{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"12","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-4)\nJednokładność f o środku w punkcie X przekształca punkt\n,\nA\n3 2\nh na punkt\n,\nA\n4 6\nl\nh oraz\nprzeprowadza punkt\n,\nB\n3 3\nh na punkt\n,\nB\n8 8\nl\nh. Znajdź równanie okręgu, którego obrazem\nprzy jednokładności f  jest okrąg o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\n\n11 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n12\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\n12 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-4)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nR7. Planimetria. Zdający:\n3) znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności\n[…];\n4) rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także\nw kontekstach praktycznych) ich własności.\nR8.5. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.\nZdający posługuje się równaniem okręgu […].\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nZauważmy, że środek X jednokładności f  leży na przecięciu prostych AAl oraz BBl.\nWyznaczamy równania tych prostych. Pierwsze z nich to y\nx\n4\n10\n, a drugie: y\nx\n=- . Proste te\nprzecinają się w punkcie X = (2, -2). Obliczamy skalę jednokładności.\nMamy\n,\n,\nXA\nXA\n2 8\n2 1 4\n2\nl\n6\n6\n@\n@\n. Z definicji jednokładności wynika, że skalą f  jest 2. Szukany\nśrodek okręgu, którego obrazem przy f  jest okrąg o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\n, oznaczamy\nprzez\n,\nO\nx y\n0\n0\nh. Środkiem okręgu o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\njest\n,\nO\n8 2\nl\nh. Skalą\njednokładności jest 2, więc mamy\nO\n,\nXO\nX\n2\n6 4\nl\n6\n@, czyli\n,\nXO\n3 2\n= 6\n@.\nZatem O = (2, -2) + [3, 2] = (5, 0).\nOkrąg o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\nma promień równy 2, zatem szukany okrąg ma promień\nrówny 1 (figury te są podobne, a skala podobieństwa to 2). Ma on zatem równanie x\ny\n5\n1\n2\n2\nh\nSposób II\nWyznaczamy wektory\n,\nAB\n6 1\n6\n@ oraz\n,\nA B\n12 2\nl l\n6\n@. W rozwiązaniu tym korzystamy z faktu,\nże jeśli k jest skalą jednokładności f, to dla każdych punktów P, Q oraz ich obrazów Pl = f(P),\nQl = f(Q) w jednokładności f, zachodzi równość wektorów k PQ\nP Q\n$\nl l. Skoro A B\nAB\n2\nl l\n, to k = 2.\n(Skalę można wyznaczyć także bezpośrednio z definicji jednokładności o środku X: XA\nAB\nXB\noraz XA\nA B\nXB\nl\nl l\nl. Ale z definicji jednokładności\nk\nXA\nXA\n$\nl\noraz\nk\nXB\nXB\n$\nl\n. Co więcej,\nrachunki wyżej dają A B\nAB\n2\nl l\n. A zatem\nk\nXA\nAB\nXB\n2\n$\n. Napisane na początku równanie\npomnożone przez k daje nam k\nk\nk\nXA\nAB\nXB\n$\n$\n$\n, zatem k = 2).