac{5 + 1}{4} = \\dfrac{3}{2}.\\]

\n

Etap 2. Zbiór rozwiązań.
Współczynnik przy \\(x^2\\) jest dodatni (\\(a = 2 > 0\\)), więc parabola ma ramiona skierowane w górę. Nierówność \\(\\le 0\\) jest spełniona między pierwiastkami (włącznie):
\\[x \\in \\left\\langle 1, \\dfrac{3}{2} \\right\\rangle.\\]

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

Dla trójmianu \\(2x^2 - 5x + 3\\):
\\[x_1 + x_2 = \\dfrac{5}{2}, \\quad x_1 \\cdot x_2 = \\dfrac{3}{2}.\\]
Próbujemy \\(x_1 = 1\\), \\(x_2 = \\tfrac{3}{2}\\): \\(1 + \\tfrac{3}{2} = \\tfrac{5}{2}\\) ✓, \\(1\\cdot \\tfrac{3}{2} = \\tfrac{3}{2}\\) ✓.
Zbiór rozwiązań: \\(x \\in \\left\\langle 1, \\dfrac{3}{2}\\right\\rangle\\).

\n
Schemat punktowania CKE
\n\n

Pamiętaj: przy \\(a > 0\\), \\(ax^2 + bx + c \\le 0\\) zachodzi między pierwiastkami (przedział domknięty).

"}]}