{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (1 pkt)\nRównanie\nA. ma trzy różne rozwiązania:\n1,\n3,\n2.\nx\nx\nx\nB. ma trzy różne rozwiązania:\n1,\n3,\n2.\nx\nx\nx\nC. ma dwa różne rozwiązania:\n1,\n2.\nx\nx\nD. ma dwa różne rozwiązania:\n1,\n2.\nx\nx\n2\n1\n2\n1\n1\n1\n1\n4\n5\na\n11\n20\na\n8\n9\na\n9\n8\na\n20\n11\na\n2\nx =\n2\ny =\n1\na = -\n1\na =\n2\na = -\n2\na =\n(\n)(\n)\n1\n2\n0\n3\nx\nx\nx\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nPoziom podstawowy\nMMA_1P\nx\ny\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n-1\n-2\n-3\n-4\n0\n-1\n-2\n1\n3\n4","answer":"C","answer_text":"Zadanie 6. (0-1)\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nrozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych (3.e).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - dwa rozwiązania: \\(x = 2\\), \\(x = -4\\)\n\n## Sposób 1 - Warunek zerowania się ułamka\n\nUłamek jest równy zero **wtedy i tylko wtedy**, gdy:\n1. **Licznik = 0** - to daje rozwiązania kandydujące\n2. **Mianownik ≠ 0** - to eliminuje wartości, dla których wyrażenie jest niezdefiniowane\n\n**Krok 1: Wyznaczamy dziedzinę.**\n\nMianownik nie może być zerem:\n\\[(x-4)^2 \\neq 0 \\implies x \\neq 4\\]\n\nDziedzina: \\(x \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{4\\}\\)\n\n**Krok 2: Przyrównujemy licznik do zera.**\n\n\\[(x-2)(x+4) = 0\\]\n\nIloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem:\n\\[x - 2 = 0 \\implies x = 2\\]\n\\[x + 4 = 0 \\implies x = -4\\]\n\n**Krok 3: Sprawdzamy, czy kandydaci należą do dziedziny.**\n\n- \\(x = 2\\): \\(2 \\neq 4\\) ✓ - należy do dziedziny\n- \\(x = -4\\): \\(-4 \\neq 4\\) ✓ - należy do dziedziny\n\n**Oba rozwiązania są poprawne: \\(x = 2\\) i \\(x = -4\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki bezpośrednio w równaniu \\(\\dfrac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2} = 0\\):\n\n**Dla \\(x = 2\\):**\n\\[\\frac{(2-2)(2+4)}{(2-4)^2} = \\frac{0 \\cdot 6}{(-2)^2} = \\frac{0}{4} = 0 \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = -4\\):**\n\\[\\frac{(-4-2)(-4+4)}{(-4-4)^2} = \\frac{(-6) \\cdot 0}{(-8)^2} = \\frac{0}{64} = 0 \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = 4\\) (sprawdzamy, że NIE jest rozwiązaniem):**\n\\[\\frac{(4-2)(4+4)}{(4-4)^2} = \\frac{2 \\cdot 8}{0} = \\frac{16}{0} \\implies \\text{wyrażenie niezdefiniowane!}\\]\n\nObydwa rozwiązania potwierdzone. Odpowiedź C.\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka algebraicznego i podstawowe działania (iloczyn czynników liniowych).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń znalazł tylko \\(x = 2\\) (np. rozwiązał tylko \\(x - 2 = 0\\) i zapomniał o drugim czynniku licznika) |\n| B | Uczeń pomylił \\(x + 4 = 0\\) z \\(x = 2\\) albo błędnie \"upraszczał\" ułamek odczytując \\(-2\\) z mianownika \\((x-4)^2 \\to x = \\pm 2\\)? |\n| D | Uczeń wziął \\(x = -2\\) (błąd znaku przy \\(x+4=0\\)) i \\(x = 4\\) (zrównał mianownik do zera zamiast licznik) - **to najgroźniejsza pułapka** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik = 0 to **wykluczenie** z dziedziny, NIE rozwiązanie! \\(x = 4\\) sprawia, że ułamek jest niezdefiniowany - uczniowie mylą \"wyrażenie niezdefiniowane\" z \"wyrażenie = 0\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x + 4 = 0\\) daje \\(x = -4\\), nie \\(x = 4\\). Znak minus przy zamianie strony to klasyczny błąd rachunkowy pod presją czasu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((x-4)^2\\) jest zawsze nieujemny i wynosi zero **tylko** dla \\(x = 4\\). Nawet jeśli wygląda \"groźnie\", nie generuje dodatkowych rozwiązań.