\nSzukany środek okręgu, którego obrazem przy f jest okrąg o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\noznaczamy przez\n,\nO\nx y\n0\n0\nh. Środek okręgu o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\noznaczamy jako Ol.\nJest to punkt (8, 2). Zgodnie z wyznaczoną skalą jednokładności mamy\n,\nAO\nA O\n2\n4\n4\nl l\n6\n@\n(ponownie korzystamy tu z zapisanej wyżej własności skali jednokładności). Zatem\n,\nAO\n2 2\n= 6\n@\ni O = (5, 0). Okrąg o równaniu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\nma promień równy 2, a zatem szukany okrąg\nma promień równy 1 (figury te są podobne, a skala podobieństwa to 2). Szukany okrąg ma równanie\nx\ny\n5\n1\n2\n2\nh\nA\nA'\nB\nB'\nX\nO\nO'\n10 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSposób III\nKorzystamy ze wzorów na jednokładność w układzie współrzędnych: jednokładność o środku\nw punkcie\n,\nO x y\n0\n0\nh i skali s\n0\n! przekształca punkt A = (x, y) na punkt Al = (sx + (1 - s)x0, sy + (1 - s)y0).\nPodstawiamy współrzędne punktów i ich obrazów i otrzymujemy układ równań. Rozwiązujemy ten\nukład i wyznaczamy środek i skalę jednokładności. Kolejne użycie wzorów do obliczonej jednokładności\npozwala na wyznaczenie środka okręgu, gdyż obrazem okręgu w jednokładności jest okrąg.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt\nZdający stwierdzi, że środek jednokładności znajduje się na przecięciu prostych przechodzących\nodpowiednio przez pary punktów A, Al oraz B, Bl, a następnie wyznaczy równania tych prostych\nalbo\nwyznaczy wektory AB , A B\nl l oraz skalę jednokładności\nalbo\n• podstawi współrzędne punktów do równań analitycznych na jednokładność, otrzymując układ\nrównań.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny\n2 pkt\nZdający wyznaczy punkt przecięcia prostych przechodzących odpowiednio przez pary punktów\nA, Al oraz B, Bl, czyli X = (2, 2) oraz, z definicji, skalę jednokładności\nalbo\nwyznaczy środek Ol = (8, 2) i promień r = 2 okręgu x\ny\n8\n2\n4\n2\n2\nh\nh\n, a następnie, znając skalę\njednokładności f  i warunki łączące wektory\nO\nA\nAO =\nl\n, wyznaczy środek O = (5, 0) szukanego\nokręgu\nalbo\nrozwiąże układ równań, wyznaczając przekształcenie.\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający obliczy jeden z parametrów szukanego okręgu: środek lub promień.\nRozwiązanie pełne\n4 pkt\nZdający wyznaczy równanie szukanego okręgu x\ny\n5\n1\n2\n2\nh","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 12. (0-4)
Jednokładność f o środku w punkcie X przekształca punkt
,
A
3 2
h na punkt
,
A
4 6
l
h oraz
przeprowadza punkt
,
B
3 3
h na punkt
,
B
8 8
l
h. Znajdź równanie okręgu, którego obrazem
przy jednokładności f  jest okrąg o równaniu x
y
8
2
4
2
2
h
h

