{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"15","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nDany jest wykres funkcji y\nf x\n= ^ h.\nZbiorem wartości funkcji f(x) jest przedział\nA.\n,2 2\nB.\n,2 2\nh .\nC.\n,2 2\nD.\n,2 2\nh .","answer":"A","answer_text":"15 3\n52\n$\nDla ciągu bn\nh obliczamy sumę S\n2\n7\n52 16\n59 8\n472\n16\n$\n$\nIII sposób\nMożemy zapisać równanie a\nr\na\n3\n2\n5\n, czyli\nr\n2\n3\n7\n= i dalej r\n3\nMamy obliczyć sumę:\na\na\na\na\na\nr\na\nr\n15\n5\n6\n20\n5\n5\n5\nh\nh\na\nr\n16\n1\n2\n15\n16 7\n2\n15 16 3\n112\n45 8\n472\n5\n$\n$\n$\n$\nh\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy:\nobliczy r\n3\n= i a\n5\n1 = i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy\nalbo\npopełni błąd rachunkowy przy obliczaniu a1 i r i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do\nkońca.\nalbo\nobliczy r\n3\n= i poda b\na\n7\n1\n5\nalbo\npopełni błąd rachunkowy przy obliczaniu r i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy:\nobliczy sumę wyrazów tego ciągu (an) od piątego do dwudziestego (472)\nalbo\nobliczy sumę wyrazów ciągu (bn) od pierwszego do szesnastego (472).\nZadania 29. (0-2)\nUdowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej ujemnej x prawdziwa jest nierówność\nx\nx\n9\n1\n6\nG\nV. Rozumowanie i argumentacja. 2.1. Wyrażenia algebraiczne.\nZdający używa wzorów skróconego mnożenia na a\nb 2\n!\nh\noraz a\nb\n2\n2\n11 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nNiech x oznacza dowolna liczbę rzeczywistą ujemną. Mamy wykazać, że x\nx\n9\n1\n6\nG\n- . Przekształcamy\ntezę do postaci równoważnej.\nx\nx\n9\n1\n6\n0\nG\nx\nx\nx\n9\n1\n6\n0\n2\nG\nx\nx\n3\n1\n0\n2\nG\nh\nOtrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej ujemnej, bo kwadrat każdej\nliczby rzeczywistej jest nieujemny, a iloraz liczby nieujemnej i liczby ujemnej jest liczbą rzeczywistą\nniedodatnią. A zatem równoważna jej teza też jest prawdziwa. To kończy dowód.\nII sposób\nNiech x oznacza dowolna liczbę rzeczywistą ujemną. Mamy wykazać, że x\nx\n9\n1\n6\nG\n- . Przekształcamy\ntezę do postaci równoważnej.\nx\nx\n9\n1\n6\n0\nG\nx\nx\nx\n9\n1\n6\n0\n2\nG\n,\nx\nx\nx x\n3\n1\n0\n0\n2\n$\n1\nG\n;\nh\n(z założenia)\nx\n3\n1\n0\n2 H\nh\nOtrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej, bo kwadrat każdej liczby\nrzeczywistej jest nieujemny. A zatem teza twierdzenia jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej\nujemnej.\nIII sposób\nNiech x oznacza dowolna liczbę rzeczywistą ujemną. Mamy wykazać, że x\nx\n9\n1\n6\nG\n- . Przekształcamy\ntezę do postaci równoważnej.\nx\nx\n9\n1\n6\n0\nG\n,\nx\nx\nx\nx x\n9\n1\n6\n0\n0\n2\n$\n1\nG\n;\n(z założenia)\nx\nx\n9\n6\n1\n0\n2\nH\nRozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową.\nObliczamy wyróżnik\n6\n4 9 1\n36\n36\n0\n2\n$\n$\nT =\n= trójmianu x\nx\n9\n6\n1\n2 +\n+ i pierwiastek podwójny:\nx","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 15. (0-1)
Dany jest wykres funkcji y
f x
= ^ h.
Zbiorem wartości funkcji f(x) jest przedział
A.
,2 2
B.
,2 2
h .
C.
,2 2
D.
,2 2
h .

","answer_text_html":"

15 3
52
$
Dla ciągu bn
h obliczamy sumę S
2
7
52 16
59 8
472
16
$
$
III sposób
Możemy zapisać równanie a
r
a
3
2
5
, czyli
r
2
3
7
= i dalej r
3
Mamy obliczyć sumę:
a
a
a
a
a
r
a
r
15
5
6
20
5
5
5
h
h
a
r
16
1
2
15
16 7
2
15 16 3
112
45 8
472
5
$
$
$
$
h
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje
1 pkt
gdy:
obliczy r
3
= i a
5
1 = i na tym poprzestanie lub dalej popełni błędy
albo
popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu a1 i r i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do
końca.
albo
obliczy r
3
= i poda b
a
7
1
5
albo
popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu r i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca.
Zdający otrzymuje
2 pkt
gdy:
obliczy sumę wyrazów tego ciągu (an) od piątego do dwudziestego (472)
albo
obliczy sumę wyrazów ciągu (bn) od pierwszego do szesnastego (472).
Zadania 29. (0-2)
Udowodnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej ujemnej x prawdziwa jest nierówność
x
x
9
1
6
G
V. Rozumowanie i argumentacja. 2.1. Wyrażenia algebraiczne.
Zdający używa wzorów skróconego mnożenia na a
b 2
!
h
oraz a
b
2
2
11 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Niech x oznacza dowolna liczbę rzeczywistą ujemną. Mamy wykazać, że x
x
9
1
6
G

\n\n

tezę do postaci równoważnej.
x
x
9
1
6
0
G
x
x
x
9
1
6
0
2
G
x
x
3
1
0
2
G
h
Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej ujemnej, bo kwadrat każdej
liczby rzeczywistej jest nieujemny, a iloraz liczby nieujemnej i liczby ujemnej jest liczbą rzeczywistą
niedodatnią. A zatem równoważna jej teza też jest prawdziwa. To kończy dowód.
II sposób
Niech x oznacza dowolna liczbę rzeczywistą ujemną. Mamy wykazać, że x
x
9
1
6
G

\n\n

tezę do postaci równoważnej.
x
x
9
1
6
0
G
x
x
x
9
1
6
0
2
G
,
x
x
x x
3
1
0
0
2
$
1
G
;
h
(z założenia)
x
3
1
0
2 H
h
Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej, bo kwadrat każdej liczby
rzeczywistej jest nieujemny. A zatem teza twierdzenia jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej
ujemnej.
III sposób
Niech x oznacza dowolna liczbę rzeczywistą ujemną. Mamy wykazać, że x
x
9
1
6
G

\n\n

tezę do postaci równoważnej.
x
x
9
1
6
0
G
,
x
x
x
x x
9
1
6
0
0
2
$
1
G
;
(z założenia)
x
x
9
6
1
0
2
H
Rozwiązujemy otrzymaną nierówność kwadratową.
Obliczamy wyróżnik
6
4 9 1
36
36
0
2
$
$
T =
= trójmianu x
x
9
6
1
2 +

\n\n

x

","solutions":[]}