{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/11","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"11","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11. (0-4)\nWykaż, że jeśli a, b, c są kątami trójkąta i zachodzi równość sin\nsin\ntg\ntg\n2\n2\nb\na\nb\na\n, to a\nb\nlub c = 90°.\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n10\n11\nMaks. liczba pkt\n3\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n10 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Rozumowanie\ni argumentacja.\n6. Trygonometria. Zdający:\nP4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi:\n[…]\ncos\nsin\ntga\na\na\noraz sin\ncos\n90c\na\na\nh\n;\nR5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę\nsinusów i cosinusów kątów;\nR6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu\nsin x\n2\n2\n1\n, sin\ncos\nx\nx\n2\n1\n= , sin\ncos\nx\nx\n1\n= , cos x\n2\n2\n1\n1\n8 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nPrzykładowe rozwiązania\nZapisujemy założenia dotyczące miar kątów a, b, c.\nPonieważ są to kąty w trójkącie, więc miara każdego z nich należy do przedziału (0°, 180°) oraz\n180c\na\nb\nc\n. Ponadto, aby istniały tangensy a i b, muszą być spełnione warunki\n90c\n!\na\n,\n90c\n!\nb\nSposób I\nMnożymy obie strony równości przez sin\n0\ntg\n2\n$\n!\nb\nb\ni otrzymujemy równość\nsin\nsin\ntg\ntg\n2\n2\nb\na\na\nb\nNastępnie przedstawiamy tga i tgb odpowiednio w postaci cos\nsin\na\na i cos\nsin\nb\nb . Otrzymujemy:\ncos\nsin\nsin\ncos\nsin\nsin\n2\n2\n$\n$\nb\nb\na\na\na\nb\n, czyli równoważnie cos\nsin\nsin\ncos\nsin\nsin\n0\n2\n2\n$\n$\nb\nb\na\na\na\nb\nWyłączamy przed nawias wspólny czynnik:\nsin\nsin\ncos\nsin\ncos\nsin\n0\n$\na\nb\nb\nb\na\na\nc\nm\nPonieważ sin\nsin\n0\n$\n!\na\nb\n, więc cos\nsin\ncos\nsin\n0\nb\na\na\na\nStąd, po pomnożeniu obu stron równości przez cos\ncos\n0\n$\n!\na\nb\n, otrzymujemy\nsin\ncos\nsin cos\n0\na\na\nb\nb\nsin\ncos\nsin cos\n2\n2\n0\na\na\nb\nb\nsin\nsin\n2\n2\na\nb\nPowyższa równość zachodzi albo dla równych kątów (2\n2\na\nb\n), albo dla kątów, których suma jest\nrówna 180 2\n180\n2\nc\nc\na\nb\nh, stąd a\nb\nlub 2\n2\n180c\na\nb\n, czyli\n90c\na\nb\n, a to z kolei oznacza,\nże\n90\n180\nc\nc\nc\na\nb\nc\nh.\nCo należało udowodnić.\nSposób II\nPo zapisaniu założeń dotyczących miar kątów a, b, c zapisujemy daną równość w postaci:\nsin\nsin\ncos\nsin\ncos\nsin\n2\n2\nb\na\na\na\nb\nb\n, skąd sin\nsin\ncos\nsin\nsin\ncos\n2\n2\nb\na\na\nb\na\nb\nNastępnie dzielimy obie strony otrzymanej równości przez sin\nsin\n0\n!\nb\na\ni otrzymujemy sin\nsin\nsin\ncos\nb\na\na\nb\n,\nco jest równoważne równości  sin\ncos\nsin cos\na\na\nb\nb\n. Dalej jak w sposobie I.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt\nZdający zapisze równość sin\nsin\ntg\ntg\n2\n2\nb\na\nb\na\nw postaci cos\nsin\nsin\ncos\nsin\nsin\n2\n2\n$\n$\nb\nb\na\na\na\nb\nlub\nsin\nsin\ncos\nsin\nsin\ncos\n2\n2\nb\na\na\nb\na\nb\n, wraz z założeniami , ,\n,\n0 180\nc\nc\n!\na b c\nh i\n90c\n!\na\n,\n90c\n!\nb\nRozwiązanie, w którym jest istotny postęp\n2 pkt\nZdający przekształci wyjściową równość do postaci sin\nsin\n2\n2\na\nb\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający zapisze przynajmniej jedną zależność między kątami: a\nb\nlub\n90c\na\nb\n2\n180\n2\nc\na\nb\nh.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający zapisze pełny wniosek: a\nb\nlub\n90c\nc =\nUwaga\nJeżeli zdający nie zapisze założeń\n, ,\n,\n0 180\nc\nc\n!\na b c\nh i\n90c\n!\na\n,\n90c\n!\nb\nna żadnym z etapów\nrozwiązywania zadania, ale poprawnie wykona wszystkie przekształcenia, to za rozwiązanie\notrzymuje 2 pkt.\n9 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-11.webp","solution_image":null,"topics":"trygonometria","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Wykaż, że jeśli a, b, c są kątami trójkąta i zachodzi równość sin
sin
tg
tg
2
2
b
a
b
a
, to a
b
lub c = 90°.
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
10
11
Maks. liczba pkt
3
4
Uzyskana liczba pkt

\n

10 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 11. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Rozumowanie
i argumentacja.

