{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa","number":"7","points":0,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nUkład równań liniowych\nx\ny\nx\ny\n2\n4\n3\n3\n6\n4\n(\nA. nie ma rozwiązania.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nC. ma dokładnie dwa rozwiązania.\nD. ma nieskończenie wiele rozwiązań.","answer":"A","answer_text":"7 2\n. Oblicz współrzędne wierzchołka C, jeżeli wiadomo, że obie te współrzędne są dodatnie.\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\n1) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane\npunkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa\nlub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej\ni przechodzi przez dany punkt;\n5) wyznacza współrzędne środka odcinka;\n6) oblicza odległość dwóch punktów.\ny\nx\n1\n0\n1\nP = (\n)\n2, -4\nW = (\n)\n-1, 5\n15 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nPrzykładowe rozwiązanie\nSpodek wysokości D jest środkiem boku AB, a zatem jego współrzędne to:\n,\n,\nD\n2\n2\n6\n2\n1\n5\n4 3\nj\nh.\nWspółczynnik kierunkowy prostej AB jest równy a\n6\n2\n5\n1\n1\n1 =\n= . Prosta CD jest do niej prostopadła,\na więc jej współczynnik kierunkowy jest równy a\n1\n2 =- i przechodzi przez punkt\n,\nD\n4 3\nh.\nRównanie tej prostej możemy zapisać w postaci kierunkowej y\nx\nb\n=- + i dalej\nb\n3\n4\n=- + , b\n7\n= ,\na stąd otrzymujemy y\nx\n7\nDo obliczenia współrzędnych wierzchołka C wykorzystujemy fakt, że leży on na prostej CD i jego\nodległość od punktu D jest dana.\nMożemy oznaczyć współrzędne wierzchołka\n,\nC\nx\nx\n7\nh i wyznaczyć wysokość\nCD\nx\nx\n4\n7\n3\n2\n2\nh\nh .\nRozwiązujemy równanie\nx\nx\n2\n7\n4\n7\n3\n2\n2\nh\nh :\nx\n49\n2\n4\n2\n2\n$\nh\nx\n4\n49\n4 2\nh\nx\n4\n2\n7\nlub x\n4\n2\n7\nx\n7 2\n1\nlub x\n2\n1\nWierzchołek C ma zatem współrzędne:\n,\nC\n7 2\n1\n2\n1\nj lub\n,\nC\n2\n1\n2\n1\n6\nj.\nWarunek zadania spełnia tylko punkt\n,\nC\n2\n1\n2\n1\n6\nj, a zatem jest on jedynym rozwiązaniem zadania.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze\ndo całkowitego rozwiązania zadania\n1 pkt\nZdający wyznaczy współrzędne punktu\n,\nD\n4 3\nh\nalbo\nobliczy współczynnik kierunkowy prostej AB: a\n6\n2\n5\n1\n1\n1 =\n= i wyznaczy równanie prostej CD:\nx\n7\ny = -\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający wyznaczy współrzędne punktu\n,\nD\n4 3\nh oraz obliczy współczynnik kierunkowy prostej\nA: a\n6\n2\n5\n1\n1\n1 =\n= i wyznaczy równanie prostej CD:\nx\n7\ny = -\nA = (\n)\n2, 1\nD\nB = (\n)\n6, 5\nC\n16 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający zapisze współrzędne wierzchołka\n,\nC\nx\nx\n7\nh i zapisze równanie z jedną niewiadomą,\nnp.\nx\nx\n2\n7\n4\n7\n3\n2\n2\nh\nh .\nRozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności\nrozwiązania\n4 pkt\nZdający rozwiąże równanie\nx\n2\n49\n2\n4 2\n$\nh i otrzyma dwa rozwiązania\nx\n7 2\n7\n1 =\nlub x\n2\n1\n2 =\nalbo\nrozwiąże zadanie do końca z usterkami rachunkowymi (także na wcześniejszych etapach).\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający wyznaczy współrzędne wierzchołka\n,\nC\n7 2\n1\n2\n1\nj lub\n,\nC\n2\n1\n2\n1\n6\nj oraz uwzględni, że\nwarunki zadania spełnia tylko wierzchołek\n,\nC\n2\n1\n2\n1\n6\nj.\nZadanie 33. (0-4)\nW ostrosłupie czworokątnym prawidłowym pole jednej ściany bocznej jest równe 12, a cosinus kąta\nnachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy 3\n1 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\n9. Stereometria. Zdający:\n4) rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między\nścianami;\n6) stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar\nkątów, pól powierzchni i objętości.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWprowadzamy oznaczenia: a - długość krawędzi podstawy ostrosłupa, H - wysokość ostrosłupa,\nh - wysokość ściany bocznej i α - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.\nRysunek:\nW ABS\n3\nwyznaczamy cos\nh\na\n2\n1\na =\n, a następnie zapisujemy równanie h\na\n2\n1\n3\n1\n, skąd\notrzymujemy h\na\n2\n3\nWykorzystujemy wzór na pole ściany bocznej:\na h\n2\n1\n12\n$\n, z którego po podstawieniu h\na\n2\n3\n,\notrzymujemy\na\na\n2\n1\n2\n3\n12\n$\ni dalej\na\n4\n12\n3\n2 =\n, a stąd a\n16\n2 =\n, czyli a\n4\n= . Ponieważ h\na\n2\n3\n, więc\nh\n6\nB\nS\nA\nH\nh\na\n17 z 18\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom podstawowy\nAby obliczyć wysokość H ostrosłupa, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego\nABS. Otrzymujemy: H\na\nh\n2\n1\n2\n2\n2\nj\nI dalej: H\n2\n6\n2\n2\n2\nH\n32\n2 =\nH","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"uklady_rownan","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 7. (0-1)
Układ równań liniowych
x
y
x
y
2
4
3
3
6
4
(
A. nie ma rozwiązania.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania.
D. ma nieskończenie wiele rozwiązań.

