{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"15","points":0,"ptype":"true_false","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-6)\nPara liczb\n,\nm n\n0\n0\nh jest rozwiązaniem układu równań\nm\nn\nm\nn\np\n2\n1\n2\n, gdzie p\n1\n!- .\na) Wyznacz wzór funkcji f p\nn\nm\n0\n0\n^ h\n, podaj jej dziedzinę i zbiór wartości.\nb) Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie\n,\nP\nf\n3\n3\nhh.\n\n17 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n15\nMaks. liczba pkt\n6\nUzyskana liczba pkt\n\n18 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":"D","answer_text":"Zadanie 15. (0-6)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nP4. Funkcje. Zdający:\n3) odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości […]);\n13) szkicuje wykres funkcji f(x) = a/x dla danego a, korzysta ze wzoru\ni wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami\nodwrotnie proporcjonalnymi.\nR11. Rachunek różniczkowy. Zdający:\n2) oblicza pochodne funkcji wymiernych;\n3) korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej.\nPrzykładowe rozwiązanie\na)\nRozwiązujemy układ równań, np. metodą przeciwnych współczynników. Otrzymujemy:\nm\np\np\n1\ni n\np\np\n1\n2\n, gdzie p\n1\n!- . Zatem rozwiązaniem układu równań jest para liczb\n,\n,\nm n\np\np\np\np\n1\n1\n2\n0\n0 =\nc\nh\nm, p\n1\n!- .\nWyznaczamy wzór funkcji f: f p\np\np\np\np\np\np\n1\n1\n2\n2\n^ h\ni podajemy jej dziedzinę: D = R \\ {-2, -1}.\nAby wyznaczyć zbiór wartości funkcji f, przekształcamy jej wzór:\nf p\np\np\np\np\np\n2\n2\n2\n2\n2\n2\n1\nh\nh\n, p\nD\n!\nProsta y\n1\n= jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f, zatem liczba 1 nie należy do zbioru wartości\nfunkcji f. Ponieważ\nD\n1 b\n, więc rozpatrując funkcję g x\nx\nx\n2\n^ h\n, której dziedziną jest zbiór R \\ {-2},\nstwierdzamy, że do zbioru wartości funkcji f nie należy liczba g\n1\n1\nh\nMożna też wykorzystać wykres funkcji f i zauważyć, że do wykresu nie należy punkt (-1, -1).\nZatem f(D) = R \\ {-1, 1}.\np\n1\n0\n1\n(\n)\n-1, -1\nf p\n( )\n14 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nb)\nSposób I\nWyznaczamy funkcję pochodną funkcji f:\nf p\np\np\np\np\np\np\n2\n2\n1\n2\n1\n2\n2\n2\n2\n$\nl\nl\nc\nh\nm\nh\nh\nh p ! R \\ {-2, -1}.\nObliczamy wartość pochodnej dla p = -3:\n2\nf\n3\n3\n2\n2\n2\nl^\nh\nh\nObliczamy rzędną punktu P: f\n3\n3\n2\n3\n3\nh\nZatem P = (-3, 3).\nWyznaczamy równanie stycznej do wykresu f w punkcie P:\n3\ny\nf\np\n3\n3\nl^\n^h\nh\ny\np\n2\n3\n3\nh\ny\np\n2\n9\nSposób II\nWyznaczamy rzędną punktu P: f\n3\n3\nh\n, czyli P = (-3, 3).\nZapisujemy równanie stycznej s do wykresu f w postaci: y\nap\nb\n+ . Ponieważ P\ns\n! , więc\na\nb\n3\n3\n+ , skąd b\na\n3\n3\nZatem równanie stycznej można zapisać: y\nap\na\n3\n3\nh.\nProsta styczna do wykresu funkcji f w punkcie P ma z wykresem dokładnie jeden punkt wspólny (jako\nstyczna do jednej z gałęzi hiperboli).