{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/1","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 1. (0-1)\nWartość wyrażenia\n2\n6\n9\nx\nx\ndla\n3\n3\nx =\n+ jest równa\nA. 1\nB. 3\nC. 1\n2 3\nD. 1 2 3\nRozwiązanie zadania. Równość 2+a = 9a / 2a+1 jest prawdziwa, gdy A. a=-2 B. a=-1 C. a=1 D. a=2","answer":"B","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nII. Wykorzystanie\ni interpretowanie\nreprezentacji.\n2. Wyrażenia algebraiczne. Zdający\nużywa wzorów skróconego mnożenia\n(\n)\n±\n2\na\nb\noraz\n2\n2\na\nb (2.1).\nWersja X\nWersja Y\nB\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(3\\)\n\n## Sposób 1 - Rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(x^2 - 6x + 9\\) jest **kwadratem różnicy**:\n\\[x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\\]\n\nTeraz podstawiamy \\(x = \\sqrt{3} + 3\\):\n\\[(x - 3)^2 = (\\sqrt{3} + 3 - 3)^2 = (\\sqrt{3})^2 = 3\\]\n\n**Wynik: \\(3\\)**\n\n## Sposób 2 - Podstawienie bezpośrednie\n\nPodstawiamy \\(x = \\sqrt{3} + 3\\) wprost do wyrażenia i liczymy każdy składnik osobno.\n\n**Składnik \\(x^2\\):**\n\\[x^2 = (\\sqrt{3} + 3)^2 = (\\sqrt{3})^2 + 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 3 + 3^2 = 3 + 6\\sqrt{3} + 9 = 12 + 6\\sqrt{3}\\]\n\n**Składnik \\(-6x\\):**\n\\[-6x = -6(\\sqrt{3} + 3) = -6\\sqrt{3} - 18\\]\n\n**Składnik \\(+9\\):**\n\\[+9\\]\n\n**Sumujemy wszystko:**\n\\[x^2 - 6x + 9 = (12 + 6\\sqrt{3}) + (-6\\sqrt{3} - 18) + 9\\]\n\\[= 12 + 6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3} - 18 + 9\\]\n\\[= (12 - 18 + 9) + (6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3})\\]\n\\[= 3 + 0 = 3\\]\n\n**Wynik: \\(3\\)** - zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na kwadrat różnicy:\n\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1 (rozpoznanie \\(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\\)) oraz w Sposobie 2 (rozwinięcie \\((\\sqrt{3}+3)^2\\)).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A - \\(1\\) | Uczeń liczy \\((\\sqrt{3})^2 = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(3\\), czyli zapomina, że \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\) |\n| C - \\(1 + 2\\sqrt{3}\\) | Uczeń podstawia \\(x = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(x = \\sqrt{3} + 3\\) i dostaje \\(3 - 6\\sqrt{3} + 9 = \\), albo błędnie upraszcza \\((x-3)^2 = x^2 - 9\\) |\n| D - \\(1 - 2\\sqrt{3}\\) | Podobny błąd: pominięcie członu \\(-3\\) przy odejmowaniu lub pomylenie znaków przy rozwijaniu \\((\\sqrt{3}+3)^2\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to nierozpoznanie wzoru \\((x-3)^2\\) i ręczne podstawianie - to działa, ale trwa znacznie dłużej i daje więcej szans na pomyłkę rachunkową.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pamiętaj, że \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\), **nie** \\(\\sqrt{3}\\). Potęgowanie i pierwiastkowanie się znoszą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy podstawieniu \\(x = \\sqrt{3} + 3\\) obliczając \\((x-3)\\) dostajemy \\(\\sqrt{3}+3-3 = \\sqrt{3}\\) - cała \"trudna\" część \\(+3\\) znika. To sygnał, że wybór wartości \\(x\\) nie był przypadkowy!\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia\nZauważamy, że \\(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\\). Dla \\(x = \\sqrt{3}+3\\):\n\\[(\\sqrt{3}+3-3)^2 = (\\sqrt{3})^2 = 3.\\]\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie\n\\(x = \\sqrt{3}+3\\), \\(x^2 = 3 + 6\\sqrt{3} + 9 = 12 + 6\\sqrt{3}\\).\n\\(x^2 - 6x + 9 = 12 + 6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3} - 18 + 9 = 3.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(1\\)** - ktoś policzył \\((\\sqrt{3}-1)^2\\).\n- **C, D** - błędy w obliczeniach, pozostawienie niewymierności niepotrzebnie.\n\n**Trik:** rozpoznanie wzoru \\((x-3)^2\\) natychmiast upraszcza problem.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Podstawienie i obliczenie\n1. Podstawiamy \\(x = 3 + 3 = 6\\) do wyrażenia \\(x^2 - 6x + 9\\).\n\\[\n(6)^2 - 6(6) + 9 = 36 - 36 + 9 = 9\n\\]\nZatem wartość wyrażenia dla \\(x = 3 + 3\\) wynosi 9. To jest błąd w treści zadania, ponieważ podano, że wartość wyrażenia ma być równa 3.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Potęgi)\n\n### Sposób 2: Rozłożenie na czynniki\nWyrażenie \\(x^2 - 6x + 9\\) można rozłożyć na czynniki:\n\\[\nx^2 - 6x + 9 = (x - 3)(x - 3) = (x - 3)^2\n\\]\nTeraz podstawiamy \\(x = 3 + 3 = 6\\):\n\\[\n(6 - 3)^2 = (3)^2 = 9\n\\]\nZatem wartość wyrażenia dla \\(x = 3 + 3\\) wynosi 9.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. 1:** Podstawienie \\(x = 3 + 3 = 6\\) do wyrażenia daje 9, a nie 1.\n* **C. (na zdjęciu):** Nie ma tutaj żadnej wartości wyrażonej w nawiasie.\n* **D. (na zdjęciu):** Podobnie jak w przypadku odpowiedzi A, podstawa jest nieprawidłowa.\n\nWartość wyrażenia \\(x^2 - 6x + 9\\) dla \\(x = 3 + 3\\) wynosi 9. Prawdopodobnie w treści zadania doszło do błędu, ponieważ podano, że odpowiedź ma być równa 3.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg","topics":"algebra","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Wartość wyrażenia
2
6
9
x
x
dla
3
3
x =

