{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (1 pkt)\nRówność\njest prawdziwa dla\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n1. Liczby rzeczywiste. Zdający planuje\ni wykonuje obliczenia na liczbach\nrzeczywistych (1.a).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nDwa rozwiązania: \\(x = -\\dfrac{1}{5}\\) i \\(x = 1\\).\n\n## Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika\n\nKluczowa obserwacja: po prawej stronie równania stoi **ten sam czynnik** \\((5x + 1)\\), co w nawiasie po lewej. Można wyłączyć go przed nawias.\n\n\\[x(5x + 1) = 5x + 1\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[x(5x + 1) - (5x + 1) = 0\\]\n\nWyłączamy \\((5x + 1)\\) przed nawias:\n\n\\[(5x + 1)(x - 1) = 0\\]\n\nIloczyn jest równy zero, gdy **jeden z czynników jest zerem**:\n\n\\[5x + 1 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = -\\frac{1}{5}\\]\n\\[x - 1 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = 1\\]\n\n**Równanie ma dwa rozwiązania:** \\(x = -\\dfrac{1}{5}\\) i \\(x = 1\\).\n\n## Sposób 2 - sprowadzenie do trójmianu kwadratowego\n\nRozwijamy lewą stronę:\n\n\\[x(5x + 1) = 5x + 1\\]\n\\[5x^2 + x = 5x + 1\\]\n\\[5x^2 + x - 5x - 1 = 0\\]\n\\[5x^2 - 4x - 1 = 0\\]\n\nWyznaczamy wyróżnik:\n\n\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot (-1) = 16 + 20 = 36\\]\n\n\\[x_1 = \\frac{4 - \\sqrt{36}}{2 \\cdot 5} = \\frac{4 - 6}{10} = \\frac{-2}{10} = -\\frac{1}{5}\\]\n\n\\[x_2 = \\frac{4 + \\sqrt{36}}{2 \\cdot 5} = \\frac{4 + 6}{10} = \\frac{10}{10} = 1\\]\n\n**Ten sam wynik:** \\(x = -\\dfrac{1}{5}\\) i \\(x = 1\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na miejsca zerowe:\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do rozwiązania równania \\(5x^2 - 4x - 1 = 0\\).\n\nW tym zadaniu **Sposób 1 jest szybszy i nie wymaga wzorów z karty** - wystarczy spostrzeżenie o wspólnym czynniku.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń znajdzie tylko \\(x = 1\\), bo podzieli obie strony przez \\((5x+1)\\) - to **niedozwolone** (tracimy rozwiązanie \\(5x + 1 = 0\\)) |\n| B | Uczeń wpisuje \\(x = -1\\) zamiast \\(x = -\\frac{1}{5}\\) - myli wynik \\(5x = -1\\) z \\(x = -1\\) |\n| D | Uczeń odwraca znak: zamiast \\(-\\frac{1}{5}\\) wpisuje \\(+\\frac{1}{5}\\), a zamiast \\(+1\\) wpisuje \\(-1\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie dziel obu stron równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą (tu: przez \\(5x+1\\))! Grozi to utratą rozwiązania. Zawsze przenoś wszystko na jedną stronę i rozkładaj na czynniki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z \\(5x = -1\\) wynika \\(x = -\\frac{1}{5}\\), a nie \\(x = -5\\) ani \\(x = -1\\). Dziel przez współczynnik przy \\(x\\), czyli przez 5.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź zawsze, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe - sama delta mówi, że \\(\\Delta = 36 > 0\\), więc muszą być **dwa** różne pierwiastki. Odpowiedź A (jedno rozwiązanie) jest wykluczona.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wyciągnięcie wspólnego czynnika\n\\[x(5x+1) - (5x+1) = 0 \\iff (5x+1)(x-1) = 0.\\]\nIloczyn równy \\(0\\) ⟺ \\(5x+1 = 0\\) lub \\(x-1 = 0\\).\nStąd \\(x = -\\dfrac{1}{5}\\) lub \\(x = 1\\) - **dwa rozwiązania**.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n- \\(x = 1\\): \\(L = 1\\cdot 6 = 6\\), \\(P = 6\\) ✓\n- \\(x = -\\tfrac{1}{5}\\): \\(L = -\\tfrac{1}{5}\\cdot 0 = 0\\), \\(P = 0\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Zapomniano o drugim rozwiązaniu \\(x = -\\tfrac{1}{5}\\).\n- **B, D.** Błędne rozwiązania - \\(x = -1\\) nie spełnia równania: \\(L = -1\\cdot(-4) = 4\\), \\(P = -4\\).\n\n**Uwaga - ważny błąd:** NIE WOLNO dzielić przez \\(5x+1\\) obu stron, bo gubimy rozwiązanie \\(x = -\\tfrac{1}{5}\\)!","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (1 pkt)
Równość
jest prawdziwa dla
A.
B.
C.
D.

