Zadanie 28. (2 pkt)
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 28. (0-2)
V. Rozumowanie
i argumentacja.
skróconego mnożenia: (a ± b)2, (a ± b)3, a2 - b2, a3 ± b3 (2.a).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• zapisze nierówność w postaci, zawierającej po jednej stronie 0, a po drugiej sumę
wyrażeń algebraicznych, będących wielokrotnościami kwadratów liczb lub
stanowiących jedną stronę wzoru skróconego mnożenia, którego druga strona jest
kwadratem, np.:
2
2
2
2
2
2
2
0
a
a
ab
b
b
≥
albo
• zapisze oszacowanie
2
2
2
2
3
2
3
2
a
ab
b
a
ab
b
≥
,
albo
• obliczy wyróżnik trójmianu kwadratowego w zależności od zmiennej a lub b,
występującego po jednej stronie nierówności, gdy po drugiej stronie jest 0, i stwierdzi,
że jest on niedodatni,
albo
• rozważa dwa przypadki: w pierwszym stwierdza, że gdy
, to nierówność jest
prawdziwa, a drugim doprowadza nierówność do postaci
,
albo
• rozważa dwa przypadki: w jednym dzieli stronami nierówność przez
2
b lub przez
2
a ,
a w drugim przyjmuje, że a lub b jest równe 0, oraz w przypadku, w którym dzieli
stronami nierówność i obliczy wyróżnik otrzymanego trójmianu kwadratowego,
albo
• zapisze, że prawdziwa jest nierówność
2
2
2
2
0
a
b
≥
oraz zapisze, że prawdziwa jest
nierówność (
)
2
0
a
b
≥
i przedstawi tę nierówność w postaci równoważnej
2
2
2
0
a
ab
b
≥
,
albo
• wskaże, że przeprowadza dowód nie wprost, zapisze nierówność
oraz zapisze jeden z dwóch poniższych komentarzy:
o nierówność
jest nieprawdziwa;
o nierówność
jest prawdziwa oraz nierówność
jest
nieprawdziwa
i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy.
0
ab ≤
2
3
a
b
b
a
≥
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
<
(
)
2
0
a
b
<
(
)
2
0
a
b
≥
2
2
2
2
0
a
b
<
Uwagi
to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
\n(
)
2
2
2
2
2
0
≥
a
a
b
b
lub
2
2
1
8
0
3
9
≥
a
b
b
i nie przedstawi komentarza uzasadniającego przyjmowanie wyłącznie
nieujemnych wartości przez wyrażenie zapisane po lewej stronie nierówności, to otrzymuje
1 punkt.
0
b =
lub
0
a =
, to za całe
rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 1 punkt.
, to za całe rozwiązanie
może otrzymać co najwyżej 1 punkt, o ile wykaże prawdziwość nierówności w przypadku
2
2
2
0
a
ab
b
≥
zapisze
nierówność
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
i na tym zakończy, to za całe rozwiązanie otrzymuje
1 punkt.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:
,
2
2
2
2
2
2
2
0
≥
a
a
ab
b
b
,
(
)
2
2
2
2
2
0
≥
a
a
b
b
Lewa strona nierówności jest sumą trzech liczb nieujemnych:
2
2a - jako wielokrotność
kwadratu liczby, (
)
2
a
b
2
2b - jako wielokrotność kwadratu liczby.
Zatem z lewej strony nierówności występuje wyrażenie przyjmujące wartość nieujemną, czyli
nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.
To kończy dowód.
Uwaga
Całe rozumowanie można zapisać w postaci
,
co jest prawdą dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b.
0
ab ≤
0
ab >
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
(
)
2
2
2
2
2
3
2
3
2
0
a
ab
b
a
ab
b
a
b
≥
≥
II sposób
Przekształcamy równoważnie nierówność i otrzymujemy kolejno:
,
2
2
2
0
3
≥
a
ab
b
,
2
2
2
1
1
0
3
9
≥
a
b
b
b
,
2
2
1
8
0
3
9
≥
a
b
b
Lewa strona nierówności jest sumą dwóch liczb nieujemnych:
2
1
3
a
b
2
8
9 b - jako wielokrotność kwadratu liczby.
Zatem z lewej strony nierówności występuje wyrażenie przyjmujące wartość nieujemną, czyli
nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.
To kończy dowód.
III sposób
Wyrażenie z lewej strony jest trójmianem kwadratowym dla zmiennej a, z parametrem b.
