{"id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2019,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (1 pkt)\nNajwiększa wartość funkcji f w przedziale 1, 4 jest równa\nA.\n3\nB.\n4\nC. 4\nD. 0","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n4. Funkcje. Zdający wyznacza wartość\nnajmniejszą i wartość największą funkcji\nkwadratowej w przedziale domkniętym (4.k).\nWersja\nI\nWersja\nII\nD\nA","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\(125^{\\frac{2}{3}} = 25\\) - jedyna liczba większa od \\(5\\).\n\n## Sposób 1 - obliczenie każdej opcji wprost\n\nSprawdzamy wartość każdej odpowiedzi krok po kroku.\n\n**Odpowiedź A:** \\(\\left(\\dfrac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{2}}\\)\n\nUjemny wykładnik odwraca podstawę:\n\\[\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{2}} = 25^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{25} = 5\\]\n\nWynik: \\(5\\) - **nie** większy od \\(5\\).\n\n**Odpowiedź B:** \\(\\left(\\dfrac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{5}}\\)\n\n\\[\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{5}} = 25^{\\frac{1}{5}} = \\sqrt[5]{25}\\]\n\nSzacujemy: \\(\\sqrt[5]{25} < \\sqrt[5]{32} = 2\\), więc wynik jest zdecydowanie mniejszy od \\(5\\).\n\nWynik: \\(\\approx 1{,}9\\) - **nie** większy od \\(5\\).\n\n**Odpowiedź C:** \\(125^{\\frac{2}{3}}\\)\n\nWykładnik \\(\\frac{2}{3}\\) oznacza: pierwiastek sześcienny, potem kwadrat (lub odwrotnie):\n\\[125^{\\frac{2}{3}} = \\left(\\sqrt[3]{125}\\right)^2 = 5^2 = 25\\]\n\nWynik: \\(25\\) - **tak**, \\(25 > 5\\). ✓\n\n**Odpowiedź D:** \\(125^{\\frac{1}{3}}\\)\n\n\\[125^{\\frac{1}{3}} = \\sqrt[3]{125} = 5\\]\n\nWynik: \\(5\\) - **nie** większy od \\(5\\).\n\n**Zatem jedyna liczba większa od \\(5\\) to \\(25\\), czyli odpowiedź C.**\n\n## Sposób 2 - porównanie przez sprowadzenie do potęg liczby 5\n\nKażdą wyrażenie sprowadzamy do postaci \\(5^k\\) i sprawdzamy, czy \\(k > 1\\).\n\n\\[A: \\quad 25^{\\frac{1}{2}} = (5^2)^{\\frac{1}{2}} = 5^{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = 5^1 = 5\\]\n\n\\[B: \\quad 25^{\\frac{1}{5}} = (5^2)^{\\frac{1}{5}} = 5^{\\frac{2}{5}} \\approx 5^{0{,}4} < 5^1\\]\n\n\\[C: \\quad 125^{\\frac{2}{3}} = (5^3)^{\\frac{2}{3}} = 5^{3 \\cdot \\frac{2}{3}} = 5^2 = 25 > 5 \\quad \\checkmark\\]\n\n\\[D: \\quad 125^{\\frac{1}{3}} = (5^3)^{\\frac{1}{3}} = 5^{3 \\cdot \\frac{1}{3}} = 5^1 = 5\\]\n\n**Tylko w C wykładnik końcowy jest większy od \\(1\\), więc tylko \\(5^2 = 25 > 5\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**\n\nWzór na potęgę wymierną:\n\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m} = \\left(\\sqrt[n]{a}\\right)^m\\]\nUżyliśmy tego w obu sposobach, przeliczając \\(125^{\\frac{2}{3}}\\) i pozostałe wyrażenia.\n\nWzór na ujemny wykładnik:\n\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]\nUżyliśmy w odpowiedzi A i B - odwracanie ułamka przy ujemnym wykładniku.\n\nWzór na potęgę potęgi:\n\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]\nKluczowy w Sposobie 2 - pozwolił sprowadzić wszystko do potęg liczby \\(5\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Obliczenie | Błąd który do tego prowadzi |\n| A | \\(\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{2}} = 5\\) | Poprawne obliczenie - ale \\(5 = 5\\), więc **nie jest większa** od \\(5\\). Błąd: przeoczenie warunku \"większa\" (nie \"większa lub równa\") |\n| B | \\(\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{5}} \\approx 1{,}9\\) | Mylenie \\(-\\frac{1}{5}\\) z \\(-\\frac{1}{2}\\), albo nieumiejętne oszacowanie \\(\\sqrt[5]{25}\\) |\n| D | \\(125^{\\frac{1}{3}} = 5\\) | Poprawne obliczenie - ale znów \\(5 = 5\\), **nie jest większa** od \\(5\\). Pułapka: wynik \"ładny\" (dokładnie 5), ale nierówność ostra |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek to \"większa od 5\", nie \"większa lub równa 5\". Odpowiedzi A i D dają dokładnie \\(5\\) - to **eliminuje** te opcje. Wiele osób zatrzymuje się po obliczeniu i nie sprawdza nierówności.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy \\(a^{\\frac{m}{n}}\\) zawsze najpierw sprawdź, czy podstawa jest pełną potęgą - tu \\(125 = 5^3\\) i \\(25 = 5^2\\). Sprowadzenie do potęg jednej liczby bardzo upraszcza obliczenia.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ujemny wykładnik przy ułamku: \\(\\left(\\frac{1}{a}\\right)^{-k} = a^k\\) - odwrócenie ułamka i zamiana znaku wykładnika to jeden krok, nie dwa osobne.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Obliczenia każdej opcji\n- **A.** \\(\\left(\\tfrac{1}{25}\\right)^{-1/2} = 25^{1/2} = 5\\) - **równa** 5, nie większa.\n- **B.** \\(\\left(\\tfrac{1}{25}\\right)^{-1/5} = 25^{1/5} = 5^{2/5} < 5\\).\n- **C.** \\(125^{2/3} = (5^3)^{2/3} = 5^2 = 25 > 5\\) ✓\n- **D.** \\(125^{1/3} = \\sqrt[3]{125} = 5\\) - równa 5.\n\n### Sposób 2 - Zamiana na potęgi \\(5\\)\n\\(25 = 5^2\\), \\(125 = 5^3\\). Porównujemy z \\(5 = 5^1\\):\n- A: \\(5^1\\), B: \\(5^{2/5} \\approx 5^{0{,}4}\\), C: \\(5^2\\), D: \\(5^1\\).\nTylko wykładnik C jest \\(> 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\nA i D są dokładnie równe 5 (nie większe), B jest mniejsza niż 5.\n\n**Technika:** sprowadź do wspólnej podstawy i porównaj wykładniki.","image":"img/matematyka-2019-maj-matura-stara-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (1 pkt)
Największa wartość funkcji f w przedziale 1, 4 jest równa
A.
3
B.
4
C. 4
D. 0

