{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (1 pkt)\nPara liczb\ni\njest rozwiązaniem układu równań\n4\n2\n3\n2\nax\ny\nx\ny\na\n\n-\n\ndla\nA.\nB.\nC.\nD.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 5. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający interpretuje geometrycznie układ\ndwóch równań liniowych z dwiema\nniewiadomymi (8.d).\nWersja\nI\nWersja\nII\nB\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n## Sposób 1 - Podstawienie do obu równań i wyznaczenie \\(a\\)\n\n**Skoro \\(x = 3, y = 1\\) jest rozwiązaniem układu**, to po podstawieniu obu wartości do każdego równania muszą zachodzić tożsamości.\n\n**Równanie pierwsze:**\n\\[-x + 12y = a^2\\]\n\\[-(3) + 12 \\cdot 1 = a^2\\]\n\\[-3 + 12 = a^2\\]\n\\[a^2 = 9\\]\n\nStąd: \\(a = 3\\) lub \\(a = -3\\).\n\n**Równanie drugie:**\n\\[2x + ay = 9\\]\n\\[2 \\cdot 3 + a \\cdot 1 = 9\\]\n\\[6 + a = 9\\]\n\\[a = 3\\]\n\n**Oba równania muszą być spełnione jednocześnie.** Z pierwszego równania \\(a \\in \\{-3, 3\\}\\), z drugiego jednoznacznie \\(a = 3\\).\n\nZatem \\(\\mathbf{a = 3}\\).\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie układu dla \\(a = 3\\)\n\nPodstawiamy \\(a = 3\\), \\(x = 3\\), \\(y = 1\\) do całego układu:\n\n\\[\\begin{cases} -3 + 12 \\cdot 1 = 3^2 \\\\ 2 \\cdot 3 + 3 \\cdot 1 = 9 \\end{cases}\\]\n\n\\[\\begin{cases} 9 = 9 \\checkmark \\\\ 9 = 9 \\checkmark \\end{cases}\\]\n\nOba równania są prawdziwe - **wynik \\(a = 3\\) jest poprawny**.\n\nDla porównania, gdyby \\(a = -3\\):\n\nPierwsze równanie: \\(-3 + 12 = (-3)^2 = 9\\) ✓ - spełnione.\n\nDrugie równanie: \\(6 + (-3) \\cdot 1 = 3 \\neq 9\\) ✗ - **niespełnione**.\n\nZatem \\(a = -3\\) odpada.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność podstawiania wartości do równań i rozwiązywania prostego równania liniowego oraz kwadratowego \\(a^2 = 9\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A: \\(a = \\frac{7}{3}\\) | Brak sensu - nie wynika z żadnego równania po podstawieniu. Możliwy błąd przy niepoprawnym działaniu na liczbach. |\n| B: \\(a = -3\\) | Spełnia **tylko** pierwsze równanie (\\(a^2 = 9\\)), ale nie spełnia drugiego (\\(6 + (-3) = 3 \\neq 9\\)). Uczeń zatrzymał się za wcześnie! |\n| D: \\(a = -\\frac{7}{3}\\) | Jw. - nie wynika z żadnego równania. Brak powiązania z zadaniem. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z pierwszego równania dostajemy \\(a^2 = 9\\), czyli **dwie możliwości**: \\(a = 3\\) lub \\(a = -3\\). Odpowiedź B (\\(a = -3\\)) to klasyczna pułapka - trzeba zawsze sprawdzić **oba równania**!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W zadaniach z układem równań z parametrem musisz podstawić dane rozwiązanie do **każdego** równania z osobna i zebrać warunki. Jeden wynik musi pasować do wszystkich równań jednocześnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić: tu \\(a\\) to **parametr** (stała, którą szukamy), a nie zmienna układu. Zmiennymi są \\(x\\) i \\(y\\) - one są dane!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie \\((3, 1)\\) do obu równań\nI: \\(-3 + 12 = a^2 \\Rightarrow a^2 = 9 \\Rightarrow a = \\pm 3\\).\nII: \\(6 + a = 9 \\Rightarrow a = 3\\).\nOba równania spełnione tylko gdy \\(a = 3\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja dla \\(a = 3\\)\nI: \\(-3 + 12 = 9 = 3^2\\) ✓\nII: \\(6 + 3 = 9\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{7}{3}\\)**: II: \\(6 + \\tfrac{7}{3} \\ne 9\\).\n- **B. \\(-3\\)**: I: \\((-3)^2 = 9\\) ✓, ale II: \\(6 - 3 = 3 \\ne 9\\) ✗.\n- **D. \\(-\\tfrac{7}{3}\\)**: oba równania niespełnione.\n\n**Pułapka:** rozwiązanie z pierwszego daje dwie wartości, trzeba sprawdzić w drugim.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5. (1 pkt)
Para liczb
i
jest rozwiązaniem układu równań
4
2
3
2
ax
y
x
y
a

-

dla
A.
B.
C.
D.

