{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/16","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"16","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 16. (0-7)\nNiech x będzie liczbą dodatnią. Rozpatrujemy wszystkie\nprostopadłościany spełniające następujące warunki:\n(1) podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku długości x,\n(2) pole (prostokątnego) przekroju prostopadłościanu płaszczyzną\nzawierającą krawędź podstawy i przekątne dwu ścian bocznych\njest równe 3 (patrz rysunek).\nZapisz kwadrat objętości tego prostopadłościanu jako funkcję zmiennej x.\nWyznacz wszystkie wartości x\n0\n2 , dla których istnieje prostopadłościan spełniający drugi warunek.\nZnajdź długości krawędzi tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest\nnajwiększa.\nx\nx\nx\nx\nh\ny\n\n19 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n16\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\n20 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)","answer":null,"answer_text":"Zadanie 16. (0-7)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nR11. Rachunek różniczkowy. Zdający:\n4) korzysta z własności pochodnej do wyznaczania przedziałów\nmonotoniczności funkcji;\n5) znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych;\n6) stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.\nPrzykładowe rozwiązanie\nNiech h będzie długością krawędzi prostopadłościanu łączącej podstawy prostopadłościanu. Niech y\nbędzie długością boku przekroju rozważanego prostopadłościanu, nie będącego krawędzią podstawy.\nWiadomo, że\nxy\n3 =\n. Co więcej, na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy y\nh\nx\n2\n2\n2\n. A zatem\nx\nh\nx\n3\n2\n2\n. Objętość V prostopadłościanu równa jest iloczynowi pola podstawy i wysokości,\na więc V\nx h\n2\n, zaś V\nx h\n2\n4\n2\n. Liczbę h2 wyznaczamy ze wzoru na pole przekroju: h\nx\nx\n3\n2\n2\n4\nW szczególności kwadrat objętości prostopadłościanu wyrazić można za pomocą następującej funkcji\nzmiennej x:\nx\nx\nx\n3\nV x\nx\n3\n2\n2\n4\n2\n6\nh\nh\n. Wyrażenie to rozpatrujemy dla tych x, dla których opisuje\nono kwadrat objętości, więc gdy\nx\n3\n0\n4 2\noraz x\n0\n2 , czyli gdy\n,\nx\n0\n3\n4\n! ^\nh. Pochodna funkcji V x\n2^ h\nrówna jest V\nx\nx\nx\n6\n6\n2\n5\nl\nh\nh\n. Rozwiązujemy następnie równanie, V\nx\n0\n2\nl\nh\nh\n, a więc równanie\nx\nx\nx\nx\nx\nx\n6\n6\n6\n1\n1\n1\n0\n5\n2\nh\nh\nh\n. Jedyne rozwiązanie mieszczące się w wyznaczonym\nwcześniej zakresie wartości to x\n1\n= . Dla\n,\nx\n0 1\n! ^\nh funkcja V\nx\n2 l\nh\nh jest dodatnia (iloczyn czterech\ndodatnich czynników), a więc V\nx\n2^ h jest rosnąca na przedziale otwarto-domkniętym\n,0 1\n, zaś dla\nx\n1\n2 - funkcja V\nx\n2 l\nh\nh jest ujemna (trzy czynniki dodatnie, jeden ujemny), a więc V x\n2^ h jest malejąca\n16 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nw przedziale domknięto-otwartym\n,1\n3\n4\nh. Wynika stąd, że największą wartością funkcji V\nx\n2^ h\nw przedziale\n,0\n3\n4\nh jest jej wartość w punkcie 1, czyli liczba\n2\nV 1\n2^ h\n. Skoro kwadrat objętości jest\nnajwiększy dla x\n1\n= , to największa objętość samego prostopadłościanu przy zadanych warunkach\nrówna jest 2. Długości krawędzi prostopadłościanu, którego objętość jest największa, to liczby 1, 1, 2.\nSchemat oceniania\nRozwiązanie zadania składa się z trzech etapów:\na) Pierwszy etap składa się z trzech części:\n- wprowadzenie oznaczeń i wyznaczenie wzoru na wysokość prostopadłościanu: h\nx\nx\n3\n2\n2\n4\n,\n- wyznaczenie kwadratu objętości prostopadłościanu jako funkcji jednej zmiennej x:\nx\nV x\nx\n3\n2\n2\n4\nh\nh, na podstawie wzoru V x\nx h\n2\n^ h\n,\n- wyznaczenie tych x, dla których wyrażenie V\nx\n2^ h jest kwadratem objętości prostopadłościanu: są\nto\n,\nx\n0\n3\n4\n! ^\nh,\nZa poprawne rozumowanie w każdej z tych części zdający otrzymuje 1 punkt.\nb) Drugi etap składa się z trzech części:\n- wyznaczenie pochodnej funkcji wielomianowej\nx\nV x\nx\n3\n2\n2\n4\nh\nh, czyli V\nx\nx\nx\n6\n6\n2\n5\nl\nh\nh\n- obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji V\nx\n2^ h mieszczących się w zakresie rozważanych x,\njest jedno: x\n1\n= ,\n- zbadanie znaku pochodnej funkcji V\nx\n2^ h i uzasadnienie, że dla x\n1\n= funkcja V\nx\n2^ h osiąga\nnajwiększą wartość.\nZa poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nc) Trzeci etap. Obliczenie największej objętości prostopadłościanu V 1\n2\n^ h\n. Znalezienie długości\nkrawędzi prostopadłościanu o największej możliwej objętości: 1, 1, 2. Za poprawne rozwiązanie\ntej części zdający otrzymuje 1 punkt.\n17 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-16.webp","solution_image":null,"topics":"optymalizacja","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 16. (0-7)
Niech x będzie liczbą dodatnią. Rozpatrujemy wszystkie
prostopadłościany spełniające następujące warunki:
(1) podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku długości x,
(2) pole (prostokątnego) przekroju prostopadłościanu płaszczyzną
zawierającą krawędź podstawy i przekątne dwu ścian bocznych
jest równe 3 (patrz rysunek).
Zapisz kwadrat objętości tego prostopadłościanu jako funkcję zmiennej x.
Wyznacz wszystkie wartości x
0
2 , dla których istnieje prostopadłościan spełniający drugi warunek.
Znajdź długości krawędzi tego spośród rozpatrywanych prostopadłościanów, którego objętość jest
największa.
x
x
x
x
h
y