Obliczamy wyróżnik tego trójmianu kwadratowego:
(
)
2
2
2
2
2
2
4 3 3
4
36
32
Δ = -
-⋅⋅
b
b
b
b
b .
Obliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest niedodatni dla dowolnej liczby rzeczywistej b.
Zatem trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków lub ma jeden pierwiastek rzeczywisty. Przy
najwyższej potędze trójmianu kwadratowego stoi liczba dodatnia 3, zatem lewa strona
nierówności przyjmuje wartość nieujemną dla dowolnej zmiennej rzeczywistej a. Oznacza to,
że nierówność jest prawdziwa dla dowolnych rzeczywistych liczb a i b.
To kończy dowód.
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
IV sposób
Rozważmy dwa przypadki.
1.
0
b
2.
0
≠
b
W pierwszym przypadku otrzymujemy nierówność
2
3
0
≥
a
, która jest prawdziwa dla dowolnej
liczby rzeczywistej a, bo wyrażenie po lewej stronie jest wielokrotnością kwadratu liczby.
Zatem nierówność
jest prawdziwa w przypadku, gdy
0
b
W drugim przypadku możemy podzielić obie strony nierówności
przez
2.
b
Otrzymujemy nierówność:
2
3
2
3
0
-
≥
a
a
b
b
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego zmiennej x, gdzie
= a
x
b , występującego
z lewej strony nierówności:
(
)
2
2
4 3 3
4
36
32
Δ = -
-⋅⋅=
Obliczony wyróżnik trójmianu kwadratowego jest ujemny, zatem trójmian kwadratowy nie ma
pierwiastków rzeczywistych. Przy najwyższej potędze trójmianu kwadratowego stoi liczba
dodatnia 3, zatem lewa strona nierówności przyjmuje zawsze wartość dodatnią. Oznacza to, że
nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby a i dowolnej liczby b różnej od zera.
Z rozważonych dwóch przypadków wynika, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnych
rzeczywistych liczb a i b.
To kończy dowód.
V sposób (przypadki ze względu na znak ab).
Rozważmy dwa przypadki.
. Wtedy nierówność
jest prawdziwa, gdyż po jej lewej
stronie jest suma trzech nieujemnych składników
,
,
. Wtedy nierówność zapisujemy w postaci równoważnej
Obie strony tej nierówności możemy wtedy podzielić przez dodatnią liczbę
, otrzymując
nierówność
Z twierdzenia o sumie liczby dodatniej i jej odwrotności wynika, że
To kończy dowód.
VI sposób (dowód nie wprost)
Załóżmy, nie wprost, że dla pewnych liczb rzeczywistych a i b prawdziwa jest nierówność
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
0
ab ≤
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
2
3a
2ab
2
3b
0
ab >
2
2
3
3
2
a
b
ab
≥
3ab
2
3
a
b
b
a
≥
2
2
3
a
b
b
a
≥
Ponieważ
, więc nierówność ta byłaby prawdziwa tylko wtedy, gdyby
, czyli
, co jest nieprawdą.
Otrzymana sprzeczność oznacza, że nierówność
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
<
jest fałszywa.
Prawdziwa zatem jest nierówność
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
To kończy dowód.
VII sposób
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwe są nierówności
(
)
2
0
a
b
≥
oraz
2
2
2
2
0
a
b
≥
,
czyli
2
2
2
0
a
ab
b
≥
oraz
2
2
2
2
0
a
b
≥
Dodając te nierówności stronami, co możemy zrobić, gdyż nierówności są tak samo
skierowane, otrzymujemy
2
2
2
2
2
2
2
0
a
ab
b
a
b
≥
,
czyli
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
≥
To kończy dowód.
2
2
3
2
3
0
a
ab
b
<
2
2
2
2
0
a
b
≥
2
2
2
0
a
ab
b
<
(
)
2
0
a
b
<
To zadanie dowodowe - należy wykazać, że lewa strona jest zawsze \\(\\geq 1\\). Kluczowy pomysł: nierówność jest równoważna temu, że pewien pełny kwadrat jest nieujemny.
\nBadamy znak wyrażenia \\(L - 1\\), gdzie \\(L = x + \\dfrac{1-x}{x}\\).