\n

11 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
12
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

12 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 12. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
R7. Planimetria. Zdający:

\n
  1. znajduje obrazy niektórych figur geometrycznych w jednokładności
\n

[…];

\n
  1. rozpoznaje figury podobne i jednokładne; wykorzystuje (także
\n

w kontekstach praktycznych) ich własności.
R8.5. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Zdający posługuje się równaniem okręgu […].
Przykładowe rozwiązania
Sposób I
Zauważmy, że środek X jednokładności f  leży na przecięciu prostych AAl oraz BBl.
Wyznaczamy równania tych prostych. Pierwsze z nich to y
x
4
10
, a drugie: y
x
=- . Proste te
przecinają się w punkcie X = (2, -2). Obliczamy skalę jednokładności.
Mamy
,
,
XA
XA
2 8
2 1 4
2
l
6
6
@
@
. Z definicji jednokładności wynika, że skalą f  jest 2. Szukany
środek okręgu, którego obrazem przy f  jest okrąg o równaniu x
y
8
2
4
2
2
h
h
, oznaczamy
przez
,
O
x y
0
0
h. Środkiem okręgu o równaniu x
y
8
2
4
2
2
h
h
jest
,
O
8 2
l
h. Skalą
jednokładności jest 2, więc mamy
O
,
XO
X
2
6 4
l
6
@, czyli
,
XO
3 2
= 6
@.
Zatem O = (2, -2) + [3, 2] = (5, 0).
Okrąg o równaniu x
y
8
2
4
2
2
h
h
ma promień równy 2, zatem szukany okrąg ma promień
równy 1 (figury te są podobne, a skala podobieństwa to 2). Ma on zatem równanie x
y
5
1
2
2
h
Sposób II
Wyznaczamy wektory
,
AB
6 1
6
@ oraz
,
A B
12 2
l l
6
@. W rozwiązaniu tym korzystamy z faktu,
że jeśli k jest skalą jednokładności f, to dla każdych punktów P, Q oraz ich obrazów Pl = f(P),
Ql = f(Q) w jednokładności f, zachodzi równość wektorów k PQ
P Q
$
l l. Skoro A B
AB
2
l l
, to k = 2.
(Skalę można wyznaczyć także bezpośrednio z definicji jednokładności o środku X: XA
AB
XB
oraz XA
A B
XB
l
l l
l. Ale z definicji jednokładności
k
XA
XA
$
l
oraz
k
XB
XB
$
l
. Co więcej,
rachunki wyżej dają A B
AB
2
l l
. A zatem
k
XA
AB
XB
2
$
. Napisane na początku równanie
pomnożone przez k daje nam k
k
k
XA
AB
XB
$
$
$
, zatem k = 2).
Szukany środek okręgu, którego obrazem przy f jest okrąg o równaniu x
y
8
2
4
2
2
h
h
oznaczamy przez
,
O
x y
0
0
h. Środek okręgu o równaniu x
y
8
2
4
2
2
h
h
oznaczamy jako Ol.
Jest to punkt (8, 2). Zgodnie z wyznaczoną skalą jednokładności mamy
,
AO
A O
2
4
4
l l
6
@
(ponownie korzystamy tu z zapisanej wyżej własności skali jednokładności). Zatem
,
AO
2 2
= 6
@
i O = (5, 0). Okrąg o równaniu x
y
8
2
4
2
2
h
h
ma promień równy 2, a zatem szukany okrąg
ma promień równy 1 (figury te są podobne, a skala podobieństwa to 2). Szukany okrąg ma równanie
x
y
5
1
2
2
h
A
A'
B
B'
X
O
O'
10 z 17
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Sposób III
Korzystamy ze wzorów na jednokładność w układzie współrzędnych: jednokładność o środku
w punkcie
,
O x y
0
0
h i skali s
0
! przekształca punkt A = (x, y) na punkt Al = (sx + (1 - s)x0, sy + (1 - s)y0).
Podstawiamy współrzędne punktów i ich obrazów i otrzymujemy układ równań. Rozwiązujemy ten
układ i wyznaczamy środek i skalę jednokładności. Kolejne użycie wzorów do obliczonej jednokładności
pozwala na wyznaczenie środka okręgu, gdyż obrazem okręgu w jednokładności jest okrąg.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt
Zdający stwierdzi, że środek jednokładności znajduje się na przecięciu prostych przechodzących
odpowiednio przez pary punktów A, Al oraz B, Bl, a następnie wyznaczy równania tych prostych
albo
wyznaczy wektory AB , A B
l l oraz skalę jednokładności
albo
• podstawi współrzędne punktów do równań analitycznych na jednokładność, otrzymując układ
równań.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny
2 pkt
Zdający wyznaczy punkt przecięcia prostych przechodzących odpowiednio przez pary punktów
A, Al oraz B, Bl, czyli X = (2, 2) oraz, z definicji, skalę jednokładności
albo
wyznaczy środek Ol = (8, 2) i promień r = 2 okręgu x
y
8
2
4
2
2
h
h
, a następnie, znając skalę
jednokładności f  i warunki łączące wektory
O
A
AO =
l
, wyznaczy środek O = (5, 0) szukanego
okręgu
albo
rozwiąże układ równań, wyznaczając przekształcenie.
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający obliczy jeden z parametrów szukanego okręgu: środek lub promień.
Rozwiązanie pełne
4 pkt
Zdający wyznaczy równanie szukanego okręgu x
y
5
1
2
2
h

","solutions":[]}