{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"7","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-2)\nWyznacz liczbę takich permutacji zbioru {1, 2, 3,…, 31} kolejnych liczb całkowitych z przedziału\n,1 31 , w których iloczyn każdych dwóch sąsiednich liczb jest liczbą parzystą. Wynik przedstaw\nw postaci iloczynu !\n!\nm\nn\n$\n, gdzie m, n są pewnymi liczbami całkowitymi.\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n6\n7\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\n6 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-2)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIII. Modelowanie\nmatematyczne.\nR10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa\ni kombinatoryka.\nZdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji\ni wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych\nsytuacjach kombinatorycznych.\nPrzykładowe rozwiązanie\nW żadnej z poszukiwanych permutacji na sąsiednich miejscach nie mogą występować liczby\nnieparzyste, ponieważ ich iloczyn jest liczbą nieparzystą. A zatem wśród dwóch sąsiednich elementów\ntakiej permutacji zawsze występuje liczba parzysta. Wśród liczb {1, , 31} znajduje się 16 liczb\nnieparzystych i 15 liczb parzystych. Między każdymi dwoma liczbami nieparzystymi musi znaleźć się\nliczba parzysta, więc liczby muszą wystąpić w kolejności: nieparzysta, parzysta, nieparzysta, parzysta\nitd.\nWyznaczamy liczbę poszukiwanych permutacji. Na miejscach nieparzystych tej permutacji liczby\nmożna ustawić na 16! sposobów (liczba permutacji 16 elementowego zbioru liczb nieparzystych\n{1, 3, , 31}). Dla każdego układu liczb nieparzystych dobrać można niezależnie ustawienie liczb\nna parzystych miejscach. Możliwości takiego ustawienia jest 15!. A zatem liczba poszukiwanych\npermutacji wynosi 16! · 15!.\nSchemat oceniania\nZdający otrzymuje\n1 pkt\ngdy zauważy, że w każdej z szukanych permutacji liczby parzyste i nieparzyste występują\nnaprzemiennie, począwszy od nieparzystych.\nZdający otrzymuje\n2 pkt\ngdy zauważy, że liczby nieparzyste można dowolnie przestawiać, więc można je ustawić na 16!\nsposobów, a liczby parzyste na 15! sposobów, a następnie zapisze wynik w postaci 16! · 15! lub 15! · 16!.","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":null,"topics":"kombinatoryka","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-2)<br>Wyznacz liczbę takich permutacji zbioru {1, 2, 3,…, 31} kolejnych liczb całkowitych z przedziału<br>,1 31 , w których iloczyn każdych dwóch sąsiednich liczb jest liczbą parzystą. Wynik przedstaw<br>w postaci iloczynu !<br>!<br>m<br>n<br>$<br>, gdzie m, n są pewnymi liczbami całkowitymi.<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>sprawdzający<br>Nr zadania<br>6<br>7<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>6 z 20<br>Próbny egzamin maturalny z Nową Erą<br>Matematyka - poziom rozszerzony</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-2)<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>III. Modelowanie<br>matematyczne.<br>R10.1. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa<br>i kombinatoryka.<br>Zdający wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji, wariacji<br>i wariacji z powtórzeniami do zliczania obiektów w bardziej złożonych<br>sytuacjach kombinatorycznych.<br>Przykładowe rozwiązanie<br>W żadnej z poszukiwanych permutacji na sąsiednich miejscach nie mogą występować liczby<br>nieparzyste, ponieważ ich iloczyn jest liczbą nieparzystą. A zatem wśród dwóch sąsiednich elementów<br>takiej permutacji zawsze występuje liczba parzysta. Wśród liczb {1, , 31} znajduje się 16 liczb<br>nieparzystych i 15 liczb parzystych. Między każdymi dwoma liczbami nieparzystymi musi znaleźć się<br>liczba parzysta, więc liczby muszą wystąpić w kolejności: nieparzysta, parzysta, nieparzysta, parzysta<br>itd.<br>Wyznaczamy liczbę poszukiwanych permutacji. Na miejscach nieparzystych tej permutacji liczby<br>można ustawić na 16! sposobów (liczba permutacji 16 elementowego zbioru liczb nieparzystych<br>{1, 3, , 31}). Dla każdego układu liczb nieparzystych dobrać można niezależnie ustawienie liczb<br>na parzystych miejscach. Możliwości takiego ustawienia jest 15!. A zatem liczba poszukiwanych<br>permutacji wynosi 16! · 15!.<br>Schemat oceniania<br>Zdający otrzymuje<br>1 pkt<br>gdy zauważy, że w każdej z szukanych permutacji liczby parzyste i nieparzyste występują<br>naprzemiennie, począwszy od nieparzystych.<br>Zdający otrzymuje<br>2 pkt<br>gdy zauważy, że liczby nieparzyste można dowolnie przestawiać, więc można je ustawić na 16!<br>sposobów, a liczby parzyste na 15! sposobów, a następnie zapisze wynik w postaci 16! · 15! lub 15! · 16!.</p>","solutions":[]}