\n

19 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
16
Maks. liczba pkt
7
Uzyskana liczba pkt

\n

20 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

","answer_text_html":"

Zadanie 16. (0-7)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Modelowanie
matematyczne.
R11. Rachunek różniczkowy. Zdający:

\n
  1. korzysta z własności pochodnej do wyznaczania przedziałów
\n

monotoniczności funkcji;

\n
  1. znajduje ekstrema funkcji wielomianowych i wymiernych;
  2. stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.
\n

Przykładowe rozwiązanie
Niech h będzie długością krawędzi prostopadłościanu łączącej podstawy prostopadłościanu. Niech y
będzie długością boku przekroju rozważanego prostopadłościanu, nie będącego krawędzią podstawy.
Wiadomo, że
xy
3 =
. Co więcej, na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy y
h
x
2
2
2
. A zatem
x
h
x
3
2
2
. Objętość V prostopadłościanu równa jest iloczynowi pola podstawy i wysokości,
a więc V
x h
2
, zaś V
x h
2
4
2
. Liczbę h2 wyznaczamy ze wzoru na pole przekroju: h
x
x
3
2
2
4
W szczególności kwadrat objętości prostopadłościanu wyrazić można za pomocą następującej funkcji
zmiennej x:
x
x
x
3
V x
x
3
2
2
4
2
6
h
h
. Wyrażenie to rozpatrujemy dla tych x, dla których opisuje
ono kwadrat objętości, więc gdy
x
3
0
4 2
oraz x
0
2 , czyli gdy
,
x
0
3
4
! ^
h. Pochodna funkcji V x
2^ h
równa jest V
x
x
x
6
6
2
5
l
h
h
. Rozwiązujemy następnie równanie, V
x
0
2
l
h
h
, a więc równanie
x
x
x
x
x
x
6
6
6
1
1
1
0
5
2
h
h
h
. Jedyne rozwiązanie mieszczące się w wyznaczonym
wcześniej zakresie wartości to x
1
= . Dla
,
x
0 1
! ^
h funkcja V
x
2 l
h
h jest dodatnia (iloczyn czterech
dodatnich czynników), a więc V
x
2^ h jest rosnąca na przedziale otwarto-domkniętym
,0 1
, zaś dla
x
1
2 - funkcja V
x
2 l
h
h jest ujemna (trzy czynniki dodatnie, jeden ujemny), a więc V x
2^ h jest malejąca
16 z 17
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
w przedziale domknięto-otwartym
,1
3
4
h. Wynika stąd, że największą wartością funkcji V
x
2^ h
w przedziale
,0
3
4
h jest jej wartość w punkcie 1, czyli liczba
2
V 1
2^ h
. Skoro kwadrat objętości jest
największy dla x
1
= , to największa objętość samego prostopadłościanu przy zadanych warunkach
równa jest 2. Długości krawędzi prostopadłościanu, którego objętość jest największa, to liczby 1, 1, 2.
Schemat oceniania
Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów:
a) Pierwszy etap składa się z trzech części:

\n\n

x
x
3
2
2
4
,

\n\n

x
V x
x
3
2
2
4
h
h, na podstawie wzoru V x
x h
2
^ h
,

\n\n

x
2^ h jest kwadratem objętości prostopadłościanu: są
to
,
x
0
3
4
! ^
h,
Za poprawne rozumowanie w każdej z tych części zdający otrzymuje 1 punkt.
b) Drugi etap składa się z trzech części:

\n\n

x
V x
x
3
2
2
4
h
h, czyli V
x
x
x
6
6
2
5
l
h
h

\n\n

x
2^ h mieszczących się w zakresie rozważanych x,
jest jedno: x
1
= ,

\n\n

x
2^ h i uzasadnienie, że dla x
1
= funkcja V
x
2^ h osiąga
największą wartość.
Za poprawne rozwiązanie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
c) Trzeci etap. Obliczenie największej objętości prostopadłościanu V 1
2
^ h
. Znalezienie długości
krawędzi prostopadłościanu o największej możliwej objętości: 1, 1, 2. Za poprawne rozwiązanie
tej części zdający otrzymuje 1 punkt.
17 z 17
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","solutions":[]}