{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"6","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-2)\nWyznacz parę liczb ,p q\nR\n!\ntak, by wielomian x\npx\nq\n4\n2\n+ był podzielny przez trójmian x\nx\n6\n5\n2 +\nOdpowiedź:\n\n5 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\nR2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:\n3) rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia\nlub wyłączając wspólny czynnik przed nawias;\n4) dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany.\nR3.4. Równania i nierówności.\nZdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez\ndwumian.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nJeśli\nx\npx\nq\nx\nx\nx\nbx\nc\nx\nb x\nb\nc x\nb\nc x\nc\n6\n5\n6\n5\n6\n5\n6\n5\n4\n2\n2\n2\n4\n3\n2\nh\nh\nh\nh\nh\ndla każdego x\nR\n!\n, to współczynniki po obu stronach równości przy tych samych potęgach x są równe,\nczyli\nb\n6\n0\n= ,\nb\nc\np\n5\n6\n+ = , b\nc\n5\n6\n0\n= i c\nq\n5 = . Wobec tego b\n6\n=- , c\n5\n= , p\n26\ni q\n25\nSposób II\nZachodzi równość x\nx\nx\nx\n6\n5\n1\n5\n2 +\n^h\nh. Ponieważ wielomian x\npx\nq\n4\n2\n+ ma być\npodzielny przez x\nx\nx\nx\n6\n5\n1\n5\n2 +\n^h\nh, więc liczby -1 i -5 muszą być jego pierwiastkami,\nczyli\np\nq\np\nq\n0\n1\n1\n1\n4\n2\nh\nh\noraz\np\nq\np\nq\n0\n5\n5\n25\n625\n4\n2\nh\nh\n. Mnożąc\npierwsze równanie przez 25 i odejmując wynik od drugiego, otrzymujemy\nq\n0\n24\n600\n, więc\nq\n0\n25\n, czyli q\n25\n, zatem\np\n0\n25\n1\n+ , czyli p\n26\nSposób III\nDzielimy wielomian x\npx\nq\n4\n2\n+ przez trójmian x\nx\n6\n5\n2 +\n+ a następnie resztę przyrównujemy do\nwielomianu zerowego. Otrzymujemy układ równań:\np\n30\n6\n31\n0\nh\ni q\np\n5\n31\n0\nh\n, z którego\notrzymujemy p\n26\ni  q\n25\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy zapisze warunek wynikający z podzielności wielomianów,\nnp. x\npx\nq\nx\nx\nx\nbx\nc\n6\n5\n4\n2\n2\n2\n^h\nh\nalbo\nrozłoży trójmian x\nx\n6\n5\n2 +\n+ do postaci iloczynowej x\nx\n1\n5\n^h\nh i stwierdzi, że liczby -5 oraz\n-1 są pierwiastkami wielomianu x\npx\nq\n4\n2\nalbo\nwykona dzielenie wielomianu x\npx\nq\n4\n2\n+ przez trójmian x\nx\n6\n5\n2 +\n+ , a następnie przyrówna\nresztę do wielomianu zerowego.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy obliczy p i q (-26 i 25).\n3 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":null,"topics":"wielomiany","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 6. (0-2)
Wyznacz parę liczb ,p q
R
!
tak, by wielomian x
px
q
4
2

\n\n

x
6
5
2 +
Odpowiedź:

\n

5 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-2)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.
R2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający:

\n
  1. rozkłada wielomian na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia
\n

lub wyłączając wspólny czynnik przed nawias;

\n
  1. dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany.
\n

R3.4. Równania i nierówności.
Zdający stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez
dwumian.
Przykładowe rozwiązania
Sposób I
Jeśli
x
px
q
x
x
x
bx
c
x
b x
b
c x
b
c x
c
6
5
6
5
6
5
6
5
4
2
2
2
4
3
2
h
h
h
h
h
dla każdego x
R
!
, to współczynniki po obu stronach równości przy tych samych potęgach x są równe,
czyli
b
6
0
= ,
b
c
p
5
6

\n\n

c
5
6
0
= i c
q
5 = . Wobec tego b
6
=- , c
5
= , p
26
i q
25
Sposób II
Zachodzi równość x
x
x
x
6
5
1
5
2 +
^h
h. Ponieważ wielomian x
px
q
4
2

\n\n

podzielny przez x
x
x
x
6
5
1
5
2 +
^h
h, więc liczby -1 i -5 muszą być jego pierwiastkami,
czyli
p
q
p
q
0
1
1
1
4
2
h
h
oraz
p
q
p
q
0
5
5
25
625
4
2
h
h
. Mnożąc
pierwsze równanie przez 25 i odejmując wynik od drugiego, otrzymujemy
q
0
24
600
, więc
q
0
25
, czyli q
25
, zatem
p
0
25
1

\n\n

26
Sposób III
Dzielimy wielomian x
px
q
4
2

\n\n

x
6
5
2 +

\n\n

wielomianu zerowego. Otrzymujemy układ równań:
p
30
6
31
0
h
i q
p
5
31
0
h
, z którego
otrzymujemy p
26
i  q
25
Schemat oceniania
Zdający otrzymuje
1 pkt
gdy zapisze warunek wynikający z podzielności wielomianów,
np. x
px
q
x
x
x
bx
c
6
5
4
2
2
2
^h
h
albo
rozłoży trójmian x
x
6
5
2 +

\n\n

x
1
5
^h
h i stwierdzi, że liczby -5 oraz
-1 są pierwiastkami wielomianu x
px
q
4
2
albo
wykona dzielenie wielomianu x
px
q
4
2

\n\n

x
6
5
2 +

\n\n

resztę do wielomianu zerowego.
Zdający otrzymuje
2 pkt
gdy obliczy p i q (-26 i 25).
3 z 17
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","solutions":[]}