","answer_text_html":"

7 2
. Oblicz współrzędne wierzchołka C, jeżeli wiadomo, że obie te współrzędne są dodatnie.
IV. Użycie i tworzenie strategii.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:
  2. wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane
\n

punkty (w postaci kierunkowej lub ogólnej);

\n
  1. wyznacza równanie prostej, która jest równoległa
\n

lub prostopadła do prostej danej w postaci kierunkowej
i przechodzi przez dany punkt;

\n
  1. wyznacza współrzędne środka odcinka;
  2. oblicza odległość dwóch punktów.
\n

y
x
1
0
1
P = (
)
2, -4
W = (
)
-1, 5
15 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Przykładowe rozwiązanie
Spodek wysokości D jest środkiem boku AB, a zatem jego współrzędne to:
,
,
D
2
2
6
2
1
5
4 3
j
h.
Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy a
6
2
5
1
1
1 =
= . Prosta CD jest do niej prostopadła,
a więc jej współczynnik kierunkowy jest równy a
1
2 =- i przechodzi przez punkt
,
D
4 3
h.
Równanie tej prostej możemy zapisać w postaci kierunkowej y
x
b
=- + i dalej
b
3
4
=- + , b
7
= ,
a stąd otrzymujemy y
x
7
Do obliczenia współrzędnych wierzchołka C wykorzystujemy fakt, że leży on na prostej CD i jego
odległość od punktu D jest dana.
Możemy oznaczyć współrzędne wierzchołka
,
C
x
x
7
h i wyznaczyć wysokość
CD
x
x
4
7
3
2
2
h
h .
Rozwiązujemy równanie
x
x
2
7
4
7
3
2
2
h
h :
x
49
2
4
2
2
$
h
x
4
49
4 2
h
x
4
2
7
lub x
4
2
7
x
7 2
1
lub x
2
1
Wierzchołek C ma zatem współrzędne:
,
C
7 2
1
2
1
j lub
,
C
2
1
2
1
6
j.
Warunek zadania spełnia tylko punkt
,
C
2
1
2
1
6
j, a zatem jest on jedynym rozwiązaniem zadania.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze
do całkowitego rozwiązania zadania
1 pkt
Zdający wyznaczy współrzędne punktu
,
D
4 3
h
albo
obliczy współczynnik kierunkowy prostej AB: a
6
2
5
1
1
1 =
= i wyznaczy równanie prostej CD:
x
7
y = -
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający wyznaczy współrzędne punktu
,
D
4 3
h oraz obliczy współczynnik kierunkowy prostej
A: a
6
2
5
1
1
1 =
= i wyznaczy równanie prostej CD:
x
7
y = -
A = (
)
2, 1
D
B = (
)
6, 5
C
16 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający zapisze współrzędne wierzchołka
,
C
x
x
7
h i zapisze równanie z jedną niewiadomą,
np.
x
x
2
7
4
7
3
2
2
h
h .
Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności
rozwiązania
4 pkt
Zdający rozwiąże równanie
x
2
49
2
4 2
$
h i otrzyma dwa rozwiązania
x
7 2
7
1 =
lub x
2
1
2 =
albo
rozwiąże zadanie do końca z usterkami rachunkowymi (także na wcześniejszych etapach).
Rozwiązanie pełne
5 pkt
Zdający wyznaczy współrzędne wierzchołka
,
C
7 2
1
2
1
j lub
,
C
2
1
2
1
6
j oraz uwzględni, że
warunki zadania spełnia tylko wierzchołek
,
C
2
1
2
1
6
j.
Zadanie 33. (0-4)
W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym pole jednej ściany bocznej jest równe 12, a cosinus kąta
nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy 3
1 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
IV. Użycie i tworzenie strategii.

\n
  1. Stereometria. Zdający:
  2. rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między
\n

ścianami;

\n
  1. stosuje trygonometrię do obliczeń długości odcinków, miar
\n

kątów, pól powierzchni i objętości.
Przykładowe rozwiązanie
Wprowadzamy oznaczenia: a - długość krawędzi podstawy ostrosłupa, H - wysokość ostrosłupa,
h - wysokość ściany bocznej i α - kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.
Rysunek:
W ABS
3
wyznaczamy cos
h
a
2
1
a =
, a następnie zapisujemy równanie h
a
2
1
3
1
, skąd
otrzymujemy h
a
2
3
Wykorzystujemy wzór na pole ściany bocznej:
a h
2
1
12
$
, z którego po podstawieniu h
a
2
3
,
otrzymujemy
a
a
2
1
2
3
12
$
i dalej
a
4
12
3
2 =
, a stąd a
16
2 =
, czyli a
4
= . Ponieważ h
a
2
3
, więc
h
6
B
S
A
H
h
a
17 z 18
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom podstawowy
Aby obliczyć wysokość H ostrosłupa, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego
ABS. Otrzymujemy: H
a
h
2
1
2
2
2
j
I dalej: H
2
6
2
2
2
H
32
2 =
H

","solutions":[]}