{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (1 pkt)\nZbiorem wartości funkcji f jest przedział\nA. (\n, 0\n-∞\nB.\n0, 4\nC.\n4,\n)\n+ ∞\nD. 4,\n)\n+∞","answer":"C","answer_text":"Zadanie 8. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu\nfunkcji: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca\nzerowe, maksymalne przedziały, w których\nfunkcja rośnie, maleje, ma stały znak (4.b).\nWersja\nI\nWersja\nII\nC\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nZbiorem wartości funkcji \\(g\\) jest przedział \\((-\\infty, 1\\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - Wierzchołek i kierunek ramion\n\nFunkcja kwadratowa z ramionami skierowanymi **w dół** osiąga **maksimum** w wierzchołku - i od tego maksimum wartości już tylko maleją.\n\n**Krok 1.** Wierzchołek paraboli to \\(W = (1, 1)\\), więc wierzchołek leży na wysokości \\(y = 1\\).\n\n**Krok 2.** Ramiona są skierowane **w dół**, co oznacza \\(a < 0\\), czyli parabola otwiera się ku dołowi.\n\n**Krok 3.** Dla paraboli z ramionami w dół:\n- funkcja rośnie do wierzchołka, a potem maleje,\n- **maksymalna wartość** funkcji to wartość w wierzchołku: \\(g(1) = 1\\),\n- nie ma wartości minimalnej - parabola schodzi do \\(-\\infty\\).\n\n**Krok 4.** Zatem zbiór wartości to:\n\\[\\mathbb{Z}_g = (-\\infty, 1\\rangle\\]\n\nWartość \\(1\\) jest osiągana (w wierzchołku), stąd przedział **domknięty** od prawej.\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i zbioru wartości\n\nSkoro znamy dwa miejsca zerowe: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 2\\), możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej.\n\n**Krok 1.** Postać iloczynowa:\n\\[g(x) = a(x - 0)(x - 2) = a \\cdot x(x-2)\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy wierzchołek \\(W = (1, 1)\\), czyli \\(g(1) = 1\\):\n\\[a \\cdot 1 \\cdot (1 - 2) = 1\\]\n\\[a \\cdot (-1) = 1\\]\n\\[a = -1\\]\n\n**Krok 3.** Wzór funkcji:\n\\[g(x) = -x(x-2) = -x^2 + 2x\\]\n\nSprawdzamy \\(a = -1 < 0\\) - ramiona w dół. ✓\n\n**Krok 4.** Postać kanoniczna (dla wyznaczenia wierzchołka):\n\\[g(x) = -(x^2 - 2x) = -[(x-1)^2 - 1] = -(x-1)^2 + 1\\]\n\nWartość \\(-(x-1)^2 \\leq 0\\) dla każdego \\(x\\), więc:\n\\[g(x) = -(x-1)^2 + 1 \\leq 1\\]\n\nMaksimum \\(g(x) = 1\\) jest osiągane dla \\(x = 1\\), a wartości mogą być dowolnie ujemne.\n\n**Zbiór wartości:**\n\\[\\mathbb{Z}_g = (-\\infty, 1\\rangle\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać kanoniczna:\n\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]\ngdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek paraboli. Użyliśmy tego do odczytania, że maksymalna wartość funkcji wynosi \\(q = 1\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - postać iloczynowa:\n\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2, korzystając ze znanych miejsc zerowych \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\((-\\infty, 0\\rangle\\) | Uczeń myli wartość \\(y\\) w wierzchołku z miejscami zerowymi - parabola przecina oś \\(Ox\\) w \\(0\\) i \\(2\\), ale to argumenty, nie wartości funkcji. Maksimum jest w \\(y = 1\\), nie \\(y = 0\\). |\n| B \\(\\langle 0, 2\\rangle\\) | Uczeń przepisuje miejsca zerowe \\((0, 2)\\) jako zbiór wartości. Mylenie osi - miejsca zerowe to wartości **argumentu** \\(x\\), nie **wartości funkcji** \\(y\\). |\n| C \\(\\langle 1, +\\infty)\\) | Uczeń poprawnie zauważa wierzchołek \\(y = 1\\), ale błędnie przyjmuje, że ramiona w **dół** oznaczają wartości rosnące od wierzchołka ku \\(+\\infty\\). To prawda dla ramion w **górę** (minimum). