{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/3","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 3. (1 pkt)\nW pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była\nrówna 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów\no 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku\nzmniejszyła się o\nA. 1%\nB. 25%\nC. 33%\nD. 75%","answer":"B","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie\nprocentu i punktu procentowego\nw obliczeniach (1.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(b - a = 64\\)\n\n## Sposób 1 - Równanie procentowe\n\n**Wyznaczamy \\(a\\) z pierwszego warunku:**\n\n\\(75\\%\\) liczby \\(a\\) równa się \\(177\\), czyli:\n\\[\\frac{75}{100} \\cdot a = 177\\]\n\\[0{,}75a = 177\\]\n\\[a = \\frac{177}{0{,}75} = \\frac{177 \\cdot 4}{3} = \\frac{708}{3} = 236\\]\n\n**Wyznaczamy \\(b\\) z drugiego warunku:**\n\n\\(59\\%\\) liczby \\(b\\) równa się \\(177\\), czyli:\n\\[\\frac{59}{100} \\cdot b = 177\\]\n\\[0{,}59b = 177\\]\n\\[b = \\frac{177}{0{,}59} = \\frac{17700}{59} = 300\\]\n\n**Obliczamy różnicę:**\n\\[b - a = 300 - 236 = \\mathbf{64}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez ułamek wspólnej wartości\n\nZauważamy, że obie liczby dają ten sam wynik (\\(177\\)) przy różnych procentach. Możemy od razu zapisać:\n\n\\[a = \\frac{177}{\\frac{75}{100}} = 177 \\cdot \\frac{100}{75} = 177 \\cdot \\frac{4}{3} = 59 \\cdot 4 = 236\\]\n\n\\[b = \\frac{177}{\\frac{59}{100}} = 177 \\cdot \\frac{100}{59} = 3 \\cdot 100 = 300\\]\n\nSkróty: \\(\\frac{177}{75} = \\frac{177}{75}\\) - zauważmy, że \\(177 = 59 \\cdot 3\\), więc:\n\n\\[b = \\frac{59 \\cdot 3 \\cdot 100}{59} = 300\\]\n\nNatomiast \\(177 = 3 \\cdot 59\\), a \\(75 = 3 \\cdot 25\\), więc:\n\n\\[a = \\frac{3 \\cdot 59 \\cdot 100}{3 \\cdot 25} = \\frac{59 \\cdot 100}{25} = 59 \\cdot 4 = 236\\]\n\n**Różnica:** \\(b - a = 300 - 236 = \\mathbf{64}\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne: \\(p\\%\\) liczby \\(x\\) to \\(\\frac{p}{100} \\cdot x\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Policzono \\(b - a = 64\\), ale jako \\(b - a = 26\\) - błąd arytmetyczny przy dzieleniu: np. \\(\\frac{177}{0{,}59}\\) obliczono niepoprawnie |\n| C | Odwrócono kolejność: obliczono \\(a - b\\) zamiast \\(b - a\\), dostając \\(-64\\), po czym wzięto wartość bezwzględną 64, ale zapisano jako \\(a - b = 26\\) |\n| D | Odwrócono kolejność odejmowania - obliczono \\(a - b = 236 - 300 = -64\\), a potem wzięto \\(|{-64}| = 64\\), ale zapisano jako \\(a - b\\) zamiast \\(b - a\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pomylić kierunek różnicy - skoro \\(b\\) daje \\(177\\) przy **mniejszym** procencie (\\(59\\% < 75\\%\\)), to \\(b\\) **musi być większe** od \\(a\\). Zawsze sprawdź: mniejszy procent → większa liczba wyjściowa.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy dzieleniu \\(\\frac{177}{0{,}59}\\) - zamiast liczyć na kalkulatorze, warto uprościć: \\(177 = 3 \\cdot 59\\), więc \\(\\frac{177}{59} = 3\\), a całość to \\(3 \\cdot 100 = 300\\). Szukaj takich uproszczeń!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie myl \\(p\\%\\) liczby \\(x\\) (wynik to \\(\\frac{p}{100} \\cdot x\\)) z \"liczba, której \\(p\\%\\) to \\(x\\)\" (tu dzielimy: \\(\\frac{x \\cdot 100}{p}\\)). W tym zadaniu mamy ten drugi przypadek!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\)\nZ warunków:\n\\[0{,}75a = 177 \\Rightarrow a = \\dfrac{177}{0{,}75} = 236,\\]\n\\[0{,}59b = 177 \\Rightarrow b = \\dfrac{177}{0{,}59} = 300.\\]\nZatem \\(b - a = 300 - 236 = 64\\).\n\n### Sposób 2 - Obliczenia z ułamków\n\\(a = \\dfrac{177\\cdot 100}{75} = \\dfrac{17700}{75} = 236\\).\n\\(b = \\dfrac{177\\cdot 100}{59} = \\dfrac{17700}{59} = 300\\).\nRóżnica: \\(300 - 236 = 64\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(26\\)** - błąd rachunkowy.\n- **C, D.** \\(a < b\\) (bo \\(75\\% > 59\\%\\) przy tej samej wartości \\(177\\)), więc \\(a - b\\) jest ujemne.\n\n**Kluczowa obserwacja:** mniejszy procent → większa liczba (przy tej samej wartości procenta).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (1 pkt)<br>W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była<br>równa 4%. Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów<br>o 1 punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku<br>zmniejszyła się o<br>A. 1%<br>B. 25%<br>C. 33%<br>D. 75%</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.