{"id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2020,"month":"czerwiec","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nRównanie (\n)\n(\n)\n2\n2\n2\nx x\nx\nw zbiorze liczb rzeczywistych\nA. nie ma rozwiązań.\nB. ma dokładnie jedno rozwiązanie:\n2\nx\nC. ma dokładnie jedno rozwiązanie:\n0\nx\nD. ma dwa różne rozwiązania:\n1\nx\ni\n2\nx\nRozwiązanie zadania. Równanie 1-x / x = 2x w zbiorze liczb całkowitych A. nie ma żadnego rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma więcej niż dwa rozwiązania.","answer":"B","answer_text":"Zadanie 10. (0-1)\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nPoprawna odpowiedź\nI. Wykorzystanie\ni tworzenie informacji.\n3. Równania i nierówności. Zdający\nsprawdza, czy dana liczba\nrzeczywista jest rozwiązaniem\nrównania lub nierówności (3.1).\nWersja X\nWersja Y\nB\nB","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę i faktoryzacja\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[x(x-2) - (x-2)^2 = 0\\]\n\n**Zauważamy wspólny czynnik** \\((x-2)\\) w obu wyrazach - wyłączamy go przed nawias:\n\n\\[(x-2)\\bigl[x - (x-2)\\bigr] = 0\\]\n\nUpraszczamy wyrażenie w nawiasie kwadratowym:\n\n\\[x - (x-2) = x - x + 2 = 2\\]\n\nRównanie przyjmuje postać:\n\n\\[(x-2) \\cdot 2 = 0\\]\n\nCzyli:\n\n\\[2(x-2) = 0\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(2\\):\n\n\\[x - 2 = 0 \\implies \\boxed{x = 2}\\]\n\n**Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: \\(x = 2\\).**\n\n## Sposób 2 - Rozwinięcie i upraszczanie\n\nRozwijamy obie strony równania:\n\n- Lewa strona: \\(x(x-2) = x^2 - 2x\\)\n- Prawa strona: \\((x-2)^2 = x^2 - 4x + 4\\)\n\nRównanie po rozwinięciu:\n\n\\[x^2 - 2x = x^2 - 4x + 4\\]\n\nOdejmujemy \\(x^2\\) od obu stron (likwidujemy wyrazy kwadratowe):\n\n\\[-2x = -4x + 4\\]\n\nPrzenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę:\n\n\\[-2x + 4x = 4\\]\n\n\\[2x = 4\\]\n\n\\[x = 2\\]\n\n**Wynik zgodny - \\(x = 2\\) to jedyne rozwiązanie.**\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz rozwijania nawiasów (wzory skróconego mnożenia z Działu 6, s. 7, są tu pomocne, ale nie kluczowe).\n\nDla przypomnienia wzór, który się pojawia przy rozwijaniu prawej strony:\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)**:\n\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 2 do rozwinięcia \\((x-2)^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń \"dzieli obie strony przez \\((x-2)\\)\" zakładając, że \\(x-2 \\neq 0\\), i nie dostrzega, że \\(x=2\\) jest rozwiązaniem - gubi jedyne rozwiązanie |\n| C | Uczeń przekształca równanie błędnie i otrzymuje \\(x = 0\\) - np. myli znaki przy przenoszeniu wyrazów |\n| D | Uczeń wykonuje dzielenie obu stron przez \\((x-2)\\), otrzymuje \\(x = x - 2\\), co jest sprzecznością - i błędnie dopisuje \\(x=2\\) i \\(x=0\\) jako dwa rozwiązania; albo po prostu nie upraszcza wyrażenia \\(x - (x-2)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie wolno dzielić obu stron równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą (tutaj przez \\((x-2)\\)), bo możemy pominąć przypadek, gdy to wyrażenie równa się zero. To jeden z najczęstszych błędów w zadaniach tego typu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyłączaniu \\((x-2)\\) przed nawias pamiętaj, że \\((x-2)^2 = (x-2) \\cdot (x-2)\\) - drugi czynnik to po prostu \\((x-2)\\), więc wyrażenie w nawiasie kwadratowym to \\(x - (x-2)\\), a nie \\(x - x - 2\\). Ostrożnie ze znakiem przy otwieraniu nawiasu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po faktoryzacji mamy \\(2(x-2) = 0\\) - czynnik \\(2\\) jest stały i nigdy nie daje dodatkowego rozwiązania. Równanie ma więc tylko **jedno** rozwiązanie, nie dwa.