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsca zerowe to wartości **argumentu** \\(x\\) (gdzie parabola przecina oś \\(Ox\\)), a nie wartości funkcji \\(y\\). Nie wpisuj ich jako zbiór wartości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kierunek ramion decyduje o typie ekstremum - ramiona **w dół** (\\(a < 0\\)) → **maksimum** w wierzchołku → zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\). Ramiona **w górę** (\\(a > 0\\)) → **minimum** → zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przedział jest **domknięty** od strony wierzchołka (piszemy \\(\\langle\\) lub \\(\\rangle\\)), bo wartość w wierzchołku jest **osiągana** przez funkcję.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Analiza paraboli\nParabola ma wierzchołek \\(W = (1, 1)\\). Z rysunku ramiona są skierowane w dół (\\(a < 0\\)), więc \\(y = 1\\) to **maksimum** funkcji.\n\nZbiór wartości: \\(y \\le 1\\), czyli \\((-\\infty, 1\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\\(g(x) = a(x-1)^2 + 1\\), gdzie \\(a < 0\\) (ramiona w dół).\nMaksymalna wartość \\(= 1\\) (w wierzchołku), pozostałe wartości są mniejsze.\nZbiór wartości \\(= (-\\infty, 1\\rangle\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty, 0\\rangle\\)** - pomyłka z miejscem zerowym.\n- **B. \\(\\langle 0, 2\\rangle\\)** - to miejsca zerowe, nie zbiór wartości.\n- **C. \\(\\langle 1, +\\infty)\\)** - odwrotnie, byłoby dla ramion w górę.\n\n**Zapamiętaj:** ramiona w dół → zbiór wartości \\((-\\infty, y_W\\rangle\\).","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 8. (1 pkt)<br>Zbiorem wartości funkcji f jest przedział<br>A. (<br>, 0<br>-∞<br>B.<br>0, 4<br>C.<br>4,<br>)</p>\n<ul><li>∞</li></ul>\n<p>D. 4,<br>)<br>+∞</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>II. Wykorzystanie<br>i interpretowanie<br>reprezentacji.</p>\n<ol><li>Funkcje. Zdający odczytuje z wykresu</li></ol>\n<p>funkcji: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca<br>zerowe, maksymalne przedziały, w których<br>funkcja rośnie, maleje, ma stały znak (4.b).<br>Wersja<br>I<br>Wersja<br>II<br>C<br>D</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>Zbiorem wartości funkcji \\(g\\) jest przedział \\((-\\infty, 1\\rangle\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Wierzchołek i kierunek ramion</h4>\n<p>Funkcja kwadratowa z ramionami skierowanymi <strong>w dół</strong> osiąga <strong>maksimum</strong> w wierzchołku - i od tego maksimum wartości już tylko maleją.</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Wierzchołek paraboli to \\(W = (1, 1)\\), więc wierzchołek leży na wysokości \\(y = 1\\).</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Ramiona są skierowane <strong>w dół</strong>, co oznacza \\(a &lt; 0\\), czyli parabola otwiera się ku dołowi.</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Dla paraboli z ramionami w dół:</p>\n<ul><li>funkcja rośnie do wierzchołka, a potem maleje,</li><li><strong>maksymalna wartość</strong> funkcji to wartość w wierzchołku: \\(g(1) = 1\\),</li><li>nie ma wartości minimalnej - parabola schodzi do \\(-\\infty\\).</li></ul>\n<p><strong>Krok 4.</strong> Zatem zbiór wartości to:<br>\\[\\mathbb{Z}_g = (-\\infty, 1\\rangle\\]</p>\n<p>Wartość \\(1\\) jest osiągana (w wierzchołku), stąd przedział <strong>domknięty</strong> od prawej.</p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie wzoru funkcji i zbioru wartości</h4>\n<p>Skoro znamy dwa miejsca zerowe: \\(x_1 = 0\\) i \\(x_2 = 2\\), możemy zapisać funkcję w postaci iloczynowej.</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Postać iloczynowa:<br>\\[g(x) = a(x - 0)(x - 2) = a \\cdot x(x-2)\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Podstawiamy wierzchołek \\(W = (1, 1)\\), czyli \\(g(1) = 1\\):<br>\\[a \\cdot 1 \\cdot (1 - 2) = 1\\]<br>\\[a \\cdot (-1) = 1\\]<br>\\[a = -1\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Wzór funkcji:<br>\\[g(x) = -x(x-2) = -x^2 + 2x\\]</p>\n<p>Sprawdzamy \\(a = -1 &lt; 0\\) - ramiona w dół. ✓</p>\n<p><strong>Krok 4.