{"id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona","number":"9","points":0,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"probna","year":2019,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-3)\nDany jest trapez ABCD, w którym kąty ABC i BCD są proste,\nDAB\n60c\nB\n, AB\n2\n= oraz BD\n3\nWyznacz długość odcinka AC.\nOdpowiedź:\nWypełnia\nsprawdzający\nNr zadania\n8\n9\nMaks. liczba pkt\n3\n3\nUzyskana liczba pkt\n\n8 z 20\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie\nstrategii.\nR7.5. Planimetria.\nZdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem\ntwierdzenia sinusów i twierdzenia kosinusów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób I\nNiech\nADB\nB\na\nZ\ntwierdzenia\nsinusów\nwynika,\nże\nsin\nsin\nsin\nsin\nBD\nBA\n60\n3\n60\n2\nc\nc\na\na\nh\nh\nh\nh. Wnioskujemy stąd, że\nsin\nsin\n3\n2\n60\n1\nc\na =\nh\nh\n, więc\n90c\na =\n. Skoro kąt ADB jest prosty,\nto kąt ABD ma miarę 30c, więc\nCBD\n60c\nB\noraz\nBDC\n30c\nB\nNa mocy twierdzenia Pitagorasa AD\nAB\nBD\n1\n2\n2\nMamy też\nsin\nsin\nBC\nBD\nBDC\n3\n30\n2\n3\n$\n$\nc\nB\nh\nh\nZ twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równość:\nAC\nAB\nBC\n4\n4\n3\n4\n19\n2\n2\n2\n. Wobec tego AC\n2\n19\nSposób II\nZ twierdzenia kosinusów wynika, że\ncos\nBD\nAD\nAB\nAD AB\nAD\nAD\nAD\n3\n2\n60\n4\n2\n1\n3\n2\n2\n2\n2\n2\nc\nh\nh\n,\nwięc AD\n1\n0\n2\nh\n, czyli AD\n1\nStąd wynika, że\nsin\nsin\nBC\nAD\nBAD\n1\n60\n2\n3\n$\nc\nB\nh\nh\n. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że\nAC\nBC\nAB\n4\n3\n4\n4\n19\n2\n2\n2\n, zatem AC\n2\n19\n3\n30°\n60°\n2\n1\nA\nB\nD\nC\n6 z 17\nPróbny egzamin maturalny z Nową Erą\nMatematyka - poziom rozszerzony\nSposób III\nZ twierdzenia kosinusów wynika, że\ncos\nBD\nAD\nAB\nAD AB\nAD\nAD\nAD\n3\n2\n60\n4\n2\n1\n3\n2\n2\n2\n2\n2\nc\nh\nh\n,\nwięc AD\n1\n0\n2\nh\n, czyli AD\n1\n= . Stąd wynika, że\ncos\nCD\nAB\nAD\nBAD\n2\n2\n1\n2\n3\nB\nh\n. Kąt ADC ma miarę 120c, bo suma\nmiar kątów BAD\n60c\ni ADC jest równa 180c. Z twierdzenia kosinusów wynika, że\ncos\ncos\nAC\nAD\nCD\nAD\nCD\nADC\n2\n1\n4\n9\n2 1 2\n3\n120\n4\n19\n2\n2\n2\n$\n$\n$\n$\nc\nB\nh\nh\nSchemat oceniania\nRozwiązanie, w którym postęp jest istotny\n1 pkt\nZdający zastosuje twierdzenie sinusów dla trójkąta ADB: sin\nsin\n60\n3\n2\nc\na\nh\nh\nalbo\nwyznaczy z twierdzenia kosinusów długość AD\n1\nPokonanie zasadniczych trudności zadania\n2 pkt\nZdający wyznaczy miary kątów ADB, ABD oraz BDC\nalbo\nznajdzie długość odcinka BC, korzystając z definicji sinusa\nalbo\nznajdzie długość odcinka CD, odejmując od AB liczbę\ncos\nAD\n60c\nh.\nRozwiązanie pełne\n3 pkt\nZdający wyznaczył długość przekątnej AC: AC\n2\n19","solution":null,"image":"img/matematyka-2019-nowa-era-probna-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":"planimetria","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Matura próbna · 2019 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura próbna","text_html":"

Zadanie 9. (0-3)
Dany jest trapez ABCD, w którym kąty ABC i BCD są proste,
DAB
60c
B
, AB
2
= oraz BD
3
Wyznacz długość odcinka AC.
Odpowiedź:
Wypełnia
sprawdzający
Nr zadania
8
9
Maks. liczba pkt
3
3
Uzyskana liczba pkt

\n

8 z 20
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie
strategii.
R7.5. Planimetria.
Zdający znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem
twierdzenia sinusów i twierdzenia kosinusów.
Przykładowe rozwiązania
Sposób I
Niech
ADB
B
a
Z
twierdzenia
sinusów
wynika,
że
sin
sin
sin
sin
BD
BA
60
3
60
2
c
c
a
a
h
h
h
h. Wnioskujemy stąd, że
sin
sin
3
2
60
1
c
a =
h
h
, więc
90c
a =
. Skoro kąt ADB jest prosty,
to kąt ABD ma miarę 30c, więc
CBD
60c
B
oraz
BDC
30c
B
Na mocy twierdzenia Pitagorasa AD
AB
BD
1
2
2
Mamy też
sin
sin
BC
BD
BDC
3
30
2
3
$
$
c
B
h
h
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równość:
AC
AB
BC
4
4
3
4
19
2
2
2
. Wobec tego AC
2
19
Sposób II
Z twierdzenia kosinusów wynika, że
cos
BD
AD
AB
AD AB
AD
AD
AD
3
2
60
4
2
1
3
2
2
2
2
2
c
h
h
,
więc AD
1
0
2
h
, czyli AD
1
Stąd wynika, że
sin
sin
BC
AD
BAD
1
60
2
3
$
c
B
h
h
. Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że
AC
BC
AB
4
3
4
4
19
2
2
2
, zatem AC
2
19
3
30°
60°
2
1
A
B
D
C
6 z 17
Próbny egzamin maturalny z Nową Erą
Matematyka - poziom rozszerzony
Sposób III
Z twierdzenia kosinusów wynika, że
cos
BD
AD
AB
AD AB
AD
AD
AD
3
2
60
4
2
1
3
2
2
2
2
2
c
h
h
,
więc AD
1
0
2
h
, czyli AD
1
= . Stąd wynika, że
cos
CD
AB
AD
BAD
2
2
1
2
3
B
h
. Kąt ADC ma miarę 120c, bo suma
miar kątów BAD
60c
i ADC jest równa 180c. Z twierdzenia kosinusów wynika, że
cos
cos
AC
AD
CD
AD
CD
ADC
2
1
4
9
2 1 2
3
120
4
19
2
2
2
$
$
$
$
c
B
h
h
Schemat oceniania
Rozwiązanie, w którym postęp jest istotny
1 pkt
Zdający zastosuje twierdzenie sinusów dla trójkąta ADB: sin
sin
60
3
2
c
a
h
h
albo
wyznaczy z twierdzenia kosinusów długość AD
1
Pokonanie zasadniczych trudności zadania
2 pkt
Zdający wyznaczy miary kątów ADB, ABD oraz BDC
albo
znajdzie długość odcinka BC, korzystając z definicji sinusa
albo
znajdzie długość odcinka CD, odejmując od AB liczbę
cos
AD
60c
h.
Rozwiązanie pełne
3 pkt
Zdający wyznaczył długość przekątnej AC: AC
2
19

","solutions":[]}