{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (1 pkt)\nMiejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem\n( )\n(\n)\n3\n1\n6 3\nf x\nx\njest liczba\nA. 3 6 3\nB. 1 6 3\nC. 2 3 1\nD.\n1\n2 3\n3\nInformacja do zadań 8.-10.\nNa rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej\n.f\nWierzchołkiem tej paraboli jest punkt\n(2,\n4)\nW =\n. Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji\n.f","answer":"C","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wykorzystuje\ninterpretację współczynników we wzorze\nfunkcji liniowej (4.g).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nMiejsca zerowe funkcji \\(f(x) = 9 - (3-x)^2\\) to \\(0\\) oraz \\(6\\).\n\n## Sposób 1 - Rozłożenie na czynniki (różnica kwadratów)\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(9 - (3-x)^2\\) ma postać \\(a^2 - b^2\\), gdzie \\(a = 3\\) i \\(b = (3-x)\\).\n\nKorzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = 9 - (3-x)^2 = 3^2 - (3-x)^2 = \\big(3-(3-x)\\big)\\big(3+(3-x)\\big)\\]\n\nUpraszczamy każdy nawias:\n\\[3-(3-x) = 3 - 3 + x = x\\]\n\\[3+(3-x) = 3 + 3 - x = 6 - x\\]\n\nZatem:\n\\[f(x) = x \\cdot (6-x)\\]\n\nMiejsca zerowe - przyrównujemy do zera:\n\\[x \\cdot (6 - x) = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 6 - x = 0\\]\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 6\\]\n\n**Miejsca zerowe: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 6\\).**\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie przyrównanie do zera (z rozwinięciem nawiasu)\n\nRozwijamy \\((3-x)^2\\) korzystając ze wzoru \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\):\n\\[(3-x)^2 = 9 - 6x + x^2\\]\n\nPodstawiamy do wzoru funkcji:\n\\[f(x) = 9 - (9 - 6x + x^2) = 9 - 9 + 6x - x^2 = 6x - x^2\\]\n\nPrzyrównujemy do zera:\n\\[6x - x^2 = 0\\]\n\nWyciągamy \\(x\\) przed nawias:\n\\[x(6 - x) = 0\\]\n\nStąd:\n\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 6\\]\n\n**Wynik zgodny z Metodą 1: \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 6\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - różnica kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nKluczowy wzór w Sposobie 1 - pozwolił od razu rozłożyć \\(9 - (3-x)^2\\) na iloczyn czynników liniowych bez żmudnego rozwijania.\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - kwadrat różnicy:\n\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyty w Sposobie 2 do rozwinięcia \\((3-x)^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odpowiedź | Typowy błąd |\n| **A.** \\(0\\) oraz \\(3\\) | Uczeń myli miejsce zerowe z wierzchołkiem. Wierzchołek paraboli \\(f(x) = -(x-3)^2 + 9\\) ma odciętą \\(x = 3\\), ale to **nie** jest miejsce zerowe - tam \\(f(3) = 9 \\neq 0\\). |\n| **B.** \\(-6\\) oraz \\(6\\) | Uczeń rozwiązuje \\((3-x)^2 = 9\\) poprawnie (dostaje \\(3-x = \\pm 3\\)), ale potem błędnie liczy: \\(3 - x = -3 \\Rightarrow x = 6\\) ✓, natomiast \\(3-x = 3 \\Rightarrow x = 0\\) - zamiast tego wpisuje \\(x = -6\\) (nie wykonuje odejmowania od 3, lecz zmienia znak). |\n| **C.** \\(0\\) oraz \\(-6\\) | Uczeń poprawnie находит \\(x_1 = 0\\), ale dla drugiego rozwiązania zamiast \\(6 - x = 0 \\Rightarrow x = 6\\) zapisuje \\(x = -6\\) - myli kierunek (zapomina, że \\(6-x=0\\) daje \\(x=+6\\), nie \\(-6\\)). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić miejsca zerowego z wierzchołkiem paraboli! Tutaj wierzchołek jest w punkcie \\((3, 9)\\) - widać to z postaci kanonicznej \\(f(x) = -(x-3)^2 + 9\\). Wierzchołek to maximum funkcji, nie miejsce zerowe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu \\((3-x)^2 = 9\\) pamiętaj o **dwóch** przypadkach: \\(3 - x = 3\\) oraz \\(3 - x = -3\\). Pominięcie jednego z nich daje tylko jedno miejsce zerowe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj podstawiając! Dla \\(x = 0\\): \\(f(0) = 9 - 9 = 0\\) ✓. Dla \\(x = 6\\): \\(f(6) = 9 - (3-6)^2 = 9 - 9 = 0\\) ✓. Szybka weryfikacja eliminuje błędy rachunkowe.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2\\)\n\\[f(x) = 3^2 - (3-x)^2 = (3-(3-x))(3+(3-x)) = x(6-x).\\]\n\\(f(x) = 0 \\iff x = 0 \\lor x = 6\\).\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie\n\\(f(x) = 9 - (9 - 6x + x^2) = 6x - x^2 = x(6-x)\\).\nMiejsca zerowe: \\(x = 0\\) lub \\(x = 6\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(0, 3\\)** - błędnie rozwiązano \\((3-x)^2 = 9\\) tylko dla \\(3-x = 3\\).\n- **B. \\(-6, 6\\)** - pomylono postać iloczynową.\n- **C. \\(0, -6\\)** - błąd znaku.\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(0) = 9 - 9 = 0\\) ✓, \\(f(6) = 9 - 9 = 0\\) ✓.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (1 pkt)<br>Miejscem zerowym funkcji liniowej f określonej wzorem<br>( )<br>(<br>)<br>3<br>1<br>6 3<br>f x<br>x<br>jest liczba<br>A. 3 6 3<br>B. 1 6 3<br>C. 2 3 1<br>D.<br>1<br>2 3<br>3<br>Informacja do zadań 8.-10.<br>Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej<br>.f<br>Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt<br>(2,<br>4)<br>W =<br>. Liczby 0 i 4 to miejsca zerowe funkcji<br>.f</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający wykorzystuje</li></ol>\n<p>interpretację współczynników we wzorze<br>funkcji liniowej (4.g).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>B</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Miejsca zerowe funkcji \\(f(x) = 9 - (3-x)^2\\) to \\(0\\) oraz \\(6\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Rozłożenie na czynniki (różnica kwadratów)</h4>\n<p>Zauważamy, że wyrażenie \\(9 - (3-x)^2\\) ma postać \\(a^2 - b^2\\), gdzie \\(a = 3\\) i \\(b = (3-x)\\).</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:<br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[f(x) = 9 - (3-x)^2 = 3^2 - (3-x)^2 = \\big(3-(3-x)\\big)\\big(3+(3-x)\\big)\\]</p>\n<p>Upraszczamy każdy nawias:<br>\\[3-(3-x) = 3 - 3 + x = x\\]<br>\\[3+(3-x) = 3 + 3 - x = 6 - x\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[f(x) = x \\cdot (6-x)\\]</p>\n<p>Miejsca zerowe - przyrównujemy do zera:<br>\\[x \\cdot (6 - x) = 0\\]<br>\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad 6 - x = 0\\]<br>\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 6\\]</p>\n<p><strong>Miejsca zerowe: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 6\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednie przyrównanie do zera (z rozwinięciem nawiasu)</h4>\n<p>Rozwijamy \\((3-x)^2\\) korzystając ze wzoru \\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\):<br>\\[(3-x)^2 = 9 - 6x + x^2\\]</p>\n<p>Podstawiamy do wzoru funkcji:<br>\\[f(x) = 9 - (9 - 6x + x^2) = 9 - 9 + 6x - x^2 = 6x - x^2\\]</p>\n<p>Przyrównujemy do zera:<br>\\[6x - x^2 = 0\\]</p>\n<p>Wyciągamy \\(x\\) przed nawias:<br>\\[x(6 - x) = 0\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[x = 0 \\quad \\text{lub} \\quad x = 6\\]</p>\n<p><strong>Wynik zgodny z Metodą 1: \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 6\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong> - różnica kwadratów:<br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Kluczowy wzór w Sposobie 1 - pozwolił od razu rozłożyć \\(9 - (3-x)^2\\) na iloczyn czynników liniowych bez żmudnego rozwijania.</p>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong> - kwadrat różnicy:<br>\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]<br>Użyty w Sposobie 2 do rozwinięcia \\((3-x)^2\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odpowiedź | Typowy błąd |<br>| <strong>A.</strong> \\(0\\) oraz \\(3\\) | Uczeń myli miejsce zerowe z wierzchołkiem. Wierzchołek paraboli \\(f(x) = -(x-3)^2 + 9\\) ma odciętą \\(x = 3\\), ale to <strong>nie</strong> jest miejsce zerowe - tam \\(f(3) = 9 \\neq 0\\). |<br>| <strong>B.</strong> \\(-6\\) oraz \\(6\\) | Uczeń rozwiązuje \\((3-x)^2 = 9\\) poprawnie (dostaje \\(3-x = \\pm 3\\)), ale potem błędnie liczy: \\(3 - x = -3 \\Rightarrow x = 6\\) ✓, natomiast \\(3-x = 3 \\Rightarrow x = 0\\) - zamiast tego wpisuje \\(x = -6\\) (nie wykonuje odejmowania od 3, lecz zmienia znak). |<br>| <strong>C.</strong> \\(0\\) oraz \\(-6\\) | Uczeń poprawnie находит \\(x_1 = 0\\), ale dla drugiego rozwiązania zamiast \\(6 - x = 0 \\Rightarrow x = 6\\) zapisuje \\(x = -6\\) - myli kierunek (zapomina, że \\(6-x=0\\) daje \\(x=+6\\), nie \\(-6\\)). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić miejsca zerowego z wierzchołkiem paraboli! Tutaj wierzchołek jest w punkcie \\((3, 9)\\) - widać to z postaci kanonicznej \\(f(x) = -(x-3)^2 + 9\\). Wierzchołek to maximum funkcji, nie miejsce zerowe.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy rozwiązywaniu \\((3-x)^2 = 9\\) pamiętaj o <strong>dwóch</strong> przypadkach: \\(3 - x = 3\\) oraz \\(3 - x = -3\\). Pominięcie jednego z nich daje tylko jedno miejsce zerowe.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdzaj podstawiając! Dla \\(x = 0\\): \\(f(0) = 9 - 9 = 0\\) ✓. Dla \\(x = 6\\): \\(f(6) = 9 - (3-6)^2 = 9 - 9 = 0\\) ✓. Szybka weryfikacja eliminuje błędy rachunkowe.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia \\(a^2 - b^2\\)</h5>\n<p>\\[f(x) = 3^2 - (3-x)^2 = (3-(3-x))(3+(3-x)) = x(6-x).\\]<br>\\(f(x) = 0 \\iff x = 0 \\lor x = 6\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Rozwinięcie</h5>\n<p>\\(f(x) = 9 - (9 - 6x + x^2) = 6x - x^2 = x(6-x)\\).<br>Miejsca zerowe: \\(x = 0\\) lub \\(x = 6\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(0, 3\\)</strong> - błędnie rozwiązano \\((3-x)^2 = 9\\) tylko dla \\(3-x = 3\\).</li><li><strong>B. \\(-6, 6\\)</strong> - pomylono postać iloczynową.</li><li><strong>C. \\(0, -6\\)</strong> - błąd znaku.</li></ul>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> \\(f(0) = 9 - 9 = 0\\) ✓, \\(f(6) = 9 - 9 = 0\\) ✓.</p>"}]}