{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"33","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (4 pkt)\nDany jest punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n. Prosta o równaniu\n3\ny\nx\njest symetralną odcinka\nAB Wyznacz\nwspółrzędne punktu .\nB\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P","answer":null,"answer_text":"Zadanie 33. (0-4)\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający podaje\nrównanie prostej w postaci Ax + By + C = 0 lub y = ax + b,\nmając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a\nw równaniu kierunkowym (8.b). Zdający interpretuje\ngeometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema\nniewiadomymi (8.d). Zdający wyznacza współrzędne środka\nodcinka (8.f).\nSchemat punktowania\nRozwiązanie pełne 4 p.\nZdający obliczy i zapisze współrzędne szukanego punktu B :\n102\n14\n,\n5\n5\nB\n\n\n\n\n\n\nPokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.\nZdający:\n• zapisze obie równości pozwalające obliczyć współrzędne szukanego punktu B , np.\n18\n6\n2\n5\nBx\ni 10\n18\n2\n5\nB\ny\nalbo\n• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające obliczyć współrzędną\nszukanego punktu B , np.\n3\n3\n4\n32 10\n5\n10\nx\nx + -\nlub\n(\n)\n3 12\n3\n32 10\n5\n10\ny\ny\nlub\n(\n)\n1\n3\n3\n64\n18\n10\nx\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.\nZdający:\n• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej przez punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n1\n3\n4\ny\nx\noraz obliczy odległość d punktu\n(\n)\n18,10\nA = -\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\n32 10\n5\nd =\nalbo\n• obliczy współrzędne środka odcinka AB:\n6\n5\nx =\ni\n18\n5\ny =\n,\nalbo\n• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej przez punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n1\n3\n4\ny\nx\noraz wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do\nsymetralnej odcinka AB:\n3\n64\ny\nx\ni na tym zakończy lub dalej popełni błędy.\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do\ncałkowitego rozwiązania zadania 1 p.\nZdający:\n• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej przez punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n1\n3\n4\ny\nx\nalbo\n• obliczy odległość d punktu\n(\n)\n18,10\nA = -\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\n32 10\n5\nd =\n,\nalbo\n• wyznaczy odległość punktu A od punktu należącego do symetralnej odcinka AB\nw zależności od jednej zmiennej, np.: (\n)\n(\n)\n2\n2\n18\n3\n10\nx\nx\n,\nalbo\n• wyznaczy współrzędne środka S odcinka AB w zależności od współrzędnych końca\nB odcinka AB:\n(\n)\n10\n18\n2\n2\n,\nB\nB\ny\nx\nS\n,\nalbo\n• wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do\nsymetralnej odcinka AB:\n3\n64\ny\nx\nUwagi\n1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania\ni konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie\nco najwyżej 3 punkty.