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-1)
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Funkcje. Zdający wyznacza wartość
\n

najmniejszą i wartość największą funkcji
kwadratowej w przedziale domkniętym (4.k).
Wersja
I
Wersja
II
D
A

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: C

\n

\\(125^{\\frac{2}{3}} = 25\\) - jedyna liczba większa od \\(5\\).

\n

Sposób 1 - obliczenie każdej opcji wprost

\n

Sprawdzamy wartość każdej odpowiedzi krok po kroku.

\n

Odpowiedź A: \\(\\left(\\dfrac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{2}}\\)

\n

Ujemny wykładnik odwraca podstawę:
\\[\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{2}} = 25^{\\frac{1}{2}} = \\sqrt{25} = 5\\]

\n

Wynik: \\(5\\) - nie większy od \\(5\\).

\n

Odpowiedź B: \\(\\left(\\dfrac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{5}}\\)

\n

\\[\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{5}} = 25^{\\frac{1}{5}} = \\sqrt[5]{25}\\]

\n

Szacujemy: \\(\\sqrt[5]{25} < \\sqrt[5]{32} = 2\\), więc wynik jest zdecydowanie mniejszy od \\(5\\).

\n

Wynik: \\(\\approx 1{,}9\\) - nie większy od \\(5\\).

\n

Odpowiedź C: \\(125^{\\frac{2}{3}}\\)

\n

Wykładnik \\(\\frac{2}{3}\\) oznacza: pierwiastek sześcienny, potem kwadrat (lub odwrotnie):
\\[125^{\\frac{2}{3}} = \\left(\\sqrt[3]{125}\\right)^2 = 5^2 = 25\\]

\n

Wynik: \\(25\\) - tak, \\(25 > 5\\). ✓

\n

Odpowiedź D: \\(125^{\\frac{1}{3}}\\)

\n

\\[125^{\\frac{1}{3}} = \\sqrt[3]{125} = 5\\]

\n

Wynik: \\(5\\) - nie większy od \\(5\\).