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Dziedzina + licznik = 0\n**Dziedzina:** \\((x-4)^2 \\ne 0 \\iff x \\ne 4\\).\n\nRównanie \\(\\tfrac{L}{M} = 0 \\iff L = 0\\) (przy \\(M \\ne 0\\)):\n\\[(x-2)(x+4) = 0 \\iff x = 2 \\lor x = -4.\\]\nOba w dziedzinie → **dwa rozwiązania**.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\n- \\(x = 2\\): \\(\\tfrac{0\\cdot 6}{(-2)^2} = \\tfrac{0}{4} = 0\\) ✓\n- \\(x = -4\\): \\(\\tfrac{(-6)\\cdot 0}{(-8)^2} = \\tfrac{0}{64} = 0\\) ✓\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Pominięto \\(x = -4\\).\n- **B.** Błędne pierwiastki.\n- **D.** \\(x = 4\\) łamie dziedzinę (mianownik = 0); brak \\(x = -4\\).\n\n**Pamiętaj:** ułamek = 0 ⟺ licznik = 0 **i** mianownik \\(\\ne 0\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6. (1 pkt)<br>Równanie<br>A. ma trzy różne rozwiązania:<br>1,<br>3,<br>2.<br>x<br>x<br>x<br>B. ma trzy różne rozwiązania:<br>1,<br>3,<br>2.<br>x<br>x<br>x<br>C. ma dwa różne rozwiązania:<br>1,<br>2.<br>x<br>x<br>D. ma dwa różne rozwiązania:<br>1,<br>2.<br>x<br>x<br>2<br>1<br>2<br>1<br>1<br>1<br>1<br>4<br>5<br>a<br>11<br>20<br>a<br>8<br>9<br>a<br>9<br>8<br>a<br>20<br>11<br>a<br>2<br>x =<br>2<br>y =<br>1<br>a = -<br>1<br>a =<br>2<br>a = -<br>2<br>a =<br>(<br>)(<br>)<br>1<br>2<br>0<br>3<br>x<br>x<br>x</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>Poziom podstawowy<br>MMA_1P<br>x<br>y<br>1<br>2<br>3<br>4<br>5<br>6<br>-1<br>-2<br>-3<br>-4<br>0<br>-1<br>-2<br>1<br>3<br>4</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>I. Wykorzystanie<br>i tworzenie informacji.</p>\n<ol><li>Równania i nierówności. Zdający</li></ol>\n<p>rozwiązuje proste równania wymierne,<br>prowadzące do równań liniowych lub<br>kwadratowych (3.e).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>A</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - dwa rozwiązania: \\(x = 2\\), \\(x = -4\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Warunek zerowania się ułamka</h4>\n<p>Ułamek jest równy zero <strong>wtedy i tylko wtedy</strong>, gdy:</p>\n<ol><li><strong>Licznik = 0</strong> - to daje rozwiązania kandydujące</li><li><strong>Mianownik ≠ 0</strong> - to eliminuje wartości, dla których wyrażenie jest niezdefiniowane</li></ol>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy dziedzinę.</strong></p>\n<p>Mianownik nie może być zerem:<br>\\[(x-4)^2 \\neq 0 \\implies x \\neq 4\\]</p>\n<p>Dziedzina: \\(x \\in \\mathbb{R} \\setminus \\{4\\}\\)</p>\n<p><strong>Krok 2: Przyrównujemy licznik do zera.</strong></p>\n<p>\\[(x-2)(x+4) = 0\\]</p>\n<p>Iloczyn jest zerem, gdy jeden z czynników jest zerem:<br>\\[x - 2 = 0 \\implies x = 2\\]<br>\\[x + 4 = 0 \\implies x = -4\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Sprawdzamy, czy kandydaci należą do dziedziny.