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika\n\\(x(x-2) - (x-2)^2 = 0\\)\n\\((x-2)[x - (x-2)] = 0\\)\n\\((x-2)\\cdot 2 = 0\\)\n\\(x-2 = 0 \\Rightarrow x = 2\\).\nJedno rozwiązanie.\n\n### Sposób 2 - Rozwinięcie\n\\(x^2 - 2x = x^2 - 4x + 4\\)\n\\(-2x = -4x + 4\\)\n\\(2x = 4 \\Rightarrow x = 2.\\)\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** Jest jedno rozwiązanie.\n- **C. \\(x=0\\)** - \\(0\\cdot(-2) = 0\\), \\((-2)^2 = 4\\). \\(0 \\ne 4\\) ✗.\n- **D.** Dzielenie obustronnie przez \\((x-2)\\) traci tę równość; nie dzieli się przez niewiadomą.\n\n**Pułapka:** przy dzieleniu przez \\(x-2\\) musielibyśmy rozważyć osobno \\(x=2\\) - lepiej rozkładać na iloczyn.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie przez przeniesienie i ufacie\nRozważ równanie:\nx(x - 2) = (x - 2)\nRozwijamy lewą stronę:\nx² - 2x = x - 2\nPrzenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:\nx² - 2x - x + 2 = 0\nx² - 3x + 2 = 0\nTeraz możemy rozwiązać to równanie kwadratowe. Możemy użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:\nx = \\(\\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\)\nW naszym przypadku: a = 1, b = -3, c = 2. Zatem:\nx = \\(\\frac{3 \\pm \\sqrt{(-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2}}{2 \\cdot 1}\\)\nx = \\(\\frac{3 \\pm \\sqrt{9 - 8}}{2}\\)\nx = \\(\\frac{3 \\pm \\sqrt{1}}{2}\\)\nx = \\(\\frac{3 \\pm 1}{2}\\)\nDaje nam to dwa rozwiązania:\nx₁ = \\(\\frac{3 + 1}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\)\nx₂ = \\(\\frac{3 - 1}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\)\nZatem, równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, a mianowicie x = 2.\n\n📖 Karta wzorów: Potęgi, strona 5\n\n### Sposób 2: Ustawienie równania równości zerowej\nMożemy również rozwiązać równanie, ustawiając lewą stronę równą 0:\nx(x - 2) = (x - 2)\nx² - 2x = x - 2\nx² - 3x + 2 = 0\nTeraz możemy rozwinąć równanie i rozwiązać je. Możemy również zauważyć, że lewa strona jest iloczynem (x-2) i x. Zatem, albo x - 2 = 0, albo x = 0.\nJeśli x - 2 = 0, to x = 2.\nJeśli x = 0, to 0(0 - 2) = (0 - 2), czyli -2 = -2, co jest prawdą.\nZatem, równanie ma dwa rozwiązania, x=0 i x=2. Jednakże, w oryginalnym równaniu x(x-2) = (x-2), x=2 jest rozwiązaniem. Sprawdzamy: 2(2-2) = (2-2) czyli 0 = 0. Zatem x=2 jest rozwiązaniem.\n\n📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, strona 7\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A. nie ma rozwiązań.** - Jak pokazaliśmy, równanie ma dwa rozwiązania (0 i 2).\n* **C. ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0.** - Równanie ma więcej niż jedno rozwiązanie.\n* **D. ma dwa różne rozwiązania: x = 1 i x = 2.** - Równanie ma tylko jedno rozwiązanie, a mianowicie x = 2. Rozwiązanie x=1 nie spełnia równania.","image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · czerwiec 2020 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
Równanie (
)
(
)
2
2
2
x x
x
w zbiorze liczb rzeczywistych
A. nie ma rozwiązań.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie:
2
x
C. ma dokładnie jedno rozwiązanie:
0
x
D. ma dwa różne rozwiązania:
1
x
i
2
x
Rozwiązanie zadania. Równanie 1-x / x = 2x w zbiorze liczb całkowitych A. nie ma żadnego rozwiązania. B. ma dokładnie jedno rozwiązanie. C. ma dokładnie dwa rozwiązania. D. ma więcej niż dwa rozwiązania.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-1)
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
Poprawna odpowiedź
I. Wykorzystanie
i tworzenie informacji.

