{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (2 pkt)\nW trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu\nma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze\n(zobacz rysunek). Oblicz\ndługość przekątnej BD tego trapezu.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n30.\n31.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n30°\nD\nC\nA\nB\n4\n8\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n7. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach\npłaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również\nw zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym. (7.c).\nSchemat punktowania\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy długość przekątnej BD trapezu:\n68\n2 17\nBD =\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy zapisze wysokość trapezu:\n2\nAD =\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nUwagi\n1. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu wysokości trapezu popełni błąd polegający na\nniepoprawnym zastosowaniu definicji funkcji trygonometrycznej lub niewłaściwym\nzinterpretowaniu zależności między długościami boków w trójkącie „30° , 60° , 90° ”,\nlub zastosowaniu niewłaściwego wzoru z sinusem kąta na pole trójkąta, to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający przedstawi poprawny sposób obliczenia wysokości trapezu, popełni błąd przy\nwyznaczaniu tej wysokości, ale otrzyma jako wysokość trapezu liczbę dodatnią, to może\notrzymać 1 punkt, za konsekwentne wyznaczenie długości przekątnej BD.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ\n30\n°\nACD\n, więc trójkąt ACD jest połową trójkąta równobocznego. Zatem\n1\n1\n2\n2 4\n2\n⋅\n⋅\nAD\nAC\nTrójkąt ABD jest prostokątny, więc możemy wykorzystać zależność z twierdzenia Pitagorasa\n2\n2\n2\nBD\nAD\nAB .\nStąd otrzymujemy\n2\n2\n2\n2\n8\n68\nBD\nZatem\n68\n2 17\nBD\nUwaga\nWysokość AD trapezu można wyznaczyć także innymi metodami.\n1. Z pola trójkąta ABC, wyznaczonego na dwa sposoby, np.: 1\n1\n2\n2\n8 4 sin30\n8\n⋅⋅⋅\n° =\n⋅⋅AD .\n2. Z funkcji trygonometrycznej kąta w trójkącie ACD, np.:\nsin30\n°\nAD\nAC","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(y = -3x - \\dfrac{65}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Własność prostopadłości przekątnych rombu\n\n**Kluczowy fakt o rombie:** Przekątne rombu są **prostopadłe** i **bisekują się nawzajem** - punkt S jest środkiem obu przekątnych.\n\n**Krok 1: Wyznacz nachylenie prostej AC.**\n\nProsta \\(AC\\) ma równanie \\(y = \\dfrac{1}{3}x + \\dfrac{5}{2}\\), więc jej współczynnik kierunkowy:\n\\[a_{AC} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Krok 2: Sprawdź, czy S leży na prostej AC (kontrola danych).**\n\nPodstawiamy \\(x = -\\dfrac{21}{2}\\):\n\\[y = \\frac{1}{3} \\cdot \\left(-\\frac{21}{2}\\right) + \\frac{5}{2} = -\\frac{21}{6} + \\frac{5}{2} = -\\frac{7}{2} + \\frac{5}{2} = -\\frac{2}{2} = -1\\]\n\nPunkt \\(S = \\left(-\\dfrac{21}{2},\\, -1\\right)\\) leży na prostej AC - zgodnie z oczekiwaniem (jest środkiem AC). ✓\n\n**Krok 3: Wyznacz nachylenie prostej BD.**\n\nPonieważ \\(AC \\perp BD\\), a warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\):\n\\[a_{BD} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -\\frac{1}{\\tfrac{1}{3}} = -3\\]\n\n**Krok 4: Napisz równanie prostej BD.