</p>\n<ol><li>Liczby rzeczywiste. Zdający stosuje pojęcie</li></ol>\n<p>procentu i punktu procentowego<br>w obliczeniach (1.d).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>B<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\(b - a = 64\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Równanie procentowe</h4>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(a\\) z pierwszego warunku:</strong></p>\n<p>\\(75\\%\\) liczby \\(a\\) równa się \\(177\\), czyli:<br>\\[\\frac{75}{100} \\cdot a = 177\\]<br>\\[0{,}75a = 177\\]<br>\\[a = \\frac{177}{0{,}75} = \\frac{177 \\cdot 4}{3} = \\frac{708}{3} = 236\\]</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(b\\) z drugiego warunku:</strong></p>\n<p>\\(59\\%\\) liczby \\(b\\) równa się \\(177\\), czyli:<br>\\[\\frac{59}{100} \\cdot b = 177\\]<br>\\[0{,}59b = 177\\]<br>\\[b = \\frac{177}{0{,}59} = \\frac{17700}{59} = 300\\]</p>\n<p><strong>Obliczamy różnicę:</strong><br>\\[b - a = 300 - 236 = \\mathbf{64}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez ułamek wspólnej wartości</h4>\n<p>Zauważamy, że obie liczby dają ten sam wynik (\\(177\\)) przy różnych procentach. Możemy od razu zapisać:</p>\n<p>\\[a = \\frac{177}{\\frac{75}{100}} = 177 \\cdot \\frac{100}{75} = 177 \\cdot \\frac{4}{3} = 59 \\cdot 4 = 236\\]</p>\n<p>\\[b = \\frac{177}{\\frac{59}{100}} = 177 \\cdot \\frac{100}{59} = 3 \\cdot 100 = 300\\]</p>\n<p>Skróty: \\(\\frac{177}{75} = \\frac{177}{75}\\) - zauważmy, że \\(177 = 59 \\cdot 3\\), więc:</p>\n<p>\\[b = \\frac{59 \\cdot 3 \\cdot 100}{59} = 300\\]</p>\n<p>Natomiast \\(177 = 3 \\cdot 59\\), a \\(75 = 3 \\cdot 25\\), więc:</p>\n<p>\\[a = \\frac{3 \\cdot 59 \\cdot 100}{3 \\cdot 25} = \\frac{59 \\cdot 100}{25} = 59 \\cdot 4 = 236\\]</p>\n<p><strong>Różnica:</strong> \\(b - a = 300 - 236 = \\mathbf{64}\\)</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja procentu i podstawowe działania arytmetyczne: \\(p\\%\\) liczby \\(x\\) to \\(\\frac{p}{100} \\cdot x\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Policzono \\(b - a = 64\\), ale jako \\(b - a = 26\\) - błąd arytmetyczny przy dzieleniu: np. \\(\\frac{177}{0{,}59}\\) obliczono niepoprawnie |<br>| C | Odwrócono kolejność: obliczono \\(a - b\\) zamiast \\(b - a\\), dostając \\(-64\\), po czym wzięto wartość bezwzględną 64, ale zapisano jako \\(a - b = 26\\) |<br>| D | Odwrócono kolejność odejmowania - obliczono \\(a - b = 236 - 300 = -64\\), a potem wzięto \\(|{-64}| = 64\\), ale zapisano jako \\(a - b\\) zamiast \\(b - a\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo pomylić kierunek różnicy - skoro \\(b\\) daje \\(177\\) przy <strong>mniejszym</strong> procencie (\\(59\\% &lt; 75\\%\\)), to \\(b\\) <strong>musi być większe</strong> od \\(a\\). Zawsze sprawdź: mniejszy procent → większa liczba wyjściowa.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy dzieleniu \\(\\frac{177}{0{,}59}\\) - zamiast liczyć na kalkulatorze, warto uprościć: \\(177 = 3 \\cdot 59\\), więc \\(\\frac{177}{59} = 3\\), a całość to \\(3 \\cdot 100 = 300\\). Szukaj takich uproszczeń!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie myl \\(p\\%\\) liczby \\(x\\) (wynik to \\(\\frac{p}{100} \\cdot x\\)) z &quot;liczba, której \\(p\\%\\) to \\(x\\)&quot; (tu dzielimy: \\(\\frac{x \\cdot 100}{p}\\)). W tym zadaniu mamy ten drugi przypadek!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wyznaczenie \\(a\\) i \\(b\\)</h5>\n<p>Z warunków:<br>\\[0{,}75a = 177 \\Rightarrow a = \\dfrac{177}{0{,}75} = 236,\\]<br>\\[0{,}59b = 177 \\Rightarrow b = \\dfrac{177}{0{,}59} = 300.\\]<br>Zatem \\(b - a = 300 - 236 = 64\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Obliczenia z ułamków</h5>\n<p>\\(a = \\dfrac{177\\cdot 100}{75} = \\dfrac{17700}{75} = 236\\).<br>\\(b = \\dfrac{177\\cdot 100}{59} = \\dfrac{17700}{59} = 300\\).<br>Różnica: \\(300 - 236 = 64\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(26\\)</strong> - błąd rachunkowy.</li><li><strong>C, D.</strong> \\(a &lt; b\\) (bo \\(75\\% &gt; 59\\%\\) przy tej samej wartości \\(177\\)), więc \\(a - b\\) jest ujemne.</li></ul>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> mniejszy procent → większa liczba (przy tej samej wartości procenta).</p>"}]}