\n\n

A. 1
B. 3
C. 1
2 3
D. 1 2 3
Rozwiązanie zadania. Równość 2+a = 9a / 2a+1 jest prawdziwa, gdy A. a=-2 B. a=-1 C. a=1 D. a=2

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
Poprawna odpowiedź
II. Wykorzystanie
i interpretowanie
reprezentacji.

\n
  1. Wyrażenia algebraiczne. Zdający
\n

używa wzorów skróconego mnożenia
(
)
±
2
a
b
oraz
2
2
a
b (2.1).
Wersja X
Wersja Y
B
C

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(3\\)

\n

Sposób 1 - Rozpoznanie wzoru skróconego mnożenia

\n

Zauważamy, że wyrażenie \\(x^2 - 6x + 9\\) jest kwadratem różnicy:
\\[x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\\]

\n

Teraz podstawiamy \\(x = \\sqrt{3} + 3\\):
\\[(x - 3)^2 = (\\sqrt{3} + 3 - 3)^2 = (\\sqrt{3})^2 = 3\\]

\n

Wynik: \\(3\\)

\n

Sposób 2 - Podstawienie bezpośrednie

\n

Podstawiamy \\(x = \\sqrt{3} + 3\\) wprost do wyrażenia i liczymy każdy składnik osobno.

\n

Składnik \\(x^2\\):
\\[x^2 = (\\sqrt{3} + 3)^2 = (\\sqrt{3})^2 + 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 3 + 3^2 = 3 + 6\\sqrt{3} + 9 = 12 + 6\\sqrt{3}\\]

\n

Składnik \\(-6x\\):
\\[-6x = -6(\\sqrt{3} + 3) = -6\\sqrt{3} - 18\\]

\n

Składnik \\(+9\\):
\\[+9\\]

\n

Sumujemy wszystko:
\\[x^2 - 6x + 9 = (12 + 6\\sqrt{3}) + (-6\\sqrt{3} - 18) + 9\\]
\\[= 12 + 6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3} - 18 + 9\\]
\\[= (12 - 18 + 9) + (6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3})\\]
\\[= 3 + 0 = 3\\]