</strong> Postać kanoniczna (dla wyznaczenia wierzchołka):<br>\\[g(x) = -(x^2 - 2x) = -[(x-1)^2 - 1] = -(x-1)^2 + 1\\]</p>\n<p>Wartość \\(-(x-1)^2 \\leq 0\\) dla każdego \\(x\\), więc:<br>\\[g(x) = -(x-1)^2 + 1 \\leq 1\\]</p>\n<p>Maksimum \\(g(x) = 1\\) jest osiągane dla \\(x = 1\\), a wartości mogą być dowolnie ujemne.</p>\n<p><strong>Zbiór wartości:</strong><br>\\[\\mathbb{Z}_g = (-\\infty, 1\\rangle\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać kanoniczna:<br>\\[f(x) = a(x-p)^2 + q\\]<br>gdzie \\(W = (p, q)\\) to wierzchołek paraboli. Użyliśmy tego do odczytania, że maksymalna wartość funkcji wynosi \\(q = 1\\).</p>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - postać iloczynowa:<br>\\[f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 2, korzystając ze znanych miejsc zerowych \\(x_1 = 0\\), \\(x_2 = 2\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A \\((-\\infty, 0\\rangle\\) | Uczeń myli wartość \\(y\\) w wierzchołku z miejscami zerowymi - parabola przecina oś \\(Ox\\) w \\(0\\) i \\(2\\), ale to argumenty, nie wartości funkcji. Maksimum jest w \\(y = 1\\), nie \\(y = 0\\). |<br>| B \\(\\langle 0, 2\\rangle\\) | Uczeń przepisuje miejsca zerowe \\((0, 2)\\) jako zbiór wartości. Mylenie osi - miejsca zerowe to wartości <strong>argumentu</strong> \\(x\\), nie <strong>wartości funkcji</strong> \\(y\\). |<br>| C \\(\\langle 1, +\\infty)\\) | Uczeń poprawnie zauważa wierzchołek \\(y = 1\\), ale błędnie przyjmuje, że ramiona w <strong>dół</strong> oznaczają wartości rosnące od wierzchołka ku \\(+\\infty\\). To prawda dla ramion w <strong>górę</strong> (minimum). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Miejsca zerowe to wartości <strong>argumentu</strong> \\(x\\) (gdzie parabola przecina oś \\(Ox\\)), a nie wartości funkcji \\(y\\). Nie wpisuj ich jako zbiór wartości!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kierunek ramion decyduje o typie ekstremum - ramiona <strong>w dół</strong> (\\(a &lt; 0\\)) → <strong>maksimum</strong> w wierzchołku → zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\). Ramiona <strong>w górę</strong> (\\(a &gt; 0\\)) → <strong>minimum</strong> → zbiór wartości to \\(\\langle q, +\\infty)\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przedział jest <strong>domknięty</strong> od strony wierzchołka (piszemy \\(\\langle\\) lub \\(\\rangle\\)), bo wartość w wierzchołku jest <strong>osiągana</strong> przez funkcję.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Analiza paraboli</h5>\n<p>Parabola ma wierzchołek \\(W = (1, 1)\\). Z rysunku ramiona są skierowane w dół (\\(a &lt; 0\\)), więc \\(y = 1\\) to <strong>maksimum</strong> funkcji.</p>\n<p>Zbiór wartości: \\(y \\le 1\\), czyli \\((-\\infty, 1\\rangle\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Postać kanoniczna</h5>\n<p>\\(g(x) = a(x-1)^2 + 1\\), gdzie \\(a &lt; 0\\) (ramiona w dół).<br>Maksymalna wartość \\(= 1\\) (w wierzchołku), pozostałe wartości są mniejsze.<br>Zbiór wartości \\(= (-\\infty, 1\\rangle\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((-\\infty, 0\\rangle\\)</strong> - pomyłka z miejscem zerowym.</li><li><strong>B. \\(\\langle 0, 2\\rangle\\)</strong> - to miejsca zerowe, nie zbiór wartości.</li><li><strong>C. \\(\\langle 1, +\\infty)\\)</strong> - odwrotnie, byłoby dla ramion w górę.</li></ul>\n<p><strong>Zapamiętaj:</strong> ramiona w dół → zbiór wartości \\((-\\infty, y_W\\rangle\\).</p>"}]}