","answer_text_html":"

Zadanie 5. (0-1)
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
\n

Zdający interpretuje geometrycznie układ
dwóch równań liniowych z dwiema
niewiadomymi (8.d).
Wersja
I
Wersja
II
B
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

Sposób 1 - Podstawienie do obu równań i wyznaczenie \\(a\\)

\n

Skoro \\(x = 3, y = 1\\) jest rozwiązaniem układu, to po podstawieniu obu wartości do każdego równania muszą zachodzić tożsamości.

\n

Równanie pierwsze:
\\[-x + 12y = a^2\\]
\\[-(3) + 12 \\cdot 1 = a^2\\]
\\[-3 + 12 = a^2\\]
\\[a^2 = 9\\]

\n

Stąd: \\(a = 3\\) lub \\(a = -3\\).

\n

Równanie drugie:
\\[2x + ay = 9\\]
\\[2 \\cdot 3 + a \\cdot 1 = 9\\]
\\[6 + a = 9\\]
\\[a = 3\\]

\n

Oba równania muszą być spełnione jednocześnie. Z pierwszego równania \\(a \\in \\{-3, 3\\}\\), z drugiego jednoznacznie \\(a = 3\\).

\n

Zatem \\(\\mathbf{a = 3}\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja: sprawdzenie układu dla \\(a = 3\\)

\n

Podstawiamy \\(a = 3\\), \\(x = 3\\), \\(y = 1\\) do całego układu:

\n

\\[\\begin{cases} -3 + 12 \\cdot 1 = 3^2 \\\\ 2 \\cdot 3 + 3 \\cdot 1 = 9 \\end{cases}\\]

\n

\\[\\begin{cases} 9 = 9 \\checkmark \\\\ 9 = 9 \\checkmark \\end{cases}\\]

\n

Oba równania są prawdziwe - wynik \\(a = 3\\) jest poprawny.

\n

Dla porównania, gdyby \\(a = -3\\):

\n

Pierwsze równanie: \\(-3 + 12 = (-3)^2 = 9\\) ✓ - spełnione.

\n

Drugie równanie: \\(6 + (-3) \\cdot 1 = 3 \\neq 9\\) ✗ - niespełnione.

\n

Zatem \\(a = -3\\) odpada.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność podstawiania wartości do równań i rozwiązywania prostego równania liniowego oraz kwadratowego \\(a^2 = 9\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A: \\(a = \\frac{7}{3}\\) | Brak sensu - nie wynika z żadnego równania po podstawieniu. Możliwy błąd przy niepoprawnym działaniu na liczbach. |
| B: \\(a = -3\\) | Spełnia tylko pierwsze równanie (\\(a^2 = 9\\)), ale nie spełnia drugiego (\\(6 + (-3) = 3 \\neq 9\\)). Uczeń zatrzymał się za wcześnie! |
| D: \\(a = -\\frac{7}{3}\\) | Jw. - nie wynika z żadnego równania. Brak powiązania z zadaniem. |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Z pierwszego równania dostajemy \\(a^2 = 9\\), czyli dwie możliwości: \\(a = 3\\) lub \\(a = -3\\). Odpowiedź B (\\(a = -3\\)) to klasyczna pułapka - trzeba zawsze sprawdzić oba równania!
\n
⚠️ Uwaga: W zadaniach z układem równań z parametrem musisz podstawić dane rozwiązanie do każdego równania z osobna i zebrać warunki. Jeden wynik musi pasować do wszystkich równań jednocześnie.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić: tu \\(a\\) to parametr (stała, którą szukamy), a nie zmienna układu. Zmiennymi są \\(x\\) i \\(y\\) - one są dane!
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Podstawienie \\((3, 1)\\) do obu równań
\n

I: \\(-3 + 12 = a^2 \\Rightarrow a^2 = 9 \\Rightarrow a = \\pm 3\\).
II: \\(6 + a = 9 \\Rightarrow a = 3\\).
Oba równania spełnione tylko gdy \\(a = 3\\).

\n
Sposób 2 - Weryfikacja dla \\(a = 3\\)
\n

I: \\(-3 + 12 = 9 = 3^2\\) ✓
II: \\(6 + 3 = 9\\) ✓

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pułapka: rozwiązanie z pierwszego daje dwie wartości, trzeba sprawdzić w drugim.

"}]}