Zadanie 5. (0-1)
Zbiorem rozwiązań nierówności x
3
0
2 G
h
jest
A. R.
B. {-3}.
C. zbiór pusty.
D. ( 3
,
3
5 pola kwadratu ABCD.
V. Rozumowanie i argumentacja. 7.3. Planimetria.
Zdający rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także
w kontekstach praktycznych) cechy podobieństwa trójkątów.
GIMNAZJUM
10.9. Figury płaskie.
Zdający oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów.
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Przyjmujemy oznaczenia a - długość boku kwadratu, h1 - odległość punktu P od boku AB,
h2 - odległość punktu P od boku CD.
Możemy zapisać pola trójkątów ABP i DEP w postaci, P
a h
2
1
ABP
1
$
, P
a h
2
1
2
1
DEP
2
$
$
oraz pole kwadratu P
a
ABCD
2
A
B
D
C
E
P
A
B
D
C
E
P
h1
h2
13 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Trójkąty ABP i DEP są podobne (na podstawie cechy kkk) w skali k
2
= (lub w skali k
2
1
), czyli
h
h
2
2
1 = , a stąd mamy h
a
3
2
1 =
i h
a
3
1
2 =
Suma pól trójkątów ABP i DEP jest więc równa
P
P
a
a
a
a
a
a
a
a
a
P
2
1
3
2
2
1
2
1
3
1
3
1
12
1
12
4
12
1
12
5
12
5
ABP
DEP
ABCD
2
2
2
2
2
$
$
$
$
A zatem suma pól trójkątów ABP i DEP stanowi 12
5 pola kwadratu.
II sposób
Trójkąty ABP i EDP są podobne, bo mają takie same kąty. Skala podobieństwa to ED
AB
2
= , więc
BP
DP
2
, AP
PE
2
. Niech S będzie polem ∆EDP. Wtedy:
P
P
S
2
2
APD
EDP
P
S
4
ABP =
P
P
P
S
2
12
ABCD
APD
ABP
h
i P
P
S
5
EDP
ABP
Stąd teza.
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje
1 pkt
gdy zauważy podobieństwo trójkątów ABP i DEP i obliczy skalę podobieństwa.
Zdający otrzymuje
2 pkt
gdy:
zapisze pola trójkątów ABP i DEP w zależności od długości boku kwadratu a: P
a
a
2
1
3
2
ABP
$
i P
a
a
2
1
2
1
3
1
DEP
$
$
albo
zapisze pola trójkąta ABP oraz kwadratu ABCD jako wielokrotności pola trójkąta DEP.
Zdający otrzymuje
3 pkt
gdy uzasadni tezę.
Zadania 31. (0-4)
Wyznacz wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, jeżeli wierzchołek paraboli, która jest
jej wykresem, znajduje się w punkcie
,
W
5
1
h oraz funkcja ta w przedziale
,2 2
osiąga
najmniejszą wartość równą 4
II. Wykorzystanie
i interpretowanie reprezentacji.
informacji o tej funkcji lub o jej wykresie;
\nfunkcji kwadratowej w postaci kanonicznej, w postaci ogólnej
i w postaci iloczynowej (o ile istnieje);
kwadratowej w przedziale domkniętym.
14 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Przykładowe rozwiązanie
Ponieważ wierzchołek paraboli znajduje
się w punkcie
,
W
5
1
h, to wzór funkcji
kwadratowej możemy zapisać w postaci
kanonicznej y
a
x
1
5
2
$
h
Z informacji o wartości najmniejszej tej funkcji w przedziale
,2 2
wynika (np. na podstawie
wykresu i analizy własności funkcji kwadratowej), że do wykresu funkcji należy punkt
,
P
2
4
h.
Jego współrzędne spełniają więc powyższe równanie, a zatem otrzymujemy
a
4
2
1
5
2
$
h
,
które doprowadzamy do postaci
a
9
9
Jego rozwiązaniem jest
1
a = - . Szukany wzór funkcji kwadratowej to
5
y
x
1 2
h
Po przekształceniu go do postaci ogólnej otrzymujemy
x
x
2
4
y
2
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do całkowitego rozwiązania zadania
1 pkt
Zdający zapisze wzór funkcji kwadratowej w postaci y
a
x
1
5
2
$
h
albo
zauważy, że do wykresu funkcji należy punkt
,
P
2
4
h.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający zapisze wzór funkcji kwadratowej w postaci y
a
x
1
5
2
$
h
i zauważy, że do wykresu
funkcji należy punkt
,
P
2
4
h.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający wykorzysta punkt
,
P
2
4
h i zapisze równanie
a
2
1
4
5
2
$
h
Rozwiązanie pełne
4 pkt
Zdający wyznaczy z równania
1
a = - i przekształci wzór funkcji do postaci ogólnej
x
x
2
4
y
2
Zadanie 32. (0-5)
W trójkącie równoramiennym ABC dane są wierzchołki podstawy A = (2, 1) i B = (6, 5) oraz wysokość
CD
2