\n
  1. Trygonometria. Zdający:
\n

P4) stosuje proste zależności między funkcjami trygonometrycznymi:
[…]
cos
sin
tga
a
a
oraz sin
cos
90c
a
a
h
;
R5) stosuje wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów, sumę i różnicę
sinusów i cosinusów kątów;
R6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne typu
sin x
2
2
1
, sin
cos
x
x
2
1
= , sin
cos
x
x
1
= , cos x
2
2
1
1
8 z 17
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Przykładowe rozwiązania
Zapisujemy założenia dotyczące miar kątów a, b, c.
Ponieważ są to kąty w trójkącie, więc miara każdego z nich należy do przedziału (0°, 180°) oraz
180c
a
b
c
. Ponadto, aby istniały tangensy a i b, muszą być spełnione warunki
90c
!
a
,
90c
!
b
Sposób I
Mnożymy obie strony równości przez sin
0
tg
2
$
!
b
b
i otrzymujemy równość
sin
sin
tg
tg
2
2
b
a
a
b
Następnie przedstawiamy tga i tgb odpowiednio w postaci cos
sin
a
a i cos
sin
b
b . Otrzymujemy:
cos
sin
sin
cos
sin
sin
2
2
$
$
b
b
a
a
a
b
, czyli równoważnie cos
sin
sin
cos
sin
sin
0
2
2
$
$
b
b
a
a
a
b
Wyłączamy przed nawias wspólny czynnik:
sin
sin
cos
sin
cos
sin
0
$
a
b
b
b
a
a
c
m
Ponieważ sin
sin
0
$
!
a
b
, więc cos
sin
cos
sin
0
b
a
a
a
Stąd, po pomnożeniu obu stron równości przez cos
cos
0
$
!
a
b
, otrzymujemy
sin
cos
sin cos
0
a
a
b
b
sin
cos
sin cos
2
2
0
a
a
b
b
sin
sin
2
2
a
b
Powyższa równość zachodzi albo dla równych kątów (2
2
a
b
), albo dla kątów, których suma jest
równa 180 2
180
2
c
c
a
b
h, stąd a
b
lub 2
2
180c
a
b
, czyli
90c
a
b
, a to z kolei oznacza,
że
90
180
c
c
c
a
b
c
h.
Co należało udowodnić.
Sposób II
Po zapisaniu założeń dotyczących miar kątów a, b, c zapisujemy daną równość w postaci:
sin
sin
cos
sin
cos
sin
2
2
b
a
a
a
b
b
, skąd sin
sin
cos
sin
sin
cos
2
2
b
a
a
b
a
b
Następnie dzielimy obie strony otrzymanej równości przez sin
sin
0
!
b
a
i otrzymujemy sin
sin
sin
cos
b
a
a
b
,
co jest równoważne równości  sin
cos
sin cos
a
a
b
b
. Dalej jak w sposobie I.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt
Zdający zapisze równość sin
sin
tg
tg
2
2
b
a
b
a
w postaci cos
sin
sin
cos
sin
sin
2
2
$
$
b
b
a
a
a
b
lub
sin
sin
cos
sin
sin
cos
2
2
b
a
a
b
a
b
, wraz z założeniami , ,
,
0 180
c
c
!
a b c
h i
90c
!
a
,
90c
!
b
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp
2 pkt
Zdający przekształci wyjściową równość do postaci sin
sin
2
2
a
b
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający zapisze przynajmniej jedną zależność między kątami: a
b
lub
90c
a
b
2
180
2
c
a
b
h.
Rozwiązanie pełne
4 pkt
Zdający zapisze pełny wniosek: a
b
lub
90c
c =
Uwaga
Jeżeli zdający nie zapisze założeń
, ,
,
0 180
c
c
!
a b c
h i
90c
!
a
,
90c
!
b
na żadnym z etapów
rozwiązywania zadania, ale poprawnie wykona wszystkie przekształcenia, to za rozwiązanie
otrzymuje 2 pkt.
9 z 17
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","solutions":[]}