Zadanie 30. (2 pkt)
Ze zbioru liczb {
}
1, 2, 3, 4, 5 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest
liczbą nieparzystą.
Odpowiedź:
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 30. (0-2)
III. Modelowanie
matematyczne.
i kombinatoryka. Zdający wykorzystuje własności
prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna
definicja prawdopodobieństwa do obliczania
prawdopodobieństw zdarzeń (10.d).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A:
9
( )
25
P A =
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy
• obliczy liczbę wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych:
25
25
Ω =
albo
• obliczy (zaznaczy poprawnie w tabeli) liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających
zdarzeniu A :
9
A =
i nie wskazuje przy tym niepoprawnych zdarzeń elementarnych
sprzyjających zdarzeniu A,
albo
• zapisze
przy
stosowaniu
drzewa
probabilistycznego
na
dwóch
etapach
prawdopodobieństwa potrzebne do wyznaczenia końcowego wyniku oraz wskaże
wszystkie sytuacje sprzyjające rozważanemu zdarzeniu,
albo
• wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A lub wypisze
wszystkie zdarzenia elementarne
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Uwagi
dużo, ale nie wypisze żadnej niewłaściwej i konsekwentnie do popełnionego błędu obliczy
prawdopodobieństwo, to otrzymuje 1 punkt.
( )
1
lub
( )
0
P A
P A
<
, to otrzymuje
za całe rozwiązanie 0 punktów, o ile końcowy wynik nie jest skutkiem błędu
w działaniach na ułamkach.
odpowiada sytuacjom sprzyjającym rozważanemu zdarzeniu, i zdający pominie jedną
z takich gałęzi, to może otrzymać 1 punkt, jeśli doprowadzi rozumowanie do końca.
9
( )
25
P A
, to otrzymuje 1 punkt.
9
A =
,
25
Ω =
,
9
( )
25
P A
, to otrzymuje 2 punkty.
3 3
( )
5 5
P A =
⋅
, to otrzymuje 2 punkty.
Przykładowe rozwiązania
I sposób (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Zdarzeniami elementarnymi w przestrzeni Ω są wszystkie pary liczb (
)
,a b , gdzie
{
}
,
1, 2, 3, 4, 5
a b∈
Jest to model klasyczny. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa
5 5
25
Ω = ⋅=
Obliczamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A polegającym
na otrzymaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą, np. wypisując je i zliczając:
(
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
)
{
}
1,1 , 1,3 , 1,5 , 3,1 , 3,3 , 3,5 , 5,1 , 5,3 , 5,5
A =
Liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A jest więc równa 9.
Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe:
( )
9
25
P A =
II sposób (metoda tabeli)
Wszystkie zdarzenia elementarne możemy
przedstawić w postaci kwadratowej tablicy.
albo
Stąd
5 5
25
Ω = ⋅=
Jest to model klasyczny.
Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu A są pary liczb, których iloczyn jest
liczbą nieparzystą. Są to wszystkie pary liczb wyróżnione w pierwszej tablicy lub zaznaczone
w drugiej.
Jest ich 9. Zatem
( )
9
25
P A =
(
)
1,1 (
)
1,2 (
)
1,3
(
)
1,4
(
)
1,5
(
)
2,1 (
)
2,2 (
)
2,3 (
)
2,4 (
)
2,5
(
)
3,1 (
)
3,2 (
)
3,3
(
)
3,4 (
)
3,5
(
)
4,1 (
)
4,2 (
)
4,3 (
)
4,4 (
)
4,5
(
)
5,1 (
)
5,2 (
)
5,3
(
)
5,4 (
)
5,5
1 2
3 4 5
1
X
X
X
2
3
X
X
X
4
5
X
X
X
III sposób (metoda drzewka)
Przedstawiamy model graficzny doświadczenia.
P - oznacza liczbę parzystą, N - nieparzystą.
Iloczyn dwóch liczb naturalnych jest nieparzysty, jeśli obie liczby są nieparzyste.
W rozważanym doświadczeniu, by zaszło interesujące nas zdarzenie, musimy wylosować dwie
liczby nieparzyste. Do wyznaczenia poszukiwanego prawdopodobieństwa wystarczy zatem
wymnożyć liczby z gałęzi narysowanego drzewa, odpowiadające sytuacji: N-N.
Czyli
( )
3 3
9
5 5
25
⋅
P A
P
N
P
N
P
N
3
5
3
5
3
5
2
5
2
5
2
5
Prawdopodobieństwo zdarzenia \\(A\\) wynosi \\(\\frac{5}{18}\\).