\n

Zatem jedyna liczba większa od \\(5\\) to \\(25\\), czyli odpowiedź C.

\n

Sposób 2 - porównanie przez sprowadzenie do potęg liczby 5

\n

Każdą wyrażenie sprowadzamy do postaci \\(5^k\\) i sprawdzamy, czy \\(k > 1\\).

\n

\\[A: \\quad 25^{\\frac{1}{2}} = (5^2)^{\\frac{1}{2}} = 5^{2 \\cdot \\frac{1}{2}} = 5^1 = 5\\]

\n

\\[B: \\quad 25^{\\frac{1}{5}} = (5^2)^{\\frac{1}{5}} = 5^{\\frac{2}{5}} \\approx 5^{0{,}4} < 5^1\\]

\n

\\[C: \\quad 125^{\\frac{2}{3}} = (5^3)^{\\frac{2}{3}} = 5^{3 \\cdot \\frac{2}{3}} = 5^2 = 25 > 5 \\quad \\checkmark\\]

\n

\\[D: \\quad 125^{\\frac{1}{3}} = (5^3)^{\\frac{1}{3}} = 5^{3 \\cdot \\frac{1}{3}} = 5^1 = 5\\]

\n

Tylko w C wykładnik końcowy jest większy od \\(1\\), więc tylko \\(5^2 = 25 > 5\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)

\n

Wzór na potęgę wymierną:
\\[a^{\\frac{m}{n}} = \\sqrt[n]{a^m} = \\left(\\sqrt[n]{a}\\right)^m\\]
Użyliśmy tego w obu sposobach, przeliczając \\(125^{\\frac{2}{3}}\\) i pozostałe wyrażenia.

\n

Wzór na ujemny wykładnik:
\\[a^{-n} = \\frac{1}{a^n}\\]
Użyliśmy w odpowiedzi A i B - odwracanie ułamka przy ujemnym wykładniku.

\n

Wzór na potęgę potęgi:
\\[(a^r)^s = a^{r \\cdot s}\\]
Kluczowy w Sposobie 2 - pozwolił sprowadzić wszystko do potęg liczby \\(5\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Obliczenie | Błąd który do tego prowadzi |
| A | \\(\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{2}} = 5\\) | Poprawne obliczenie - ale \\(5 = 5\\), więc nie jest większa od \\(5\\). Błąd: przeoczenie warunku "większa" (nie "większa lub równa") |
| B | \\(\\left(\\frac{1}{25}\\right)^{-\\frac{1}{5}} \\approx 1{,}9\\) | Mylenie \\(-\\frac{1}{5}\\) z \\(-\\frac{1}{2}\\), albo nieumiejętne oszacowanie \\(\\sqrt[5]{25}\\) |
| D | \\(125^{\\frac{1}{3}} = 5\\) | Poprawne obliczenie - ale znów \\(5 = 5\\), nie jest większa od \\(5\\). Pułapka: wynik "ładny" (dokładnie 5), ale nierówność ostra |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Warunek to "większa od 5", nie "większa lub równa 5". Odpowiedzi A i D dają dokładnie \\(5\\) - to eliminuje te opcje. Wiele osób zatrzymuje się po obliczeniu i nie sprawdza nierówności.
\n
⚠️ Uwaga: Przy \\(a^{\\frac{m}{n}}\\) zawsze najpierw sprawdź, czy podstawa jest pełną potęgą - tu \\(125 = 5^3\\) i \\(25 = 5^2\\). Sprowadzenie do potęg jednej liczby bardzo upraszcza obliczenia.
\n
⚠️ Uwaga: Ujemny wykładnik przy ułamku: \\(\\left(\\frac{1}{a}\\right)^{-k} = a^k\\) - odwrócenie ułamka i zamiana znaku wykładnika to jeden krok, nie dwa osobne.
\n

Poprawna odpowiedź: C

\n
Sposób 1 - Obliczenia każdej opcji
\n\n
Sposób 2 - Zamiana na potęgi \\(5\\)
\n

\\(25 = 5^2\\), \\(125 = 5^3\\). Porównujemy z \\(5 = 5^1\\):

\n\n

Tylko wykładnik C jest \\(> 1\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n

A i D są dokładnie równe 5 (nie większe), B jest mniejsza niż 5.

\n

Technika: sprowadź do wspólnej podstawy i porównaj wykładniki.

"}]}