\nObliczamy \\(L - 1\\):
\n\\[
x + \\frac{1-x}{x} - 1 = \\frac{x \\cdot x + (1-x) - 1 \\cdot x}{x} = \\frac{x^2 + 1 - x - x}{x} = \\frac{x^2 - 2x + 1}{x}
\\]
Rozpoznajemy licznik jako pełny kwadrat:
\n\\[
L - 1 = \\frac{(x-1)^2}{x}
\\]
Teraz oceniamy znak:
\nZatem:
\n\\[
L - 1 = \\frac{(x-1)^2}{x} \\geq 0
\\]
co oznacza \\(L \\geq 1\\), czyli:
\n\\[
\\boxed{x + \\frac{1-x}{x} \\geq 1 \\quad \\text{dla każdego } x > 0}
\\]
Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy \\((x-1)^2 = 0\\), czyli \\(x = 1\\).
\nPonieważ \\(x > 0\\), możemy mnożyć obie strony nierówności przez \\(x\\) nie zmieniając kierunku nierówności.
\nNierówność wyjściowa:
\n\\[
x + \\frac{1-x}{x} \\geq 1
\\]
Mnożymy obie strony przez \\(x > 0\\):
\n\\[
x \\cdot x + (1-x) \\geq 1 \\cdot x
\\]
\\[
x^2 + 1 - x \\geq x
\\]
Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\n\\[
x^2 - 2x + 1 \\geq 0
\\]
\\[
(x-1)^2 \\geq 0
\\]
Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \\(x\\), w szczególności dla \\(x > 0\\).
\nPonieważ wszystkie przekształcenia były równoważne (mnożenie przez \\(x > 0\\) jest równoważnością), wyjściowa nierówność jest udowodniona. \\(\\square\\)
\nDział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy tego, aby rozpoznać \\(x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\\) - to serce całego dowodu.
W tym zadaniu nie używamy innych wzorów z karty - wystarczy algebra i własność kwadratu.
\n⚠️ Uwaga: Nigdy nie wolno mnożyć obu stron nierówności przez wyrażenie, jeśli nie wiesz, czy jest ono dodatnie czy ujemne. Tu \\(x > 0\\) jest dane w treści - dlatego mnożenie przez \\(x\\) jest legalne.\n
⚠️ Uwaga: Sprowadzając do wspólnego mianownika, łatwo się pomylić w znaku przy \\(-(1-x) = x-1\\). Warto pisać krok po kroku i nie skracać "w głowie".\n
⚠️ Uwaga: Samo napisanie „\\((x-1)^2 \\geq 0\\), więc nierówność prawdziwa" nie wystarczy - musisz pokazać, że nierówność wyjściowa jest równoważna (lub wynika z) tej ostatniej. Zaznacz wyraźnie, że mnożenie przez \\(x > 0\\) jest operacją odwracalną.\n
Dowód.
\nPrzekształcamy równoważnie nierówność \\(x + \\dfrac{1-x}{x} \\ge 1\\).
\nZ założenia \\(x > 0\\), więc możemy pomnożyć obie strony przez \\(x\\) (zachowując kierunek nierówności):
\\[x^2 + 1 - x \\ge x,\\]
\\[x^2 - 2x + 1 \\ge 0,\\]
\\[(x - 1)^2 \\ge 0.\\]
Po lewej stronie jest wyrażenie nieujemne (kwadrat liczby rzeczywistej), więc nierówność jest prawdziwa dla każdego \\(x > 0\\). \\(\\blacksquare\\)
\nLewa strona:
\\[x + \\dfrac{1-x}{x} = \\dfrac{x^2 + 1 - x}{x} = \\dfrac{x^2 - x + 1}{x}.\\]
Nierówność \\(\\dfrac{x^2 - x + 1}{x} \\ge 1\\) dla \\(x > 0\\) jest równoważna:
\\[x^2 - x + 1 \\ge x,\\]
\\[x^2 - 2x + 1 \\ge 0,\\]
\\[(x-1)^2 \\ge 0.\\]
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc nierówność jest prawdziwa. \\(\\blacksquare\\)
Rozbijamy: \\(x + \\dfrac{1-x}{x} = x + \\dfrac{1}{x} - 1\\).
Nierówność staje się: \\(x + \\dfrac{1}{x} - 1 \\ge 1\\), czyli \\(x + \\dfrac{1}{x} \\ge 2\\).
Dla \\(x > 0\\) z nierówności AM-GM: \\(x + \\dfrac{1}{x} \\ge 2\\sqrt{x\\cdot \\tfrac{1}{x}} = 2\\). \\(\\blacksquare\\)
Kluczowe przekształcenie: \\((x-1)^2 \\ge 0\\) to kwadrat wyrażenia rzeczywistego - zawsze nieujemne.
"}]}