\nStąd układ równań:\ny\np\np\ny\nap\na\n2\n3\n3\nh\n, gdzie p ! R \\ {-2, -1}, ma dokładnie jedno rozwiązanie.\nRozwiązujemy układ równań i w wyniku otrzymujemy równanie\nap\na\np\na\n5\n2\n6\n6\n0\n2 +\nh\nh\nPonieważ a\n0\n! (prosta o równaniu y\nb\n= nie może być styczną do hiperboli), więc otrzymujemy\nrównanie kwadratowe, które musi mieć jedno rozwiązanie, a zatem\n0\nT = .\na\na\na\na\na\na\na\na\na\na\n5\n2\n4\n6\n6\n25\n20\n4\n24\n24\n4\n4\n2\n2\n2\n2\n2\n2\nT =\nh\nh\nh\na\n2\n0\n2\nh\n, skąd a\n2\nZatem równanie stycznej ma postać: y\np\n2\n3 2\n3\n$\n+ , czyli y\np\n2\n9\nOdpowiedź:\na) f p\np\np\n2\n^ h\n, D = R \\ {-2, -1}, f(D) = R \\ {-1, 1}.\nb) y\np\n2\n9\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów:\na) Pierwszy etap składa się z czterech części:\n- rozwiązanie układu równań: m\np\np\n1\n0 =\ni  n\np\np\n1\n2\n0 =\n- zapisanie wzoru funkcji f p\np\np\n2\n^ h\ni podanie jej dziedziny D = R \\ {-2, -1}\n- przekształcenie wzoru funkcji f do postaci f p\np\n2\n2\n1\n^ h\nLUB sporządzenie wykresu funkcji\n- uzasadnienie, że\nD\n1 b\ni podanie zbioru wartości funkcji f(D) = R \\ {-1, 1}.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z tych części zdający otrzymuje 1 punkt.\n15 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nb) Drugi etap składa się z dwóch części:\nSposób I\n- wyznaczenie wzoru funkcji pochodnej f\np\np\n2\n2\n2\nl^\nh\nh , p ! R \\ {-2, -1}, i obliczenie\nwspółczynnika kierunkowego stycznej f\n3\n3\nl^\nh\n- obliczenie drugiej współrzędnej punktu styczności f\n3\n3\nh\ni wyznaczenie równania stycznej\ndo wykresu funkcji f: y\np\n2\n9\nSposób II\n- zapisanie równania stycznej w postaci y\nap\na\n3\n3\nh oraz zauważenie, że układ równań\ny\np\np\ny\nap\na\n2\n3\n3\nh\n, gdzie p ! R \\ {-2, -1}, musi mieć jedno rozwiązanie\n- rozwiązanie układu i obliczenie a\n2\n= oraz wyznaczenie równania stycznej f: y\np\n2\n9\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi\n1) Jeżeli zdający nie uwzględni we wzorze funkcji f założenia p\n1\n!- , a tym samym błędnie wyznaczy\nf(D), to w części a) otrzymuje 2 punkty.\n2) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w części a), np. podczas wyznaczania pary liczb\n,\nm n\n0\n0\nh,\nalbo błędnie zapisze wzór funkcji f, ale konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to\notrzymuje za całość 5 punktów.\n3) Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w części b), ale konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do\nkońca, to otrzymuje za tę część 1 punkt.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":null,"topics":"funkcje","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 15. (0-6)
Para liczb
,
m n
0
0
h jest rozwiązaniem układu równań
m
n
m
n
p
2
1
2
, gdzie p
1
!- .
a) Wyznacz wzór funkcji f p
n
m
0
0
^ h
, podaj jej dziedzinę i zbiór wartości.
b) Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie
,
P
f
3
3
hh.