**\n\nProsta BD przechodzi przez \\(S = \\left(-\\dfrac{21}{2},\\, -1\\right)\\) z nachyleniem \\(-3\\):\n\\[y - (-1) = -3\\left(x - \\left(-\\frac{21}{2}\\right)\\right)\\]\n\\[y + 1 = -3\\left(x + \\frac{21}{2}\\right)\\]\n\\[y + 1 = -3x - \\frac{63}{2}\\]\n\\[y = -3x - \\frac{63}{2} - 1 = -3x - \\frac{63}{2} - \\frac{2}{2}\\]\n\n\\[\\boxed{y = -3x - \\frac{65}{2}}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktu S\n\nUpewniamy się, że wzór końcowy jest poprawny, sprawdzając dwa warunki niezależnie:\n\n**Warunek 1:** Prosta BD ma nachylenie \\(-3\\), prosta AC ma nachylenie \\(\\dfrac{1}{3}\\). Iloczyn:\n\\[-3 \\cdot \\frac{1}{3} = -1\\]\nProste są prostopadłe. ✓\n\n**Warunek 2:** Punkt \\(S = \\left(-\\dfrac{21}{2},\\, -1\\right)\\) leży na prostej \\(y = -3x - \\dfrac{65}{2}\\):\n\\[-3 \\cdot \\left(-\\frac{21}{2}\\right) - \\frac{65}{2} = \\frac{63}{2} - \\frac{65}{2} = -\\frac{2}{2} = -1\\]\nZgadza się. ✓\n\nOba warunki spełnione - odpowiedź jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n1. Warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\nUżyliśmy do wyznaczenia nachylenia BD z nachylenia AC.\n\n2. Równanie prostej przechodzącej przez punkt \\((x_0, y_0)\\) o nachyleniu \\(a\\):\n\\[y - y_0 = a(x - x_0)\\]\nUżyliśmy w Kroku 4 do zapisania równania prostej BD.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to obliczenie nachylenia prostej prostopadłej jako \\(a_2 = a_1\\) (przepisanie) lub jako \\(a_2 = \\frac{1}{a_1} = 3\\) (bez zmiany znaku). Zawsze: \\(a_2 = -\\frac{1}{a_1}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź na początku, czy punkt S leży na prostej AC - jeśli nie leży, dane zadania są niespójne. Tu leży, więc wszystko gra.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyliczaniu wyrazu wolnego uważaj na ułamki - łatwo o błąd przy \\(-\\dfrac{63}{2} - 1\\). Pamiętaj, że \\(1 = \\dfrac{2}{2}\\), więc wynik to \\(-\\dfrac{65}{2}\\), nie \\(-\\dfrac{63}{2} - 1 = -\\dfrac{64}{2}\\).\n\n**Odpowiedź:** \\(y = -3x - \\dfrac{65}{2}\\).\n\n### Sposób 1 - Prostopadłość przekątnych rombu\nPrzekątne rombu są prostopadłe, więc prosta \\(BD\\) jest prostopadła do \\(AC\\). Prosta \\(AC\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_{AC} = \\tfrac{1}{3}\\).\n\nWarunek prostopadłości: \\(a_{BD}\\cdot a_{AC} = -1\\), więc:\n\\[a_{BD} = -\\dfrac{1}{\\tfrac{1}{3}} = -3.\\]\n\nProsta \\(BD\\) ma postać \\(y = -3x + b\\) i przechodzi przez punkt \\(S = \\left(-\\tfrac{21}{2}, -1\\right)\\) (bo przekątne rombu przecinają się w punkcie wspólnym środkowym):\n\\[-1 = -3\\cdot \\left(-\\dfrac{21}{2}\\right) + b,\\]\n\\[-1 = \\dfrac{63}{2} + b,\\]\n\\[b = -1 - \\dfrac{63}{2} = -\\dfrac{2}{2} - \\dfrac{63}{2} = -\\dfrac{65}{2}.\\]\n\nZatem równanie prostej \\(BD\\):\n\\[\\boxed{y = -3x - \\dfrac{65}{2}.}\\]\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(x = -\\tfrac{21}{2}\\): \\(y = -3\\cdot(-\\tfrac{21}{2}) - \\tfrac{65}{2} = \\tfrac{63}{2} - \\tfrac{65}{2} = -1\\) ✓. Punkt \\(S\\) leży na prostej.\nWspółczynnik kierunkowy \\(-3\\) spełnia \\((-3)\\cdot \\tfrac{1}{3} = -1\\) - prostopadłość ✓.\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** poprawne zapisanie współczynnika kierunkowego \\(a = -3\\).\n- **2 pkt:** wyznaczenie pełnego równania \\(y = -3x - \\tfrac{65}{2}\\).\n\n**Własność rombu:** przekątne są wzajemnie prostopadłymi symetralnymi - przecinają się w środku i są prostopadłe.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (2 pkt)
W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 8. Przekątna AC tego trapezu
ma długość 4 i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze
(zobacz rysunek). Oblicz
długość przekątnej BD tego trapezu.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
30.
31.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
30°
D
C
A
B
4
8