\nKrok 1: Określamy przestrzeń zdarzeń elementarnych \\(\\Omega\\)
\nLiczby naturalne dwucyfrowe to liczby od 10 do 99. Liczymy ich ilość:
\n\\[|\\Omega| = 99 - 10 + 1 = 90\\]
\nKrok 2: Zliczamy przypadki sprzyjające zdarzeniu \\(A\\)
\nSzukamy liczb, w których:
\nPonieważ oba warunki są jednoczesne i niezależne, korzystamy z zasady mnożenia:
\n\\[|A| = 5 \\cdot 5 = 25\\]
\nPrzykłady takich liczb: \\(10, 12, 14, \\ldots, 30, 32, \\ldots, 98\\).
\nKrok 3: Obliczamy prawdopodobieństwo
\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{25}{90} = \\frac{5}{18}\\]
\nMożemy myśleć o tym strukturalnie: każda liczba dwucyfrowa jest parą \\((d, j)\\), gdzie \\(d \\in \\{1, 2, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra dziesiątek) i \\(j \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\}\\) (cyfra jedności).
\nWszystkich par: \\(9 \\cdot 10 = 90\\) ✓
\nPrawdopodobieństwo, że cyfra dziesiątek jest nieparzysta:
\n\\[P(d \\in \\{1,3,5,7,9\\}) = \\frac{5}{9}\\]
\nPrawdopodobieństwo, że cyfra jedności jest parzysta:
\n\\[P(j \\in \\{0,2,4,6,8\\}) = \\frac{5}{10} = \\frac{1}{2}\\]
\nPonieważ wybór cyfry dziesiątek i jedności są niezależne:
\n\\[P(A) = \\frac{5}{9} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{5}{18}\\]
\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓
\nDział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Zastosowanie: podzieliliśmy liczbę przypadków sprzyjających (25) przez liczbę wszystkich możliwych wyników (90).
To zadanie otwarte (obliczeniowe), ale typowe błędy prowadzą do konkretnych złych wyników:
\n| Błędny wynik | Skąd pochodzi błąd |
| \\(\\frac{25}{99}\\) | Liczenie liczb naturalnych dwucyfrowych jako \\(1\\) do \\(99\\) (włączenie jednocyfrowych albo pominięcie \\(-9\\)) |
| \\(\\frac{25}{100}\\) | Przyjęcie \\(|\\Omega| = 100\\) (od \\(0\\) do \\(99\\), czyli włączenie zera) |
| \\(\\frac{10}{90} = \\frac{1}{9}\\) | Policzenie tylko \\(5 + 5 = 10\\) zamiast \\(5 \\times 5 = 25\\) (sumowanie zamiast mnożenia) |
| \\(\\frac{45}{90} = \\frac{1}{2}\\) | Policzenie wszystkich liczb z parzystą cyfrą jedności, bez warunku na cyfrę dziesiątek |
⚠️ Uwaga: Liczby dwucyfrowe to 10-99, czyli 90 liczb, nie 99 ani 100! Łatwo pomylić, gdy liczymy "od 1 do 99".\n
⚠️ Uwaga: Dwa niezależne warunki ("cyfra dziesiątek ORAZ cyfra jedności") łączymy mnożeniem \\(5 \\times 5 = 25\\), nie dodawaniem \\(5 + 5 = 10\\). Dodawanie stosuje się do zdarzeń wykluczających się nawzajem.\n
⚠️ Uwaga: Zero (\\(0\\)) jest cyfrą parzystą - należy do zbioru \\(\\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\). Nie pomijaj go przy liczeniu cyfr jedności!\n
Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{5}{18}\\).
\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary liczb \\((a, b)\\), gdzie \\(a\\) to cyfra dziesiątek, \\(b\\) - cyfra jedności:
\\[a \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\}, \\quad b \\in \\{0, 1, 2, \\ldots, 9\\}.\\]
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych:
\\[|\\Omega| = 9\\cdot 10 = 90.\\]
Liczba zdarzeń sprzyjających \\(A\\): \\(a \\in \\{1, 3, 5, 7, 9\\}\\) (5 możliwości), \\(b \\in \\{0, 2, 4, 6, 8\\}\\) (5 możliwości):
\\[|A| = 5\\cdot 5 = 25.\\]
Prawdopodobieństwo:
\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{25}{90} = \\dfrac{5}{18}.\\]
Etap 1 - cyfra dziesiątek:
\nEtap 2 - cyfra jedności:
\n\\[P(A) = \\dfrac{5}{9}\\cdot \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{5}{18}.\\]
\nTablica \\(9 \\times 10\\) (dziesiątki \\(\\times\\) jedności) = 90 komórek. Zaznaczamy 5 wierszy (\\(a\\) nieparzyste) \\(\\times\\) 5 kolumn (\\(b\\) parzyste) = 25 komórek zaznaczonych.
\\(P(A) = \\dfrac{25}{90} = \\dfrac{5}{18}\\).
Kluczowe: liczb dwucyfrowych jest 90 (od 10 do 99), a nie 100.
"}]}