\n2. Jeżeli jedynym błędem jest:\na) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AB, to zdający może otrzymać\nco najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nb) błąd przy wyznaczaniu b, polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu A,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nc) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych przy wyznaczaniu środka S,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\nd) błąd polegający na błędnym podstawieniu do wzoru na odległość punktu od prostej,\nto zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;\ne) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „\na\nb\na\nb\n”, to zdający\nmoże otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni przechodzącej\nprzez punkt A :\n1\n3\ny\nx\nb\nPunkt A należy do prostej\n1\n3\ny\nx\nb\n+ , więc\n(\n)\n1\n3\n10\n18\nb\n+ . Stąd\n4\nb =\nObliczamy współrzędne punktu S przecięcia prostej\n3\ny\nx\ni prostej AB:\n1\n3\n3\n4\ny\nx\ny\nx\n\n= -\n\nWtedy\n1\n3\n3\n4\nx\nx\nZatem\n6\n5\nx =\ni\n18\n5\ny =\n, czyli\n6 18\n,\n5\n5\nS\n\n\n= \n\n\n\nPonieważ punkt S jest środkiem odcinka AB , więc\n18\n6\n2\n5\nBx\ni 10\n18\n2\n5\nB\ny\nStąd\n102\n5\nB\nx =\ni\n14\n5\nB\ny = -\n, czyli\n102\n14\n,\n5\n5\nB\n\n\n\n\n\n\nII sposób („odległość punktu od prostej”)\nRównanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt A ma postać:\n1\n3\ny\nx\nb\nWtedy\n(\n)\n1\n3\n10\n18\nb\n+ , stąd\n4\nb =\n. Zatem równanie prostej AB ma postać:\n1\n3\n4\ny\nx\nPunkt B należy do tej prostej, więc\n(\n)\n1\n3\n,\n4\nB\nx\nx\nObliczamy odległość punktu A od prostej o równaniu\n3\ny\nx\n:\n(\n)\n3\n18\n1 10\n32 10\n5\n10\n⋅-\n-⋅\nPonieważ prosta o równaniu\n3\ny\nx\njest symetralną odcinka AB, więc odległość punktu\n(\n)\n1\n3\n,\n4\nB\nx\nx\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\njest także równa 32 10\n5\nZatem otrzymujemy równanie:\n3\n3\n4\n32 10\n5\n10\nx\nx + -\n, stąd 10\n3\n4\n64\nx -\nRównanie to jest równoważne alternatywie równań\n10\n3\n4\n64\nx -\nlub 10\n3\n4\n64\nx -\nStąd\n102\n5\nx =\nlub\n18\nx = -\nObliczamy współrzędne punktu\n102\n14\n,\n5\n5\nB\n\n\n\n\n\n\nUwaga\nZdający może bez wyznaczenia równania prostej\n1\n3\n4\ny\nx\n, tj. prostej prostopadłej do\nprostej o równaniu\n3\ny\nx\n, na której leży punkt\n(\n)\n18,10\nA = -\n, obliczyć odległość\n32 10\n5\nd =\npunktu\n(\n)\n18,10\nA = -\nod prostej o równaniu\n3\ny\nx\ni zapisać równanie z jedną niewiadomą\n(\n)\n(\n)\n2\n2\n32 10\n18\n3\n10\n5\nx\nx\n, z którego wyznaczy pierwszą współrzędną środka odcinka AB.\nIII sposób\nNiech\n(\n)\n,\nB\nx y\nbędzie końcem odcinka AB. Wtedy współrzędne środka S tego odcinka są\nrówne\n18\n10\n,\n2\n2\nx\ny\nS\n\n\n= \n\n\n\nPunkt ten leży na symetralnej odcinka AB, a więc na prostej o równaniu\n3\ny\nx\n, więc\n10\n18\n2\n2\n3\ny\nx\n= ⋅\n,\n10\n3\n54\ny\nx\n,\n3\n64\ny\nx\nProsta prostopadła do prostej o równaniu i przechodząca przez punkt A ma równanie postaci\n(\n)\n1\n3\n18\n10\ny\nx\nPunkt B należy do tej prostej, więc pozostaje rozwiązać układ równań\n3\n64\ny\nx\ni\n(\n)\n1\n3\n18\n10\ny\nx\n. Stąd otrzymujemy\n(\n)\n1\n3\n3\n64\n18\n10\nx\nx\n,\n1\n3\n3\n74\n6\nx\nx\n,\n10\n3\n68\nx =\n,\n68 3\n34 3\n102\n5\n5\n10\nB\nx\n⋅\n⋅\nZatem druga współrzędna punktu B jest równa\n102\n14\n5\n5\n3\n64\ny =\n⋅\n, czyli\n(\n)\n102\n14\n5\n5\n,\nB =\nUwaga\nRównanie\n3\n64\ny\nx\n, które uzyskaliśmy w początkowym etapie rozwiązania to równanie\nprostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do symetralnej odcinka AB. Równanie tej\nprostej możemy też otrzymać, korzystając ze wzoru na odległość miedzy prostymi\nrównoległymi oraz odległość punktu od prostej.