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Liczby rzeczywiste. Zdający planuje
\n

i wykonuje obliczenia na liczbach
rzeczywistych (1.a).
Wersja
I
Wersja
II
D
C

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Dwa rozwiązania: \\(x = -\\dfrac{1}{5}\\) i \\(x = 1\\).

\n

Sposób 1 - wyłączenie wspólnego czynnika

\n

Kluczowa obserwacja: po prawej stronie równania stoi ten sam czynnik \\((5x + 1)\\), co w nawiasie po lewej. Można wyłączyć go przed nawias.

\n

\\[x(5x + 1) = 5x + 1\\]

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\n

\\[x(5x + 1) - (5x + 1) = 0\\]

\n

Wyłączamy \\((5x + 1)\\) przed nawias:

\n

\\[(5x + 1)(x - 1) = 0\\]

\n

Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest zerem:

\n

\\[5x + 1 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = -\\frac{1}{5}\\]
\\[x - 1 = 0 \\quad \\Rightarrow \\quad x = 1\\]

\n

Równanie ma dwa rozwiązania: \\(x = -\\dfrac{1}{5}\\) i \\(x = 1\\).

\n

Sposób 2 - sprowadzenie do trójmianu kwadratowego

\n

Rozwijamy lewą stronę:

\n

\\[x(5x + 1) = 5x + 1\\]
\\[5x^2 + x = 5x + 1\\]
\\[5x^2 + x - 5x - 1 = 0\\]
\\[5x^2 - 4x - 1 = 0\\]

\n

Wyznaczamy wyróżnik:

\n

\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot (-1) = 16 + 20 = 36\\]

\n

\\[x_1 = \\frac{4 - \\sqrt{36}}{2 \\cdot 5} = \\frac{4 - 6}{10} = \\frac{-2}{10} = -\\frac{1}{5}\\]

\n

\\[x_2 = \\frac{4 + \\sqrt{36}}{2 \\cdot 5} = \\frac{4 + 6}{10} = \\frac{10}{10} = 1\\]

\n

Ten sam wynik: \\(x = -\\dfrac{1}{5}\\) i \\(x = 1\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wzór na miejsca zerowe:
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}, \\quad \\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do rozwiązania równania \\(5x^2 - 4x - 1 = 0\\).

\n

W tym zadaniu Sposób 1 jest szybszy i nie wymaga wzorów z karty - wystarczy spostrzeżenie o wspólnym czynniku.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń znajdzie tylko \\(x = 1\\), bo podzieli obie strony przez \\((5x+1)\\) - to niedozwolone (tracimy rozwiązanie \\(5x + 1 = 0\\)) |
| B | Uczeń wpisuje \\(x = -1\\) zamiast \\(x = -\\frac{1}{5}\\) - myli wynik \\(5x = -1\\) z \\(x = -1\\) |
| D | Uczeń odwraca znak: zamiast \\(-\\frac{1}{5}\\) wpisuje \\(+\\frac{1}{5}\\), a zamiast \\(+1\\) wpisuje \\(-1\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nigdy nie dziel obu stron równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą (tu: przez \\(5x+1\\))! Grozi to utratą rozwiązania. Zawsze przenoś wszystko na jedną stronę i rozkładaj na czynniki.
\n
⚠️ Uwaga: Z \\(5x = -1\\) wynika \\(x = -\\frac{1}{5}\\), a nie \\(x = -5\\) ani \\(x = -1\\). Dziel przez współczynnik przy \\(x\\), czyli przez 5.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź zawsze, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe - sama delta mówi, że \\(\\Delta = 36 > 0\\), więc muszą być dwa różne pierwiastki. Odpowiedź A (jedno rozwiązanie) jest wykluczona.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Wyciągnięcie wspólnego czynnika
\n

\\[x(5x+1) - (5x+1) = 0 \\iff (5x+1)(x-1) = 0.\\]
Iloczyn równy \\(0\\) ⟺ \\(5x+1 = 0\\) lub \\(x-1 = 0\\).
Stąd \\(x = -\\dfrac{1}{5}\\) lub \\(x = 1\\) - dwa rozwiązania.

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie
\n\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Uwaga - ważny błąd: NIE WOLNO dzielić przez \\(5x+1\\) obu stron, bo gubimy rozwiązanie \\(x = -\\tfrac{1}{5}\\)!

"}]}