\n

17 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
15
Maks. liczba pkt
6
Uzyskana liczba pkt

\n

18 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-6)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie
matematyczne.
P4. Funkcje. Zdający:

\n
  1. odczytuje z wykresu własności funkcji (dziedzinę, zbiór wartości […]);
  2. szkicuje wykres funkcji f(x) = a/x dla danego a, korzysta ze wzoru
\n

i wykresu tej funkcji do interpretacji zagadnień związanych z wielkościami
odwrotnie proporcjonalnymi.
R11. Rachunek różniczkowy. Zdający:

\n
  1. oblicza pochodne funkcji wymiernych;
  2. korzysta z geometrycznej i fizycznej interpretacji pochodnej.
\n

Przykładowe rozwiązanie
a)
Rozwiązujemy układ równań, np. metodą przeciwnych współczynników. Otrzymujemy:
m
p
p
1
i n
p
p
1
2
, gdzie p
1
!- . Zatem rozwiązaniem układu równań jest para liczb
,
,
m n
p
p
p
p
1
1
2
0
0 =
c
h
m, p
1
!- .
Wyznaczamy wzór funkcji f: f p
p
p
p
p
p
p
1
1
2
2
^ h
i podajemy jej dziedzinę: D = R \\ {-2, -1}.
Aby wyznaczyć zbiór wartości funkcji f, przekształcamy jej wzór:
f p
p
p
p
p
p
2
2
2
2
2
2
1
h
h
, p
D
!
Prosta y
1
= jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f, zatem liczba 1 nie należy do zbioru wartości
funkcji f. Ponieważ
D
1 b
, więc rozpatrując funkcję g x
x
x
2
^ h
, której dziedziną jest zbiór R \\ {-2},
stwierdzamy, że do zbioru wartości funkcji f nie należy liczba g
1
1
h
Można też wykorzystać wykres funkcji f i zauważyć, że do wykresu nie należy punkt (-1, -1).
Zatem f(D) = R \\ {-1, 1}.
p
1
0
1
(
)
-1, -1
f p
( )
14 z 17
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
b)
Sposób I
Wyznaczamy funkcję pochodną funkcji f:
f p
p
p
p
p
p
p
2
2
1
2
1
2
2
2
2
$
l
l
c
h
m
h
h
h p ! R \\ {-2, -1}.
Obliczamy wartość pochodnej dla p = -3:
2
f
3
3
2
2
2
l^
h
h
Obliczamy rzędną punktu P: f
3
3
2
3
3
h
Zatem P = (-3, 3).
Wyznaczamy równanie stycznej do wykresu f w punkcie P:
3
y
f
p
3
3
l^
^h
h
y
p
2
3
3
h
y
p
2
9
Sposób II
Wyznaczamy rzędną punktu P: f
3
3
h
, czyli P = (-3, 3).
Zapisujemy równanie stycznej s do wykresu f w postaci: y
ap
b

\n\n

s
! , więc
a
b
3
3

\n\n

a
3
3
Zatem równanie stycznej można zapisać: y
ap
a
3
3
h.
Prosta styczna do wykresu funkcji f w punkcie P ma z wykresem dokładnie jeden punkt wspólny (jako
styczna do jednej z gałęzi hiperboli).
Stąd układ równań:
y
p
p
y
ap
a
2
3
3
h
, gdzie p ! R \\ {-2, -1}, ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Rozwiązujemy układ równań i w wyniku otrzymujemy równanie
ap
a
p
a
5
2
6
6
0
2 +
h
h
Ponieważ a
0
! (prosta o równaniu y
b
= nie może być styczną do hiperboli), więc otrzymujemy
równanie kwadratowe, które musi mieć jedno rozwiązanie, a zatem
0
T = .
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
5
2
4
6
6
25
20
4
24
24
4
4
2
2
2
2
2
2
T =
h
h
h
a
2
0
2
h
, skąd a
2
Zatem równanie stycznej ma postać: y
p
2
3 2
3
$

\n\n

p
2
9
Odpowiedź:
a) f p
p
p
2
^ h
, D = R \\ {-2, -1}, f(D) = R \\ {-1, 1}.
b) y
p
2
9
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z dwóch etapów:
a) Pierwszy etap składa się z czterech części:

\n\n

p
p
1
0 =
i  n
p
p
1
2
0 =

\n\n

p
p
2
^ h
i podanie jej dziedziny D = R \\ {-2, -1}

\n\n

p
2
2
1
^ h
LUB sporządzenie wykresu funkcji

\n\n

D
1 b
i podanie zbioru wartości funkcji f(D) = R \\ {-1, 1}.
Za poprawne rozwiązanie każdej z tych części zdający otrzymuje 1 punkt.
15 z 17
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
b) Drugi etap składa się z dwóch części:
Sposób I

\n\n

p
p
2
2
2
l^
h
h , p ! R \\ {-2, -1}, i obliczenie
współczynnika kierunkowego stycznej f
3
3
l^
h

\n\n

3
3
h
i wyznaczenie równania stycznej
do wykresu funkcji f: y
p
2
9
Sposób II

\n\n

ap
a
3
3
h oraz zauważenie, że układ równań
y
p
p
y
ap
a
2
3
3
h
, gdzie p ! R \\ {-2, -1}, musi mieć jedno rozwiązanie

\n\n

2
= oraz wyznaczenie równania stycznej f: y
p
2
9
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwagi

\n
  1. Jeżeli zdający nie uwzględni we wzorze funkcji f założenia p
\n

1
!- , a tym samym błędnie wyznaczy
f(D), to w części a) otrzymuje 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w części a), np. podczas wyznaczania pary liczb
\n

,
m n
0
0
h,
albo błędnie zapisze wzór funkcji f, ale konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca, to
otrzymuje za całość 5 punktów.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd rachunkowy w części b), ale konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do
\n

końca, to otrzymuje za tę część 1 punkt.

","solutions":[]}