\n
  1. Równania i nierówności. Zdający
\n

sprawdza, czy dana liczba
rzeczywista jest rozwiązaniem
równania lub nierówności (3.1).
Wersja X
Wersja Y
B
B

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2020-czerwiec-matura-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(x = 2\\)

\n

Sposób 1 - Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę i faktoryzacja

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\n

\\[x(x-2) - (x-2)^2 = 0\\]

\n

Zauważamy wspólny czynnik \\((x-2)\\) w obu wyrazach - wyłączamy go przed nawias:

\n

\\[(x-2)\\bigl[x - (x-2)\\bigr] = 0\\]

\n

Upraszczamy wyrażenie w nawiasie kwadratowym:

\n

\\[x - (x-2) = x - x + 2 = 2\\]

\n

Równanie przyjmuje postać:

\n

\\[(x-2) \\cdot 2 = 0\\]

\n

Czyli:

\n

\\[2(x-2) = 0\\]

\n

Dzielimy obie strony przez \\(2\\):

\n

\\[x - 2 = 0 \\implies \\boxed{x = 2}\\]

\n

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: \\(x = 2\\).

\n

Sposób 2 - Rozwinięcie i upraszczanie

\n

Rozwijamy obie strony równania:

\n\n

Równanie po rozwinięciu:

\n

\\[x^2 - 2x = x^2 - 4x + 4\\]

\n

Odejmujemy \\(x^2\\) od obu stron (likwidujemy wyrazy kwadratowe):

\n

\\[-2x = -4x + 4\\]

\n

Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na lewą stronę:

\n

\\[-2x + 4x = 4\\]

\n

\\[2x = 4\\]

\n

\\[x = 2\\]

\n

Wynik zgodny - \\(x = 2\\) to jedyne rozwiązanie.

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy umiejętność wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz rozwijania nawiasów (wzory skróconego mnożenia z Działu 6, s. 7, są tu pomocne, ale nie kluczowe).

\n

Dla przypomnienia wzór, który się pojawia przy rozwijaniu prawej strony:

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy go w Sposobie 2 do rozwinięcia \\((x-2)^2\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A | Uczeń "dzieli obie strony przez \\((x-2)\\)" zakładając, że \\(x-2 \\neq 0\\), i nie dostrzega, że \\(x=2\\) jest rozwiązaniem - gubi jedyne rozwiązanie |
| C | Uczeń przekształca równanie błędnie i otrzymuje \\(x = 0\\) - np. myli znaki przy przenoszeniu wyrazów |
| D | Uczeń wykonuje dzielenie obu stron przez \\((x-2)\\), otrzymuje \\(x = x - 2\\), co jest sprzecznością - i błędnie dopisuje \\(x=2\\) i \\(x=0\\) jako dwa rozwiązania; albo po prostu nie upraszcza wyrażenia \\(x - (x-2)\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nigdy nie wolno dzielić obu stron równania przez wyrażenie zawierające niewiadomą (tutaj przez \\((x-2)\\)), bo możemy pominąć przypadek, gdy to wyrażenie równa się zero. To jeden z najczęstszych błędów w zadaniach tego typu!
\n
⚠️ Uwaga: Przy wyłączaniu \\((x-2)\\) przed nawias pamiętaj, że \\((x-2)^2 = (x-2) \\cdot (x-2)\\) - drugi czynnik to po prostu \\((x-2)\\), więc wyrażenie w nawiasie kwadratowym to \\(x - (x-2)\\), a nie \\(x - x - 2\\). Ostrożnie ze znakiem przy otwieraniu nawiasu!
\n
⚠️ Uwaga: Po faktoryzacji mamy \\(2(x-2) = 0\\) - czynnik \\(2\\) jest stały i nigdy nie daje dodatkowego rozwiązania. Równanie ma więc tylko jedno rozwiązanie, nie dwa.
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Wyłączenie wspólnego czynnika
\n

\\(x(x-2) - (x-2)^2 = 0\\)
\\((x-2)[x - (x-2)] = 0\\)
\\((x-2)\\cdot 2 = 0\\)
\\(x-2 = 0 \\Rightarrow x = 2\\).
Jedno rozwiązanie.

