Zadanie 32. (4 pkt)
Ciąg arytmetyczny
jest określony dla każdej liczby naturalnej
. Różnicą tego
ciągu jest liczba
4
r = -, a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu:
,
,
,
,
,
, jest równa 16.
a) Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
b) Oblicz liczbę k, dla której
78.
k
a = -
(
)
n
a
1
≥
n
1a
2a
3a
4a
5a
6a
Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
32.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
Poziom podstawowy
MMA_1P
Zadanie 32. (0-4)
III. Modelowanie
matematyczne.
początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu
geometrycznego, również umieszczone w kontekście
praktycznym (5.c).
Schemat punktowania
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy k:
27
k
Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą k, które wynika ze wzoru na k-ty wyraz ciągu
arytmetycznego:
(
)
26
(
1)
4
78
⋅-
k
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający obliczy pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego:
1
26
a =
i na tym zakończy lub
w dalszej części rozwiązania stosuje niepoprawny wzór na wyraz
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do pełnego rozwiązania 1 p.
Zdający
• zapisze równanie
albo
• wykorzysta wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego i zapisze wszystkie wyrazy:
,
,
,
,
, w zależności od
1a i r np.:
2
1
a
a
r
3
1
2
a
a
r
,
4
1
3
a
a
r
,
5
1
4
a
a
r
,
6
1
5
a
a
r
,
albo
• zapisze, że
6
6 16
S =
⋅
,
albo
• zastosuje wzór na sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
i wyznaczy
6
S w zależności od
1a i r:
1
6
2
5
6
2
⋅
a
r
S
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Uwagi
to może otrzymać 3 punkty, o ile popełnione błędy nie ułatwiają rozważanego zagadnienia
na żadnym etapie rozwiązania, a uzyskana liczba k jest całkowita dodatnia.
wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie.
wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, to może otrzymać
co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
k
a
1
2
3
4
5
6
16
6
a
a
a
a
a
a
2a
3a
4a
5a
6a
n-ty wyraz ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe
rozwiązanie.
sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, to może otrzymać co najwyżej
2 punkty za całe rozwiązanie.
wzorze na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, to może otrzymać
co najwyżej 1 punkt za całe rozwiązanie.
, a następnie zapisze
, to otrzymuje
4 punkty.
warunki zadania (suma sześciu początkowych wyrazów jest równa 96 lub ich średnia
arytmetyczna jest równa 16) i zapisze poprawny ciąg: 26, 22, 18, 14, 10, 6 oraz zapisze
i
, to otrzymuje 4 punkty.
warunki zadania (suma sześciu początkowych wyrazów jest równa 96 lub ich średnia
arytmetyczna jest równa 16) i zapisze poprawny ciąg: 26, 22, 18, 14, 10, 6 oraz zapisze
albo
, to otrzymuje 2 punkty.
,
ale z zapisów zdającego nie można wywnioskować, że dokonuje sprawdzenia,
czy podany ciąg spełnia warunki zadania, to otrzymuje 1 punkt.
i
, to otrzymuje 0 punktów.
, a w drugiej części rozwiązania zapisze równanie
z niewiadomą k i popełni jeden błąd polegający na wpisaniu: zamiast liczby 78
liczby 78
albo zamiast liczby
4
26
, to może otrzymać
1 punkt za drugi etap.
a rozpoczyna rozwiązanie od zapisania zależności
3
4
16
2
a
a
bez stosownych objaśnień,
to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.
1
26
a =
27
k =
1
26
a =
27
k =
1
26
a =
27
k =
27
k =
1
26
a =
27
k =
1a
Przykładowe rozwiązanie
Z treści zadania otrzymujemy
1
2
3
4
5
6
16
6
a
a
a
a
a
a
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
16
6
a
a
a
a
a
a
,
1
6
60
16
6
a -
,
1
26
a =
W celu obliczenia liczby k stosujemy wzór na wyraz
i otrzymujemy:
(
)
26
(
1)
4
78
⋅-
k
, a stąd
27
k
Odpowiedź:
1
26
a =
,
27
k
k
a
Oznaczenia: pierwszy wyraz \\(a_1\\), różnica \\(d\\). Ciąg ma 40 wyrazów, więc wyrazów o numerach parzystych jest 20, o numerach nieparzystych też 20.