\nPunkt B leży po przeciwnej stronie symetralnej odcinka AB niż punkt A, na prostej m\nrównoległej do tej symetralnej, przy czym odległość prostej m od symetralnej jest równa\nodległości punktu A od symetralnej. Prosta m ma więc równanie postaci\n3\ny\nx\nc\n+ . Ponieważ\nodległość między prostą m i symetralną odcinka AB jest równa odległości punktu A od\nsymetralnej odcinka AB, więc otrzymujemy równanie\n(\n)\n3\n18\n10\n0\n10\n10\nc\n⋅-\n,\nStąd\n64\nc =\n, więc\n64\nc = -\nlub\n64\nc =\nOtrzymaliśmy zatem dwie proste o równaniach\n3\n64\ny\nx\noraz\n3\n64\ny\nx\n. Drugie z tych\nrównań jest równaniem prostej przechodzącej przez punkt A, gdyż\n(\n)\n3\n18\n64\n10\n⋅-\n, więc\nprosta m ma równanie postaci\n3\n64\ny\nx","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = 26\\) cm\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + układ równań\n\n**Oznaczenia i rysunek sytuacji:**\n\nNiech \\(r\\) = promień okręgu, \\(l\\) = długość cięciwy.\n\nZ treści zadania:\n- Odległość środka od cięciwy: \\(d = 10\\) cm\n- Związek cięciwy i promienia: \\(l = r + 22\\)\n\n**Kluczowy fakt geometryczny:** Prostopadła z środka okręgu na cięciwę dzieli ją na dwa równe odcinki. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \\(d = 10\\) i \\(\\frac{l}{2}\\), oraz przeciwprostokątnej \\(r\\).\n\nTwierdzenie Pitagorasa:\n\\[r^2 = d^2 + \\left(\\frac{l}{2}\\right)^2\\]\n\nPodstawiamy \\(d = 10\\) i \\(l = r + 22\\):\n\\[r^2 = 100 + \\frac{(r+22)^2}{4}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(4\\):\n\\[4r^2 = 400 + (r+22)^2\\]\n\nRozwijamy prawą stronę:\n\\[4r^2 = 400 + r^2 + 44r + 484\\]\n\n\\[4r^2 - r^2 - 44r - 400 - 484 = 0\\]\n\n\\[3r^2 - 44r - 884 = 0\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = (-44)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-884) = 1936 + 10608 = 12544\\]\n\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{12544} = 112\\]\n\nMiejsca zerowe:\n\\[r = \\frac{44 \\pm 112}{6}\\]\n\n\\[r_1 = \\frac{44 + 112}{6} = \\frac{156}{6} = 26 \\qquad r_2 = \\frac{44 - 112}{6} = \\frac{-68}{6} < 0\\]\n\nPromień musi być dodatni, więc odrzucamy \\(r_2\\).\n\n**Promień okręgu wynosi \\(r = 26\\) cm.**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja wyniku\n\nSprawdzamy, czy \\(r = 26\\) cm spełnia oba warunki zadania.\n\nDługość cięciwy: \\(l = r + 22 = 26 + 22 = 48\\) cm\n\nPołowa cięciwy: \\(\\frac{l}{2} = 24\\) cm\n\nOdległość środka od cięciwy (z twierdzenia Pitagorasa):\n\\[d = \\sqrt{r^2 - \\left(\\frac{l}{2}\\right)^2} = \\sqrt{26^2 - 24^2} = \\sqrt{676 - 576} = \\sqrt{100} = 10 \\text{ cm}\\]\n\nWarunek zadania: odległość = 10 cm ✓\n\nWynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-16)** - Twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy kąt przy } C \\text{ jest prosty})\\]\nUżyliśmy go do zapisania związku między promieniem, połową cięciwy i odległością środka od cięciwy.