</strong></p>\n<ul><li>\\(x = 2\\): \\(2 \\neq 4\\) ✓ - należy do dziedziny</li><li>\\(x = -4\\): \\(-4 \\neq 4\\) ✓ - należy do dziedziny</li></ul>\n<p><strong>Oba rozwiązania są poprawne: \\(x = 2\\) i \\(x = -4\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Sprawdzamy oba wyniki bezpośrednio w równaniu \\(\\dfrac{(x-2)(x+4)}{(x-4)^2} = 0\\):</p>\n<p><strong>Dla \\(x = 2\\):</strong><br>\\[\\frac{(2-2)(2+4)}{(2-4)^2} = \\frac{0 \\cdot 6}{(-2)^2} = \\frac{0}{4} = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Dla \\(x = -4\\):</strong><br>\\[\\frac{(-4-2)(-4+4)}{(-4-4)^2} = \\frac{(-6) \\cdot 0}{(-8)^2} = \\frac{0}{64} = 0 \\checkmark\\]</p>\n<p><strong>Dla \\(x = 4\\) (sprawdzamy, że NIE jest rozwiązaniem):</strong><br>\\[\\frac{(4-2)(4+4)}{(4-4)^2} = \\frac{2 \\cdot 8}{0} = \\frac{16}{0} \\implies \\text{wyrażenie niezdefiniowane!}\\]</p>\n<p>Obydwa rozwiązania potwierdzone. Odpowiedź C.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja ułamka algebraicznego i podstawowe działania (iloczyn czynników liniowych).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Uczeń znalazł tylko \\(x = 2\\) (np. rozwiązał tylko \\(x - 2 = 0\\) i zapomniał o drugim czynniku licznika) |<br>| B | Uczeń pomylił \\(x + 4 = 0\\) z \\(x = 2\\) albo błędnie &quot;upraszczał&quot; ułamek odczytując \\(-2\\) z mianownika \\((x-4)^2 \\to x = \\pm 2\\)? |<br>| D | Uczeń wziął \\(x = -2\\) (błąd znaku przy \\(x+4=0\\)) i \\(x = 4\\) (zrównał mianownik do zera zamiast licznik) - <strong>to najgroźniejsza pułapka</strong> |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mianownik = 0 to <strong>wykluczenie</strong> z dziedziny, NIE rozwiązanie! \\(x = 4\\) sprawia, że ułamek jest niezdefiniowany - uczniowie mylą &quot;wyrażenie niezdefiniowane&quot; z &quot;wyrażenie = 0&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(x + 4 = 0\\) daje \\(x = -4\\), nie \\(x = 4\\). Znak minus przy zamianie strony to klasyczny błąd rachunkowy pod presją czasu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\((x-4)^2\\) jest zawsze nieujemny i wynosi zero <strong>tylko</strong> dla \\(x = 4\\). Nawet jeśli wygląda &quot;groźnie&quot;, nie generuje dodatkowych rozwiązań.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Dziedzina + licznik = 0</h5>\n<p><strong>Dziedzina:</strong> \\((x-4)^2 \\ne 0 \\iff x \\ne 4\\).</p>\n<p>Równanie \\(\\tfrac{L}{M} = 0 \\iff L = 0\\) (przy \\(M \\ne 0\\)):<br>\\[(x-2)(x+4) = 0 \\iff x = 2 \\lor x = -4.\\]<br>Oba w dziedzinie → <strong>dwa rozwiązania</strong>.</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie</h5>\n<ul><li>\\(x = 2\\): \\(\\tfrac{0\\cdot 6}{(-2)^2} = \\tfrac{0}{4} = 0\\) ✓</li><li>\\(x = -4\\): \\(\\tfrac{(-6)\\cdot 0}{(-8)^2} = \\tfrac{0}{64} = 0\\) ✓</li></ul>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> Pominięto \\(x = -4\\).</li><li><strong>B.</strong> Błędne pierwiastki.</li><li><strong>D.</strong> \\(x = 4\\) łamie dziedzinę (mianownik = 0); brak \\(x = -4\\).</li></ul>\n<p><strong>Pamiętaj:</strong> ułamek = 0 ⟺ licznik = 0 <strong>i</strong> mianownik \\(\\ne 0\\).</p>"}]}