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Planimetria. Zdający znajduje związki miarowe w figurach
\n

płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również
w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym. (7.c).
Schemat punktowania
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy obliczy długość przekątnej BD trapezu:
68
2 17
BD =
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy zapisze wysokość trapezu:
2
AD =
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający przy wyznaczaniu wysokości trapezu popełni błąd polegający na
\n

niepoprawnym zastosowaniu definicji funkcji trygonometrycznej lub niewłaściwym
zinterpretowaniu zależności między długościami boków w trójkącie „30° , 60° , 90° ”,
lub zastosowaniu niewłaściwego wzoru z sinusem kąta na pole trójkąta, to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli zdający przedstawi poprawny sposób obliczenia wysokości trapezu, popełni błąd przy
\n

wyznaczaniu tej wysokości, ale otrzyma jako wysokość trapezu liczbę dodatnią, to może
otrzymać 1 punkt, za konsekwentne wyznaczenie długości przekątnej BD.
Przykładowe rozwiązanie
Ponieważ
30
°
ACD
, więc trójkąt ACD jest połową trójkąta równobocznego. Zatem
1
1
2
2 4
2
⋅
⋅
AD
AC
Trójkąt ABD jest prostokątny, więc możemy wykorzystać zależność z twierdzenia Pitagorasa
2
2
2
BD
AD
AB .
Stąd otrzymujemy
2
2
2
2
8
68
BD
Zatem
68
2 17
BD
Uwaga
Wysokość AD trapezu można wyznaczyć także innymi metodami.

\n
  1. Z pola trójkąta ABC, wyznaczonego na dwa sposoby, np.: 1
\n

1
2
2
8 4 sin30
8
⋅⋅⋅
° =
⋅⋅AD .

\n
  1. Z funkcji trygonometrycznej kąta w trójkącie ACD, np.:
\n

sin30
°
AD
AC

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(y = -3x - \\dfrac{65}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Własność prostopadłości przekątnych rombu

\n

Kluczowy fakt o rombie: Przekątne rombu są prostopadłe i bisekują się nawzajem - punkt S jest środkiem obu przekątnych.

\n

Krok 1: Wyznacz nachylenie prostej AC.

\n

Prosta \\(AC\\) ma równanie \\(y = \\dfrac{1}{3}x + \\dfrac{5}{2}\\), więc jej współczynnik kierunkowy:
\\[a_{AC} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Krok 2: Sprawdź, czy S leży na prostej AC (kontrola danych).

\n

Podstawiamy \\(x = -\\dfrac{21}{2}\\):
\\[y = \\frac{1}{3} \\cdot \\left(-\\frac{21}{2}\\right) + \\frac{5}{2} = -\\frac{21}{6} + \\frac{5}{2} = -\\frac{7}{2} + \\frac{5}{2} = -\\frac{2}{2} = -1\\]

\n

Punkt \\(S = \\left(-\\dfrac{21}{2},\\, -1\\right)\\) leży na prostej AC - zgodnie z oczekiwaniem (jest środkiem AC). ✓

\n

Krok 3: Wyznacz nachylenie prostej BD.

\n

Ponieważ \\(AC \\perp BD\\), a warunek prostopadłości to \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\):
\\[a_{BD} = -\\frac{1}{a_{AC}} = -\\frac{1}{\\tfrac{1}{3}} = -3\\]

\n

Krok 4: Napisz równanie prostej BD.