\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wzór na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad r = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy go do rozwiązania równania \\(3r^2 - 44r - 884 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadła z środka na cięciwę dzieli ją na **dwie równe połowy** - do wzoru Pitagorasa wstawia się \\(\\frac{l}{2}\\), nie \\(l\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania - zawsze sprawdź, czy oba są geometrycznie sensowne. Promień musi być **dodatni**, więc ujemne rozwiązanie odrzucamy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((r+22)^2 = r^2 + 44r + 484\\) pamiętaj o środkowym członie \\(2 \\cdot r \\cdot 22 = 44r\\) - tu łatwo o błąd rachunkowy.\n\n**Odpowiedź:** \\(r = 26\\) cm.\n\n### Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa\nOznaczmy końce cięciwy \\(A, B\\), środek okręgu \\(S\\), promień \\(r\\), długość cięciwy \\(x = |AB|\\). Niech \\(M\\) będzie środkiem cięciwy.\n\nOdcinek \\(SM\\) jest prostopadły do cięciwy \\(AB\\), a \\(|AM| = \\dfrac{x}{2}\\). W trójkącie prostokątnym \\(AMS\\):\n\\[|AS|^2 = |AM|^2 + |MS|^2,\\]\n\\[r^2 = \\left(\\dfrac{x}{2}\\right)^2 + 10^2.\\]\n\nZ treści zadania: \\(x = r + 22\\). Podstawiamy:\n\\[r^2 = \\left(\\dfrac{r+22}{2}\\right)^2 + 100,\\]\n\\[r^2 = \\dfrac{(r+22)^2}{4} + 100,\\]\n\\[4r^2 = (r+22)^2 + 400,\\]\n\\[4r^2 = r^2 + 44r + 484 + 400,\\]\n\\[3r^2 - 44r - 884 = 0.\\]\n\nWyróżnik:\n\\[\\Delta = 44^2 + 4\\cdot 3\\cdot 884 = 1936 + 10608 = 12544 = 112^2.\\]\nPierwiastki:\n\\[r_1 = \\dfrac{44 - 112}{6} = \\dfrac{-68}{6} < 0 \\quad (\\text{odrzucamy}),\\]\n\\[r_2 = \\dfrac{44 + 112}{6} = \\dfrac{156}{6} = 26.\\]\n\nZatem \\(r = 26\\) cm.\n\n### Sposób 2 - Równanie z \\(\\tfrac{3}{4}r^2\\) (wg klucza CKE)\n\\[r^2 = \\dfrac{1}{4}r^2 + 11r + 121 + 100,\\]\n\\[\\dfrac{3}{4}r^2 - 11r - 221 = 0.\\]\nMnożąc przez 4: \\(3r^2 - 44r - 884 = 0\\). \\(\\Delta = 784 = 28^2\\) Sprawdzenie: \\(\\Delta = 121 + 663 = 784\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 28\\).\n\\[r_2 = \\dfrac{11 + 28}{2\\cdot \\tfrac{3}{4}} = \\dfrac{39}{\\tfrac{3}{2}} = \\dfrac{39\\cdot 2}{3} = 26.\\]\n\n### Sprawdzenie\nDla \\(r = 26\\): cięciwa \\(x = 48\\), połowa \\(= 24\\). \\(r^2 = 676\\), \\(24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676\\) ✓.\n\n### Schemat punktowania CKE\n- **1 pkt:** rozważenie trójkąta prostokątnego lub zapisanie \\(x = r + 22\\).\n- **2 pkt:** zapisanie \\(10^2 + \\left(\\tfrac{x}{2}\\right)^2 = r^2\\).\n- **3 pkt:** zapisanie równania z jedną niewiadomą.\n- **4 pkt:** obliczenie \\(r = 26\\).\n\n**Kluczowy fakt:** odcinek łączący środek okręgu ze środkiem cięciwy jest prostopadły do cięciwy.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 33. (4 pkt)
Dany jest punkt
(
)
18,10
A = -
. Prosta o równaniu
3
y
x
jest symetralną odcinka
AB Wyznacz
współrzędne punktu .
B