\n
Sposób 2 - Rozwinięcie
\n

\\(x^2 - 2x = x^2 - 4x + 4\\)
\\(-2x = -4x + 4\\)
\\(2x = 4 \\Rightarrow x = 2.\\)

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Pułapka: przy dzieleniu przez \\(x-2\\) musielibyśmy rozważyć osobno \\(x=2\\) - lepiej rozkładać na iloczyn.

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Rozwiązanie przez przeniesienie i ufacie
\n

Rozważ równanie:
x(x - 2) = (x - 2)
Rozwijamy lewą stronę:
x² - 2x = x - 2
Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę:
x² - 2x - x + 2 = 0
x² - 3x + 2 = 0
Teraz możemy rozwiązać to równanie kwadratowe. Możemy użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:
x = \\(\\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\\)
W naszym przypadku: a = 1, b = -3, c = 2. Zatem:
x = \\(\\frac{3 \\pm \\sqrt{(-3)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot 2}}{2 \\cdot 1}\\)
x = \\(\\frac{3 \\pm \\sqrt{9 - 8}}{2}\\)
x = \\(\\frac{3 \\pm \\sqrt{1}}{2}\\)
x = \\(\\frac{3 \\pm 1}{2}\\)
Daje nam to dwa rozwiązania:
x₁ = \\(\\frac{3 + 1}{2} = \\frac{4}{2} = 2\\)
x₂ = \\(\\frac{3 - 1}{2} = \\frac{2}{2} = 1\\)
Zatem, równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, a mianowicie x = 2.

\n

📖 Karta wzorów: Potęgi, strona 5

\n
Sposób 2: Ustawienie równania równości zerowej
\n

Możemy również rozwiązać równanie, ustawiając lewą stronę równą 0:
x(x - 2) = (x - 2)
x² - 2x = x - 2
x² - 3x + 2 = 0
Teraz możemy rozwinąć równanie i rozwiązać je. Możemy również zauważyć, że lewa strona jest iloczynem (x-2) i x. Zatem, albo x - 2 = 0, albo x = 0.
Jeśli x - 2 = 0, to x = 2.
Jeśli x = 0, to 0(0 - 2) = (0 - 2), czyli -2 = -2, co jest prawdą.
Zatem, równanie ma dwa rozwiązania, x=0 i x=2. Jednakże, w oryginalnym równaniu x(x-2) = (x-2), x=2 jest rozwiązaniem. Sprawdzamy: 2(2-2) = (2-2) czyli 0 = 0. Zatem x=2 jest rozwiązaniem.

\n

📖 Karta wzorów: Wzory skrócone, strona 7

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Rozpoczynamy od zapisania równania: $$x(x-2) = (x-2)^2$$
\n
  1. Następnie zauważamy, że możemy uprościć to równanie poprzez przekształcenie obu stron. Rozpoczniemy od lewej strony:
\n

$$x(x-2) = x^2 - 2x$$

\n
  1. Teraz przekształcamy prawą stronę równania:
\n

$$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$$

\n
  1. Nasze równanie po przekształceniach wygląda teraz następująco:
\n

$$x^2 - 2x = x^2 - 4x + 4$$

\n
  1. Odejmujemy $x^2$ z obu stron równania, aby uprościć:
\n

$$-2x = -4x + 4$$

\n
  1. Dodajemy $4x$ do obu stron równania:
\n

$$-2x + 4x = 4$$

\n
  1. Upraszczamy lewą stronę:
\n

$$2x = 4$$

\n
  1. Dzielimy obie strony równania przez 2, aby znaleźć wartość $x$:
\n

$$x = 2$$

\n
  1. Zauważamy, że $x = 2$ wprowadza nas z powrotem do równania. Sprawdzamy:
\n

$$x(x-2) = 2(2-2) = 0$$
$$(x-2)^2 = (2-2)^2 = 0$$
Obie strony równania zgadzają się.

\n
  1. Ostatecznie, nasz wynik wskazuje, że równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 2$.
\n

Odpowiedź: Prawidłowa odpowiedź to B: ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 2$.

"}]}