\nWyrażamy sumy przez \\(a_1\\) i \\(d\\):
\nWyrazy nieparzyste: \\(a_1,\\ a_3,\\ a_5,\\ \\ldots,\\ a_{39}\\) - to ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem \\(a_1\\) i różnicą \\(2d\\):
\n\\[S_{\\text{niep}} = \\sum_{k=1}^{20} a_{2k-1} = \\sum_{k=1}^{20}\\bigl(a_1 + (2k-2)d\\bigr) = 20a_1 + 2d\\cdot\\frac{19\\cdot 20}{2} = 20a_1 + 380d\\]
\nWyrazy parzyste: \\(a_2,\\ a_4,\\ \\ldots,\\ a_{40}\\) - ciąg arytmetyczny z pierwszym wyrazem \\(a_1 + d\\) i różnicą \\(2d\\):
\n\\[S_{\\text{par}} = \\sum_{k=1}^{20} a_{2k} = \\sum_{k=1}^{20}\\bigl(a_1 + (2k-1)d\\bigr) = 20a_1 + d\\cdot\\sum_{k=1}^{20}(2k-1) = 20a_1 + 400d\\]
\n(korzystamy z faktu, że \\(\\sum_{k=1}^{20}(2k-1) = 1+3+5+\\ldots+39 = 20^2 = 400\\))
\nUkład równań:
\n\\[\\begin{cases} 20a_1 + 380d = 1400 \\\\ 20a_1 + 400d = 1340 \\end{cases}\\]
\nOdejmujemy pierwsze od drugiego:
\n\\[20d = 1340 - 1400 = -60 \\implies \\boxed{d = -3}\\]
\nPodstawiamy do pierwszego równania:
\n\\[20a_1 + 380 \\cdot (-3) = 1400\\]
\\[20a_1 = 1400 + 1140 = 2540 \\implies \\boxed{a_1 = 127}\\]
Ostatni wyraz:
\n\\[a_{40} = a_1 + 39d = 127 + 39 \\cdot (-3) = 127 - 117 = \\boxed{10}\\]
\nKrok 1: wyznacz różnicę \\(d\\) z par \\((a_{2k}, a_{2k-1})\\)
\nKażde \\(a_{2k} - a_{2k-1} = d\\). Jest dokładnie 20 takich par (dla \\(k = 1, 2, \\ldots, 20\\)), więc:
\n\\[S_{\\text{par}} - S_{\\text{niep}} = 20d\\]
\\[20d = 1340 - 1400 = -60 \\implies d = -3\\]
Krok 2: wyznacz \\(a_1 + a_{40}\\) z sumy całego ciągu
\n\\[S_{40} = S_{\\text{niep}} + S_{\\text{par}} = 1400 + 1340 = 2740\\]
\nZe wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:
\n\\[S_{40} = \\frac{a_1 + a_{40}}{2} \\cdot 40 = 20(a_1 + a_{40}) = 2740\\]
\\[a_1 + a_{40} = 137\\]
Krok 3: wyznacz \\(a_{40}\\)
\nWiemy, że \\(a_{40} = a_1 + 39d\\), więc:
\n\\[a_1 + (a_1 + 39d) = 137\\]
\\[2a_1 + 39\\cdot(-3) = 137\\]
\\[2a_1 = 137 + 117 = 254 \\implies a_1 = 127\\]
\\[a_{40} = 137 - 127 = \\boxed{10}\\]
Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:
\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]
\nUżyty do wyrażenia \\(a_{40} = a_1 + 39d\\).
\nDział 8 (Ciągi, s. 9-10) - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów:
\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]
\nUżyty w Sposobie 2 do wyznaczenia \\(a_1 + a_{40}\\) z sumy całego ciągu.
\n⚠️ Uwaga: Wyrazów parzystych i nieparzystych jest po 20, nie 19 i 21! Ciąg ma 40 wyrazów, więc symetria jest idealna - tu łatwo się pomylić przy zliczaniu.\n
⚠️ Uwaga: \\(S_{\\text{par}} < S_{\\text{niep}}\\), choć wyrazy parzyste mają wyższe numery - to znaczy, że różnica \\(d\\) jest ujemna (ciąg maleje). Jeśli intuicyjnie oczekujesz \\(d > 0\\), sprawdź obliczenia.\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 1 łatwo pomylić \\(\\sum_{k=1}^{20}(2k-1) = 400\\) z \\(\\sum_{k=1}^{20}(2k-2) = 380\\). Skup się na tym, która suma dotyczy parzystych, a która nieparzystych - różnią się o dokładnie \\(20d\\).\n
Odpowiedź: \\(a_{40} = 10\\).
\nNiech \\(r\\) będzie różnicą ciągu \\((a_n)\\), a \\(a_1\\) - pierwszym wyrazem.
\nWyrazy parzyste \\((a_2, a_4, \\ldots, a_{40})\\) tworzą ciąg arytmetyczny: pierwszy wyraz \\(a_1 + r\\), różnica \\(2r\\), \\(20\\) wyrazów.
Suma:
\\[\\dfrac{2(a_1+r) + 19\\cdot 2r}{2}\\cdot 20 = (a_1 + r + 19r)\\cdot 20 = (a_1 + 20r)\\cdot 20 = 1340.\\]
Stąd \\(a_1 + 20r = 67\\).
Wyrazy nieparzyste \\((a_1, a_3, \\ldots, a_{39})\\): pierwszy \\(a_1\\), różnica \\(2r\\), \\(20\\) wyrazów.
Suma:
\\[(a_1 + 19r)\\cdot 20 = 1400 \\Rightarrow a_1 + 19r = 70.\\]
Układ równań:
\\[\\begin{cases} a_1 + 20r = 67 \\\\ a_1 + 19r = 70 \\end{cases}\\]
Odejmujemy: \\(r = 67 - 70 = -3\\).
Podstawiamy: \\(a_1 + 19\\cdot(-3) = 70 \\Rightarrow a_1 = 70 + 57 = 127\\).
Ostatni wyraz:
\\[a_{40} = a_1 + 39r = 127 + 39\\cdot(-3) = 127 - 117 = 10.\\]
Suma wyrazów parzystych \\(S_p\\) i nieparzystych \\(S_n\\):
\\[S_n - S_p = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + \\ldots + (a_{39} - a_{40}) = -20r.\\]
\\(1400 - 1340 = 60 = -20r \\Rightarrow r = -3\\).
Suma wszystkich wyrazów: \\(S_{40} = 1340 + 1400 = 2740\\):
\\[S_{40} = \\dfrac{a_1 + a_{40}}{2}\\cdot 40 = 2740 \\Rightarrow a_1 + a_{40} = 137.\\]
Z \\(a_{40} = a_1 + 39r = a_1 - 117\\): \\(2a_1 - 117 = 137 \\Rightarrow a_1 = 127\\), \\(a_{40} = 10\\).
Trik: \\(S_n - S_p = -20r\\) to najszybsza droga do wyznaczenia \\(r\\).
"}]}