{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"10","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-3)\nW pudełku znajduje się sto kul ponumerowanych liczbami od 1 do 100. Wylosowanie każdej z kul jest tak\nsamo prawdopodobne. Wylosowano jednocześnie pięć kul. Wyznacz prawdopodobieństwo, że numery\nwylosowanych kul ustawione w odpowiedniej kolejności tworzą ściśle rosnący ciąg geometryczny\no całkowitym ilorazie.\nOdpowiedź:\n\n9 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nR10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji\ni wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych\nsytuacjach kombinatorycznych.\nPrzykładowe rozwiązania\nNiech\n,\n,\n,\n,\na\na\na\na\na\n1\n2\n3\n4\n5 będzie piątką liczb wylosowanych bez zwracania ze zbioru {1, , 100}, przy\nczym zakładamy, że a\na\na\na\na\n1\n2\n3\n4\n5\n1\n1\n1\n1\n. Jeśli liczby te są kolejnymi wyrazami ściśle rosnącego\nciągu geometrycznego o ilorazie q, to jest jasne, że\na\na\na q\na\na q\na\na q\na\na q\n1\n100\n1\n2\n1\n3\n1\n2\n4\n1\n3\n5\n1\n4\n1\n1\n1\n1\nG\nG\nInteresuje nas tylko przypadek, gdy q jest liczbą całkowitą większą od 1, a więc skoro 4\n100\n4 2\n, to musi\nzachodzić nierówność\nq\n2\n3\nG\nG . Wykazaliśmy, że ilorazem ciągu geometrycznego\n,\n,\n,\n,\na\na\na\na\na\n1\n2\n3\n4\n5\nmoże być liczba 2 lub liczba 3, a zatem kolejne jego wyrazy to a1, 2a1, 4a1, 8a1, 16a1 lub a1, 3a1,\n9a1, 27a1, 81a1. W pierwszym przypadku z nierówności\na\n16\n100\n1 G\nwynika, że a\n6\n1 G , więc istnieje\n6 możliwych do wylosowania piątek liczb, które ustawione w odpowiedniej kolejności tworzą ciąg\ngeometryczny o ilorazie q = 2. W drugim przypadku a\n1\n1 = , ponieważ\na\n81\n100\n1 G\n, a zatem jest\njedna możliwa do wylosowania piątka liczb, które ustawione w odpowiedniej kolejności tworzą ciąg\ngeometryczny o ilorazie q = 3.\n7 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSposobów wylosowania (bez zwracania) pięciu liczb spośród stu jest\n5\n100\nj. W siedmiu przypadkach,\njak wykazaliśmy, można wylosowane liczby ustawić w taki sposób, by utworzyły ściśle rosnący\nciąg geometryczny o całkowitym ilorazie. Szukane prawdopodobieństwo jest równe zatem\n5\n100\n7\n100 99 98 97 96\n7 2 3 4 5\n5 33 7 97 96\n1\n10755360\n1\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\n$\nj\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny\n1 pkt\nZdający zauważy i uzasadni to, że ilorazem wylosowanego ciągu geometrycznego może być jedynie 2\nlub 3.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający zauważy, że pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego o ilorazie 3 może być wyłącznie\nliczba 1, a jeśli ilorazem ciągu geometrycznego jest liczba 2, to pierwszym wyrazem ciągu może być\njedna z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6.\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający stwierdzi, że jest siedem ciągów geometrycznych spełniających warunki zadania, zaś wszystkich\nmożliwych do wylosowania ciągów jest\n5\n100\nj. Na tej podstawie wyznaczy prawdopodobieństwo\nw postaci ilorazu\n5\n100\n7\nj\nlub równoważnego.\nUwagi:\n1) W zadaniu można rozpatrywać piątki uporządkowane lub zbiory pięcioelementowe; nie wpływa to\nna wynik, a na opis rozwiązania - nieznacznie.\n2) Można to zadanie rozwiązać wypisując ciągi spełniające warunki zadania, bez przeprowadzonego\nrozumowania.\n3) Wynik w postaci\n!\n100 99 98 97 96\n7 5\n$\n$\n$\n$\n$\nlub\n5\n100\n7\nj\njest akceptowalny - zdający nie musi wykonać\nmnożenia liczb w liczniku, tym bardziej w mianowniku.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"prawdopodobienstwo","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 10. (0-3)
W pudełku znajduje się sto kul ponumerowanych liczbami od 1 do 100. Wylosowanie każdej z kul jest tak
samo prawdopodobne. Wylosowano jednocześnie pięć kul. Wyznacz prawdopodobieństwo, że numery
wylosowanych kul ustawione w odpowiedniej kolejności tworzą ściśle rosnący ciąg geometryczny
o całkowitym ilorazie.
Odpowiedź:

\n

9 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
R10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa
i kombinatoryka.
Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji
i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych
sytuacjach kombinatorycznych.
Przykładowe rozwiązania
Niech
,
,
,
,
a
a
a
a
a
1
2
3
4
5 będzie piątką liczb wylosowanych bez zwracania ze zbioru {1, , 100}, przy
czym zakładamy, że a
a
a
a
a
1
2
3
4
5
1
1
1
1
. Jeśli liczby te są kolejnymi wyrazami ściśle rosnącego
ciągu geometrycznego o ilorazie q, to jest jasne, że
a
a
a q
a
a q
a
a q
a
a q
1
100
1
2
1
3
1
2
4
1
3
5
1
4
1
1
1
1
G
G
Interesuje nas tylko przypadek, gdy q jest liczbą całkowitą większą od 1, a więc skoro 4
100
4 2
, to musi
zachodzić nierówność
q
2
3
G
G . Wykazaliśmy, że ilorazem ciągu geometrycznego
,
,
,
,
a
a
a
a
a
1
2
3
4
5
może być liczba 2 lub liczba 3, a zatem kolejne jego wyrazy to a1, 2a1, 4a1, 8a1, 16a1 lub a1, 3a1,
9a1, 27a1, 81a1. W pierwszym przypadku z nierówności
a
16
100
1 G
wynika, że a
6
1 G , więc istnieje
6 możliwych do wylosowania piątek liczb, które ustawione w odpowiedniej kolejności tworzą ciąg
geometryczny o ilorazie q = 2. W drugim przypadku a
1
1 = , ponieważ
a
81
100
1 G
, a zatem jest
jedna możliwa do wylosowania piątka liczb, które ustawione w odpowiedniej kolejności tworzą ciąg
geometryczny o ilorazie q = 3.
7 z 17
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Sposobów wylosowania (bez zwracania) pięciu liczb spośród stu jest
5
100
j. W siedmiu przypadkach,
jak wykazaliśmy, można wylosowane liczby ustawić w taki sposób, by utworzyły ściśle rosnący
ciąg geometryczny o całkowitym ilorazie. Szukane prawdopodobieństwo jest równe zatem
5
100
7
100 99 98 97 96
7 2 3 4 5
5 33 7 97 96
1
10755360
1
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
$
j
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny
1 pkt
Zdający zauważy i uzasadni to, że ilorazem wylosowanego ciągu geometrycznego może być jedynie 2
lub 3.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
2 pkt
Zdający zauważy, że pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego o ilorazie 3 może być wyłącznie
liczba 1, a jeśli ilorazem ciągu geometrycznego jest liczba 2, to pierwszym wyrazem ciągu może być
jedna z liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Rozwiązanie pełne
3 pkt
Zdający stwierdzi, że jest siedem ciągów geometrycznych spełniających warunki zadania, zaś wszystkich
możliwych do wylosowania ciągów jest
5
100
j. Na tej podstawie wyznaczy prawdopodobieństwo
w postaci ilorazu
5
100
7
j
lub równoważnego.
Uwagi:

\n
  1. W zadaniu można rozpatrywać piątki uporządkowane lub zbiory pięcioelementowe; nie wpływa to
\n

na wynik, a na opis rozwiązania - nieznacznie.

\n
  1. Można to zadanie rozwiązać wypisując ciągi spełniające warunki zadania, bez przeprowadzonego
\n

rozumowania.

\n
  1. Wynik w postaci
\n

!
100 99 98 97 96
7 5
$
$
$
$
$
lub
5
100
7
j
jest akceptowalny - zdający nie musi wykonać
mnożenia liczb w liczniku, tym bardziej w mianowniku.

","solutions":[]}