\n

Prosta BD przechodzi przez \\(S = \\left(-\\dfrac{21}{2},\\, -1\\right)\\) z nachyleniem \\(-3\\):
\\[y - (-1) = -3\\left(x - \\left(-\\frac{21}{2}\\right)\\right)\\]
\\[y + 1 = -3\\left(x + \\frac{21}{2}\\right)\\]
\\[y + 1 = -3x - \\frac{63}{2}\\]
\\[y = -3x - \\frac{63}{2} - 1 = -3x - \\frac{63}{2} - \\frac{2}{2}\\]

\n

\\[\\boxed{y = -3x - \\frac{65}{2}}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie punktu S

\n

Upewniamy się, że wzór końcowy jest poprawny, sprawdzając dwa warunki niezależnie:

\n

Warunek 1: Prosta BD ma nachylenie \\(-3\\), prosta AC ma nachylenie \\(\\dfrac{1}{3}\\). Iloczyn:
\\[-3 \\cdot \\frac{1}{3} = -1\\]
Proste są prostopadłe. ✓

\n

Warunek 2: Punkt \\(S = \\left(-\\dfrac{21}{2},\\, -1\\right)\\) leży na prostej \\(y = -3x - \\dfrac{65}{2}\\):
\\[-3 \\cdot \\left(-\\frac{21}{2}\\right) - \\frac{65}{2} = \\frac{63}{2} - \\frac{65}{2} = -\\frac{2}{2} = -1\\]
Zgadza się. ✓

\n

Oba warunki spełnione - odpowiedź jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n
  1. Warunek prostopadłości prostych o równaniach kierunkowych:
\n

\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]
Użyliśmy do wyznaczenia nachylenia BD z nachylenia AC.

\n
  1. Równanie prostej przechodzącej przez punkt \\((x_0, y_0)\\) o nachyleniu \\(a\\):
\n

\\[y - y_0 = a(x - x_0)\\]
Użyliśmy w Kroku 4 do zapisania równania prostej BD.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to obliczenie nachylenia prostej prostopadłej jako \\(a_2 = a_1\\) (przepisanie) lub jako \\(a_2 = \\frac{1}{a_1} = 3\\) (bez zmiany znaku). Zawsze: \\(a_2 = -\\frac{1}{a_1}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź na początku, czy punkt S leży na prostej AC - jeśli nie leży, dane zadania są niespójne. Tu leży, więc wszystko gra.
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyliczaniu wyrazu wolnego uważaj na ułamki - łatwo o błąd przy \\(-\\dfrac{63}{2} - 1\\). Pamiętaj, że \\(1 = \\dfrac{2}{2}\\), więc wynik to \\(-\\dfrac{65}{2}\\), nie \\(-\\dfrac{63}{2} - 1 = -\\dfrac{64}{2}\\).
\n

Odpowiedź: \\(y = -3x - \\dfrac{65}{2}\\).

\n
Sposób 1 - Prostopadłość przekątnych rombu
\n

Przekątne rombu są prostopadłe, więc prosta \\(BD\\) jest prostopadła do \\(AC\\). Prosta \\(AC\\) ma współczynnik kierunkowy \\(a_{AC} = \\tfrac{1}{3}\\).

\n

Warunek prostopadłości: \\(a_{BD}\\cdot a_{AC} = -1\\), więc:
\\[a_{BD} = -\\dfrac{1}{\\tfrac{1}{3}} = -3.\\]

\n

Prosta \\(BD\\) ma postać \\(y = -3x + b\\) i przechodzi przez punkt \\(S = \\left(-\\tfrac{21}{2}, -1\\right)\\) (bo przekątne rombu przecinają się w punkcie wspólnym środkowym):
\\[-1 = -3\\cdot \\left(-\\dfrac{21}{2}\\right) + b,\\]
\\[-1 = \\dfrac{63}{2} + b,\\]
\\[b = -1 - \\dfrac{63}{2} = -\\dfrac{2}{2} - \\dfrac{63}{2} = -\\dfrac{65}{2}.\\]

\n

Zatem równanie prostej \\(BD\\):
\\[\\boxed{y = -3x - \\dfrac{65}{2}.}\\]

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie
\n

Dla \\(x = -\\tfrac{21}{2}\\): \\(y = -3\\cdot(-\\tfrac{21}{2}) - \\tfrac{65}{2} = \\tfrac{63}{2} - \\tfrac{65}{2} = -1\\) ✓. Punkt \\(S\\) leży na prostej.
Współczynnik kierunkowy \\(-3\\) spełnia \\((-3)\\cdot \\tfrac{1}{3} = -1\\) - prostopadłość ✓.

\n
Schemat punktowania CKE
\n\n

Własność rombu: przekątne są wzajemnie prostopadłymi symetralnymi - przecinają się w środku i są prostopadłe.

"}]}