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

Poziom podstawowy
MMA_1P

","answer_text_html":"

Zadanie 33. (0-4)
IV. Użycie i tworzenie
strategii.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający podaje
\n

równanie prostej w postaci Ax + By + C = 0 lub y = ax + b,
mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a
w równaniu kierunkowym (8.b). Zdający interpretuje
geometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema
niewiadomymi (8.d). Zdający wyznacza współrzędne środka
odcinka (8.f).
Schemat punktowania
Rozwiązanie pełne 4 p.
Zdający obliczy i zapisze współrzędne szukanego punktu B :
102
14
,
5
5
B






Pokonanie zasadniczych trudności zadania 3 p.
Zdający:
• zapisze obie równości pozwalające obliczyć współrzędne szukanego punktu B , np.
18
6
2
5
Bx
i 10
18
2
5
B
y
albo
• zapisze równanie z jedną niewiadomą, pozwalające obliczyć współrzędną
szukanego punktu B , np.
3
3
4
32 10
5
10
x
x + -
lub
(
)
3 12
3
32 10
5
10
y
y
lub
(
)
1
3
3
64
18
10
x
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp 2 p.
Zdający:
• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
3
y
x
i przechodzącej przez punkt
(
)
18,10
A = -
1
3
4
y
x
oraz obliczy odległość d punktu
(
)
18,10
A = -
od prostej o równaniu
3
y
x
32 10
5
d =
albo
• obliczy współrzędne środka odcinka AB:
6
5
x =
i
18
5
y =
,
albo
• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
3
y
x
i przechodzącej przez punkt
(
)
18,10
A = -
1
3
4
y
x
oraz wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do
symetralnej odcinka AB:
3
64
y
x
i na tym zakończy lub dalej popełni błędy.
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do
całkowitego rozwiązania zadania 1 p.
Zdający:
• wyznaczy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
3
y
x
i przechodzącej przez punkt
(
)
18,10
A = -
1
3
4
y
x
albo
• obliczy odległość d punktu
(
)
18,10
A = -
od prostej o równaniu
3
y
x
32 10
5
d =
,
albo
• wyznaczy odległość punktu A od punktu należącego do symetralnej odcinka AB
w zależności od jednej zmiennej, np.: (
)
(
)
2
2
18
3
10
x
x
,
albo
• wyznaczy współrzędne środka S odcinka AB w zależności od współrzędnych końca
B odcinka AB:
(
)
10
18
2
2
,
B
B
y
x
S
,
albo
• wyznaczy równanie prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do
symetralnej odcinka AB:
3
64
y
x
Uwagi

\n
  1. Jeśli zdający popełni błędy rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania
\n

i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać za całe rozwiązanie
co najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Jeżeli jedynym błędem jest:
\n

a) błąd przy ustalaniu współczynnika kierunkowego prostej AB, to zdający może otrzymać
co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
b) błąd przy wyznaczaniu b, polegający na zamianie miejscami współrzędnych punktu A,
to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
c) błąd polegający na zamianie miejscami współrzędnych przy wyznaczaniu środka S,
to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
d) błąd polegający na błędnym podstawieniu do wzoru na odległość punktu od prostej,
to zdający może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie;
e) błąd polegający na zastosowaniu niepoprawnego wzoru „
a
b
a
b
”, to zdający
może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu
3
y
x
i przechodzącej
przez punkt A :
1
3
y
x
b
Punkt A należy do prostej
1
3
y
x
b

\n\n

(
)
1
3
10
18
b

\n\n

4
b =
Obliczamy współrzędne punktu S przecięcia prostej
3
y
x
i prostej AB:
1
3
3
4
y
x
y
x

= -

Wtedy
1
3
3
4
x
x
Zatem
6
5
x =
i
18
5
y =
, czyli
6 18
,
5
5
S


= 



Ponieważ punkt S jest środkiem odcinka AB , więc
18
6
2
5
Bx
i 10
18
2
5
B
y
Stąd
102
5
B
x =
i
14
5
B
y = -
, czyli
102
14
,
5
5
B






II sposób („odległość punktu od prostej”)
Równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez punkt A ma postać:
1
3
y
x
b
Wtedy
(
)
1
3
10
18
b

\n\n

4
b =
. Zatem równanie prostej AB ma postać:
1
3
4
y
x
Punkt B należy do tej prostej, więc
(
)
1
3
,
4
B
x
x
Obliczamy odległość punktu A od prostej o równaniu
3
y
x
:
(
)
3
18
1 10
32 10
5
10
⋅-
-⋅
Ponieważ prosta o równaniu
3
y
x
jest symetralną odcinka AB, więc odległość punktu
(
)
1
3
,
4
B
x
x
od prostej o równaniu
3
y
x
jest także równa 32 10
5
Zatem otrzymujemy równanie:
3
3
4
32 10
5
10
x
x + -
, stąd 10
3
4
64
x -
Równanie to jest równoważne alternatywie równań
10
3
4
64
x -
lub 10
3
4
64
x -
Stąd
102
5
x =
lub
18
x = -
Obliczamy współrzędne punktu
102
14
,
5
5
B






Uwaga
Zdający może bez wyznaczenia równania prostej
1
3
4
y
x
, tj. prostej prostopadłej do
prostej o równaniu
3
y
x
, na której leży punkt
(
)
18,10
A = -
, obliczyć odległość
32 10
5
d =
punktu
(
)
18,10
A = -
od prostej o równaniu
3
y
x
i zapisać równanie z jedną niewiadomą
(
)
(
)
2
2
32 10
18
3
10
5
x
x
, z którego wyznaczy pierwszą współrzędną środka odcinka AB.
III sposób
Niech
(
)
,
B
x y
będzie końcem odcinka AB. Wtedy współrzędne środka S tego odcinka są
równe
18
10
,
2
2
x
y
S