\n

Wynik: \\(3\\) - zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7) - wzór na kwadrat różnicy:
\\[(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy go w Sposobie 1 (rozpoznanie \\(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\\)) oraz w Sposobie 2 (rozwinięcie \\((\\sqrt{3}+3)^2\\)).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A - \\(1\\) | Uczeń liczy \\((\\sqrt{3})^2 = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(3\\), czyli zapomina, że \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\) |
| C - \\(1 + 2\\sqrt{3}\\) | Uczeń podstawia \\(x = \\sqrt{3}\\) zamiast \\(x = \\sqrt{3} + 3\\) i dostaje \\(3 - 6\\sqrt{3} + 9 = \\), albo błędnie upraszcza \\((x-3)^2 = x^2 - 9\\) |
| D - \\(1 - 2\\sqrt{3}\\) | Podobny błąd: pominięcie członu \\(-3\\) przy odejmowaniu lub pomylenie znaków przy rozwijaniu \\((\\sqrt{3}+3)^2\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to nierozpoznanie wzoru \\((x-3)^2\\) i ręczne podstawianie - to działa, ale trwa znacznie dłużej i daje więcej szans na pomyłkę rachunkową.
\n
⚠️ Uwaga: Pamiętaj, że \\((\\sqrt{3})^2 = 3\\), nie \\(\\sqrt{3}\\). Potęgowanie i pierwiastkowanie się znoszą!
\n
⚠️ Uwaga: Przy podstawieniu \\(x = \\sqrt{3} + 3\\) obliczając \\((x-3)\\) dostajemy \\(\\sqrt{3}+3-3 = \\sqrt{3}\\) - cała "trudna" część \\(+3\\) znika. To sygnał, że wybór wartości \\(x\\) nie był przypadkowy!
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wzór skróconego mnożenia
\n

Zauważamy, że \\(x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2\\). Dla \\(x = \\sqrt{3}+3\\):
\\[(\\sqrt{3}+3-3)^2 = (\\sqrt{3})^2 = 3.\\]

\n
Sposób 2 - Bezpośrednie podstawienie
\n

\\(x = \\sqrt{3}+3\\), \\(x^2 = 3 + 6\\sqrt{3} + 9 = 12 + 6\\sqrt{3}\\).
\\(x^2 - 6x + 9 = 12 + 6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3} - 18 + 9 = 3.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: rozpoznanie wzoru \\((x-3)^2\\) natychmiast upraszcza problem.

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Podstawienie i obliczenie
\n
  1. Podstawiamy \\(x = 3 + 3 = 6\\) do wyrażenia \\(x^2 - 6x + 9\\).
\n

\\[
(6)^2 - 6(6) + 9 = 36 - 36 + 9 = 9
\\]
Zatem wartość wyrażenia dla \\(x = 3 + 3\\) wynosi 9. To jest błąd w treści zadania, ponieważ podano, że wartość wyrażenia ma być równa 3.

\n

📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Potęgi)

\n
Sposób 2: Rozłożenie na czynniki
\n

Wyrażenie \\(x^2 - 6x + 9\\) można rozłożyć na czynniki:
\\[
x^2 - 6x + 9 = (x - 3)(x - 3) = (x - 3)^2
\\]
Teraz podstawiamy \\(x = 3 + 3 = 6\\):
\\[
(6 - 3)^2 = (3)^2 = 9
\\]
Zatem wartość wyrażenia dla \\(x = 3 + 3\\) wynosi 9.

\n

📖 Karta wzorów: s.7, strona 7 (Wzory skrócone)

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wartość wyrażenia \\(x^2 - 6x + 9\\) dla \\(x = 3 + 3\\) wynosi 9. Prawdopodobnie w treści zadania doszło do błędu, ponieważ podano, że odpowiedź ma być równa 3.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zapisujemy wyrażenie, które chcemy obliczyć:
\n

$$y = x^2 - 6x + 9$$

\n
  1. Podstawiamy wartość $x = \\sqrt{3} + 3$ do wyrażenia:
\n

$$y = (\\sqrt{3} + 3)^2 - 6(\\sqrt{3} + 3) + 9$$

\n
  1. Rozpoczynamy od obliczenia $(\\sqrt{3} + 3)^2$. Używamy wzoru $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
\n

$$\\sqrt{3}^2 + 2 \\cdot \\sqrt{3} \\cdot 3 + 3^2 = 3 + 6\\sqrt{3} + 9$$
co daje:
$$= 12 + 6\\sqrt{3}$$

\n
  1. Obliczamy wyrażenie $6(\\sqrt{3} + 3)$:
\n

$$6\\sqrt{3} + 6 \\cdot 3 = 6\\sqrt{3} + 18$$

\n
  1. Teraz wstawiamy te wyniki do wzoru na $y$:
\n

$$y = (12 + 6\\sqrt{3}) - (6\\sqrt{3} + 18) + 9$$

\n
  1. Upraszczamy wyrażenie:
\n

$$y = 12 + 6\\sqrt{3} - 6\\sqrt{3} - 18 + 9$$

\n
  1. Zauważamy, że $6\\sqrt{3}$ i $-6\\sqrt{3}$ się znoszą:
\n

$$y = 12 - 18 + 9$$

\n
  1. Obliczamy $12 - 18 + 9$:
\n

$$12 - 18 = -6$$
następnie:
$$-6 + 9 = 3$$

\n

Odpowiedź: $3$, co odpowiada opcji B.

"}]}