{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/14","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"14","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 14. (0-5)\nDany jest trójkąt ABC o polu równym 5, gdzie\n,\nA\n5 3\nh oraz\n,\nB\n1 0\nh. Prosta zawierająca wysokość\ntrójkąta ABC ma równanie y\nx\n2\n7\n- . Wyznacz współrzędne punktu C.\n\n15 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n14\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\n16 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 14. (0-5)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n8. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:\nP3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do\nprostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;\nR4) oblicza odległość punktu od prostej.\nPrzykładowe rozwiązanie\nNa początku sprawdzamy, przez który wierzchołek trójkąta ABC\nprzechodzi wysokość trójkąta, czyli prosta y\nx\n2\n7\n- . Prosta ta nie\njest prostopadła do prostej AB, której współczynnikiem kierunkowym\njest liczba 5\n1\n3\n0\n5\n3\n2\n1\n!\n, wobec tego nie zawiera ona wysokości\npoprowadzonej z punktu C. 0\n2 1\n7\n$\n!\n- , więc punkt B nie leży na prostej\ny\nx\n2\n7\n- , a 3\n2 5\n7\n$\n- , więc punkt A leży na prostej y\nx\n2\n7\n- , więc\nzawiera ona wysokość poprowadzoną z punktu A.\nProsta zawierająca punkty B, C, opisana równaniem y\nax\nb\n+ , jest\nzatem prostopadła do prostej y\nx\n2\n7\n- . W szczególności a\n2\n1\nPo wstawieniu współrzędnych punktu B do równania\nx\nb\ny\n2\n1\notrzymujemy b\n2\n1\n. Wysokość h poprowadzona z punktu A do prostej\nBC to odległość punktu A od prostej\nx +\ny\n2\n1\n2\n1\nRównanie ogólne tej prostej to\nx\ny\n2\n1\n2\n1\n0\n= . Zatem wysokość h\n2\n1\n1\n2\n1 5\n3\n2\n1\n2 5\n2\n$\nSkoro pole trójkąta ABC równe jest\nBC\nh\n2\n1\n5\n$\n$\n= , to BC\n5\n. Szukamy zatem punktów\no współrzędnych (x, y) leżących na prostej BC odległych od punktu B o 5. Współrzędne (x, y) punktu\nC spełniają zatem warunki\nx\ny\n1\n0\n5\n2\n2\nh\nh\noraz\nx +\ny\n2\n1\n2\n1\n. Z nich wynika równanie\nkwadratowe\nx\nx\nx\nx\nx\n5\n1\n2\n1\n2\n1\n1\n4\n1\n1\n4\n5\n1\n2\n2\n2\n2\n2\nh\nj\nh\nh\nh , czyli\nx\n4\n1 2\nh .\nJego rozwiązaniami są liczby\n1\nx = - oraz x\n3\nZ równania\nx +\ny\n2\n1\n2\n1\nwynika, że\n,\nC\n3\n1\nh lub\n,\nC\n1 1\nh.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt\nZdający sprawdzi, że punkt A leży na prostej y\nx\n2\n7\n- oraz że prosta ta jest prostopadła do prostej\nprzechodzącej przez punkty B, C.\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny\n2 pkt\nZdający wyznaczy równanie prostej zawierającej bok BC:\nx +\ny\n2\n1\n2\n1\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n3 pkt\nZdający wyznaczy odległość punktu A od prostej 2 5\nh oraz, korzystając ze wzoru na pole trójkąta,\nwyznaczy BC\n5\nC\nC\nB\nA\n13 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nRozwiązanie prawie pełne\n4 pkt\nW oparciu o warunki dotyczące punktu\n,\nC\nx y\nh zdający wypisze warunki\nx\ny\n1\n0\n5\n2\n2\nh\nh\noraz y\nx\n2\n1\n2\n1\ni uzyska odpowiednie równanie kwadratowe zmiennej x lub y.\nRozwiązanie pełne\n5 pkt\nZdający rozwiąże uzyskane równanie i uzyska możliwe współrzędne punktu C: (3, -1) oraz (-1, 1).","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-14.webp","solution_image":null,"topics":"analityczna","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 14. (0-5)
Dany jest trójkąt ABC o polu równym 5, gdzie
,
A
5 3
h oraz
,
B
1 0
h. Prosta zawierająca wysokość
trójkąta ABC ma równanie y
x
2
7

\n\n

15 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
14
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

16 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 14. (0-5)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zdający:
\n

P3) wyznacza równanie prostej, która jest równoległa lub prostopadła do
prostej danej w postaci kierunkowej i przechodzi przez dany punkt;
R4) oblicza odległość punktu od prostej.
Przykładowe rozwiązanie
Na początku sprawdzamy, przez który wierzchołek trójkąta ABC
przechodzi wysokość trójkąta, czyli prosta y
x
2
7

\n\n

jest prostopadła do prostej AB, której współczynnikiem kierunkowym
jest liczba 5
1
3
0
5
3
2
1
!
, wobec tego nie zawiera ona wysokości
poprowadzonej z punktu C. 0
2 1
7
$
!

\n\n

y
x
2
7

\n\n

2 5
7
$

\n\n

x
2
7

\n\n

zawiera ona wysokość poprowadzoną z punktu A.
Prosta zawierająca punkty B, C, opisana równaniem y
ax
b

\n\n

zatem prostopadła do prostej y
x
2
7

\n\n

2
1
Po wstawieniu współrzędnych punktu B do równania
x
b
y
2
1
otrzymujemy b
2
1
. Wysokość h poprowadzona z punktu A do prostej
BC to odległość punktu A od prostej
x +
y
2
1
2
1
Równanie ogólne tej prostej to
x
y
2
1
2
1
0
= . Zatem wysokość h
2
1
1
2
1 5
3
2
1
2 5
2
$
Skoro pole trójkąta ABC równe jest
BC
h
2
1
5
$
$
= , to BC
5
. Szukamy zatem punktów
o współrzędnych (x, y) leżących na prostej BC odległych od punktu B o 5. Współrzędne (x, y) punktu
C spełniają zatem warunki
x
y
1
0
5
2
2
h
h
oraz
x +
y
2
1
2
1
. Z nich wynika równanie
kwadratowe
x
x
x
x
x
5
1
2
1
2
1
1
4
1
1
4
5
1
2
2
2
2
2
h
j
h
h
h , czyli
x
4
1 2
h .
Jego rozwiązaniami są liczby
1
x = - oraz x
3
Z równania
x +
y
2
1
2
1
wynika, że
,
C
3
1
h lub
,
C
1 1
h.
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania 1 pkt
Zdający sprawdzi, że punkt A leży na prostej y
x
2
7

\n\n

przechodzącej przez punkty B, C.
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny
2 pkt
Zdający wyznaczy równanie prostej zawierającej bok BC:
x +
y
2
1
2
1
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
3 pkt
Zdający wyznaczy odległość punktu A od prostej 2 5
h oraz, korzystając ze wzoru na pole trójkąta,
wyznaczy BC
5
C
C
B
A
13 z 17
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Rozwiązanie prawie pełne
4 pkt
W oparciu o warunki dotyczące punktu
,
C
x y
h zdający wypisze warunki
x
y
1
0
5
2
2
h
h
oraz y
x
2
1
2
1
i uzyska odpowiednie równanie kwadratowe zmiennej x lub y.
Rozwiązanie pełne
5 pkt
Zdający rozwiąże uzyskane równanie i uzyska możliwe współrzędne punktu C: (3, -1) oraz (-1, 1).

","solutions":[]}