= 



Punkt ten leży na symetralnej odcinka AB, a więc na prostej o równaniu
3
y
x
, więc
10
18
2
2
3
y
x
= ⋅
,
10
3
54
y
x
,
3
64
y
x
Prosta prostopadła do prostej o równaniu i przechodząca przez punkt A ma równanie postaci
(
)
1
3
18
10
y
x
Punkt B należy do tej prostej, więc pozostaje rozwiązać układ równań
3
64
y
x
i
(
)
1
3
18
10
y
x
. Stąd otrzymujemy
(
)
1
3
3
64
18
10
x
x
,
1
3
3
74
6
x
x
,
10
3
68
x =
,
68 3
34 3
102
5
5
10
B
x
⋅
⋅
Zatem druga współrzędna punktu B jest równa
102
14
5
5
3
64
y =
⋅
, czyli
(
)
102
14
5
5
,
B =
Uwaga
Równanie
3
64
y
x
, które uzyskaliśmy w początkowym etapie rozwiązania to równanie
prostej przechodzącej przez punkt B i równoległej do symetralnej odcinka AB. Równanie tej
prostej możemy też otrzymać, korzystając ze wzoru na odległość miedzy prostymi
równoległymi oraz odległość punktu od prostej.
Punkt B leży po przeciwnej stronie symetralnej odcinka AB niż punkt A, na prostej m
równoległej do tej symetralnej, przy czym odległość prostej m od symetralnej jest równa
odległości punktu A od symetralnej. Prosta m ma więc równanie postaci
3
y
x
c

\n\n

odległość między prostą m i symetralną odcinka AB jest równa odległości punktu A od
symetralnej odcinka AB, więc otrzymujemy równanie
(
)
3
18
10
0
10
10
c
⋅-
,
Stąd
64
c =
, więc
64
c = -
lub
64
c =
Otrzymaliśmy zatem dwie proste o równaniach
3
64
y
x
oraz
3
64
y
x
. Drugie z tych
równań jest równaniem prostej przechodzącej przez punkt A, gdyż
(
)
3
18
64
10
⋅-
, więc
prosta m ma równanie postaci
3
64
y
x

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(r = 26\\) cm

\n

Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa + układ równań

\n

Oznaczenia i rysunek sytuacji:

\n

Niech \\(r\\) = promień okręgu, \\(l\\) = długość cięciwy.

\n

Z treści zadania:

\n\n

Kluczowy fakt geometryczny: Prostopadła z środka okręgu na cięciwę dzieli ją na dwa równe odcinki. Powstaje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \\(d = 10\\) i \\(\\frac{l}{2}\\), oraz przeciwprostokątnej \\(r\\).

\n

Twierdzenie Pitagorasa:
\\[r^2 = d^2 + \\left(\\frac{l}{2}\\right)^2\\]

\n

Podstawiamy \\(d = 10\\) i \\(l = r + 22\\):
\\[r^2 = 100 + \\frac{(r+22)^2}{4}\\]

\n

Mnożymy obie strony przez \\(4\\):
\\[4r^2 = 400 + (r+22)^2\\]

\n

Rozwijamy prawą stronę:
\\[4r^2 = 400 + r^2 + 44r + 484\\]

\n

\\[4r^2 - r^2 - 44r - 400 - 484 = 0\\]

\n

\\[3r^2 - 44r - 884 = 0\\]

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = (-44)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot (-884) = 1936 + 10608 = 12544\\]

\n

\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{12544} = 112\\]

\n

Miejsca zerowe:
\\[r = \\frac{44 \\pm 112}{6}\\]

\n

\\[r_1 = \\frac{44 + 112}{6} = \\frac{156}{6} = 26 \\qquad r_2 = \\frac{44 - 112}{6} = \\frac{-68}{6} < 0\\]

\n

Promień musi być dodatni, więc odrzucamy \\(r_2\\).

\n

Promień okręgu wynosi \\(r = 26\\) cm.

\n

Sposób 2 - Weryfikacja wyniku

\n

Sprawdzamy, czy \\(r = 26\\) cm spełnia oba warunki zadania.

\n

Długość cięciwy: \\(l = r + 22 = 26 + 22 = 48\\) cm

\n

Połowa cięciwy: \\(\\frac{l}{2} = 24\\) cm

\n

Odległość środka od cięciwy (z twierdzenia Pitagorasa):
\\[d = \\sqrt{r^2 - \\left(\\frac{l}{2}\\right)^2} = \\sqrt{26^2 - 24^2} = \\sqrt{676 - 576} = \\sqrt{100} = 10 \\text{ cm}\\]

\n

Warunek zadania: odległość = 10 cm ✓

\n

Wynik jest poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-16) - Twierdzenie Pitagorasa:
\\[a^2 + b^2 = c^2 \\quad (\\text{gdy kąt przy } C \\text{ jest prosty})\\]
Użyliśmy go do zapisania związku między promieniem, połową cięciwy i odległością środka od cięciwy.

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wzór na miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad r = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy go do rozwiązania równania \\(3r^2 - 44r - 884 = 0\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Prostopadła z środka na cięciwę dzieli ją na dwie równe połowy - do wzoru Pitagorasa wstawia się \\(\\frac{l}{2}\\), nie \\(l\\). To najczęstszy błąd w tym typie zadania.
\n
⚠️ Uwaga: Równanie kwadratowe daje dwa rozwiązania - zawsze sprawdź, czy oba są geometrycznie sensowne. Promień musi być dodatni, więc ujemne rozwiązanie odrzucamy.
\n
⚠️ Uwaga: Przy rozwijaniu \\((r+22)^2 = r^2 + 44r + 484\\) pamiętaj o środkowym członie \\(2 \\cdot r \\cdot 22 = 44r\\) - tu łatwo o błąd rachunkowy.
\n

Odpowiedź: \\(r = 26\\) cm.

\n
Sposób 1 - Twierdzenie Pitagorasa
\n

Oznaczmy końce cięciwy \\(A, B\\), środek okręgu \\(S\\), promień \\(r\\), długość cięciwy \\(x = |AB|\\). Niech \\(M\\) będzie środkiem cięciwy.

\n

Odcinek \\(SM\\) jest prostopadły do cięciwy \\(AB\\), a \\(|AM| = \\dfrac{x}{2}\\). W trójkącie prostokątnym \\(AMS\\):
\\[|AS|^2 = |AM|^2 + |MS|^2,\\]
\\[r^2 = \\left(\\dfrac{x}{2}\\right)^2 + 10^2.\\]

\n

Z treści zadania: \\(x = r + 22\\). Podstawiamy:
\\[r^2 = \\left(\\dfrac{r+22}{2}\\right)^2 + 100,\\]
\\[r^2 = \\dfrac{(r+22)^2}{4} + 100,\\]
\\[4r^2 = (r+22)^2 + 400,\\]
\\[4r^2 = r^2 + 44r + 484 + 400,\\]
\\[3r^2 - 44r - 884 = 0.\\]

\n

Wyróżnik:
\\[\\Delta = 44^2 + 4\\cdot 3\\cdot 884 = 1936 + 10608 = 12544 = 112^2.\\]
Pierwiastki:
\\[r_1 = \\dfrac{44 - 112}{6} = \\dfrac{-68}{6} < 0 \\quad (\\text{odrzucamy}),\\]
\\[r_2 = \\dfrac{44 + 112}{6} = \\dfrac{156}{6} = 26.\\]

\n

Zatem \\(r = 26\\) cm.

\n
Sposób 2 - Równanie z \\(\\tfrac{3}{4}r^2\\) (wg klucza CKE)
\n

\\[r^2 = \\dfrac{1}{4}r^2 + 11r + 121 + 100,\\]
\\[\\dfrac{3}{4}r^2 - 11r - 221 = 0.\\]
Mnożąc przez 4: \\(3r^2 - 44r - 884 = 0\\). \\(\\Delta = 784 = 28^2\\) Sprawdzenie: \\(\\Delta = 121 + 663 = 784\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 28\\).
\\[r_2 = \\dfrac{11 + 28}{2\\cdot \\tfrac{3}{4}} = \\dfrac{39}{\\tfrac{3}{2}} = \\dfrac{39\\cdot 2}{3} = 26.\\]

\n
Sprawdzenie
\n

Dla \\(r = 26\\): cięciwa \\(x = 48\\), połowa \\(= 24\\). \\(r^2 = 676\\), \\(24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676\\) ✓.

\n
Schemat punktowania CKE
\n\n

Kluczowy fakt: odcinek łączący środek okręgu ze środkiem cięciwy jest prostopadły do cięciwy.

"}]}